Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9974
2018-11-09 
В однородное электрическое поле $\vec{E}$ помещен однородный металлический шар радиусом $R$. Поверхностную плотность $\sigma$ индуцированного на шаре заряда можно представить как функцию угла $\alpha$ (рис.). Определить зависимость $\sigma( \alpha)$.
Примечание. Представьте себе два взаимно проникающих, но немного не совпадающих сплошных одинаковых шара, равномерно заряженных по объему — один положительно, а другой отрицательно. Каково электрическое поле в общем объеме шаров, где величина зарядов обоих шаров одинакова? Что произойдет, если расстояние между центрами шаров будет уменьшаться до 0?
Решение:
Представим себе металлический шар в однородном внешнем электрическом поле $\vec{E}$, направленном так, как показано на рис. Под действием поля на шаре произойдет перераспределение электрических зарядов. В состоянии равновесия в левой части поверхности шара будут преобладать отрицательные заряды, а в правой - положительные. Электрическое поле, вызванное индуцированными зарядами на поверхности шара, обозначим через $\vec{E}_{1}$. Очевидно, что в различных точках пространства $\vec{E}_{1}$ может быть различным. После помещения в поле $\vec{E}$ металлического шара результирующее электрическое поле равно $\vec{E} + \vec{E}_{1}$. Это относится как к внешней, так и к внутренней области шара. Однако, как известно, электрическое поле внутри проводника, находящегося во внешнем электрическом поле, равно нулю, т. е.
$\vec{E} + \vec{E}_{1} = 0$.
Обратимся теперь к примечанию, приведенному в условии задачи. Чтобы ответить на поставленные там вопросы, нужно сначала определить напряженность электрического поля $\vec{E}_{ш}$ внутри шара радиусом $R$, равномерно заряженного по объему и имеющего общий заряд $Q$. Величину $\vec{E}_{ш}$ определим двумя методами.
Рассмотрим точку $M$, находящуюся на расстоянии $r$ от центра шара ($r < R$), равномерно заряженного по объему (рис.). Согласно замечаниям, сделанным при решении задачи о шахте, проходящей через центр Земли, напряженность электрического поля в точке $M$, создаваемая заштрихованной частью шара, равна нулю. Следовательно, в точке $M$ имеется только электрическое поле, обусловленное зарядом, размещенным в незаштрихованной части шара. Поэтому можем записать
$E_{ш}( \vec{r} ) = \frac{q}{4 \pi \epsilon r^{2} }$.
Поле $E_{ш}$ в каждой точке, очевидно, параллельно вектору $\vec{r}$. Значит,
$\vec{E}_{ш}( \vec{r} ) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } q \frac{ \vec{r} }{r^{3} }$. Но $\frac{q}{Q} = \frac{r^{3} }{R^{3} }$.
Используя последнее равенство, получаем
$\vec{E}_{ш} ( \vec{r} ) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{3} } \vec{r} $.
Выведем теперь это уравнение, основываясь на теореме Гаусса. Согласно этой теореме, поток электрического поля, проходящего через произвольную замкнутую поверхность, равен $q/ \epsilon_{0}$, если весь заряд $q$ помещен внутри этой поверхности. Рассмотрим рис. В силу симметрии поле $\vec{E}_{ш}$ в каждой точке поверхности $\Sigma$ перпендикулярно к ней и имеет одинаковое численное значение. Поток поля $\vec{E}_{ш}$ через поверхность $\Sigma$, следовательно, равен $4 \pi r E_{ш}( \vec{r})$. Эта величина, согласно теореме Гаусса, должна равняться $q/ \epsilon_{0}$. Значит,
$\vec{E}_{ш} ( \vec{r} ) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q}{r^{3} } \vec{r}$.
Учитывая направление поля $\vec{E}_{ш}$, получаем ту же величину поля, что и прежде.
Рассмотрим теперь два шара с радиусами $R$, смещенные друг относительно друга на расстояние $l$ и имеющие заряд $+ Q$ и $- Q$ (рис.). Результирующий заряд в общем объеме, очевидно, равен нулю.
Результирующее поле в этом общем объеме равно
$E_{рез} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \left [ \frac{Q}{R^{3} } \left ( \vec{r} - \frac{1}{2} \vec{l} \right ) - \frac{Q}{R^{3} } \left ( \vec{r} + \frac{1}{2} \vec{l} \right ) \right ] = - \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{3} } \vec{l}$.
Как видим, это однородное поле. Устремим теперь $l$ к нулю, но так, чтобы поле $\vec{E}_{рез}$ было по-прежнему равно $- \vec{E} (= \vec{E}_{1})$. Это возможно, если при $l \rightarrow 0$ произведение $Ql$ остается постоянным. Тогда результирующее электрическое поле в общем объеме останется равным нулю, и в то же время заряд, помещенный на краях, обозначенных знаками ( + ) и (—), даст поверхностную плотность $\sigma$.
Согласно рис., на элемент поверхности $\Delta S$ приходится заряд
$\Delta Q = \Delta Sh \frac{Q}{ \frac{4}{3} \pi R^{3} } = \Delta S \frac{Q}{ \frac{4}{3} \pi R^{3} } l \cos \alpha$.
Тогда
$\sigma = \frac{ \Delta Q}{ \Delta S} = \frac{Ql}{ \frac{4}{3} \pi R^{3} } \cos \alpha$,
но
$- \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{Ql}{R^{3} } + E = 0$.
Значит, $\sigma = 3 \epsilon_{0}E \cos \alpha$.
В однородное электрическое поле $\vec{E}$ помещен однородный металлический шар радиусом $R$. Поверхностную плотность $\sigma$ индуцированного на шаре заряда можно представить как функцию угла $\alpha$ (рис.). Определить зависимость $\sigma( \alpha)$.
Примечание. Представьте себе два взаимно проникающих, но немного не совпадающих сплошных одинаковых шара, равномерно заряженных по объему — один положительно, а другой отрицательно. Каково электрическое поле в общем объеме шаров, где величина зарядов обоих шаров одинакова? Что произойдет, если расстояние между центрами шаров будет уменьшаться до 0?
Решение:
Представим себе металлический шар в однородном внешнем электрическом поле $\vec{E}$, направленном так, как показано на рис. Под действием поля на шаре произойдет перераспределение электрических зарядов. В состоянии равновесия в левой части поверхности шара будут преобладать отрицательные заряды, а в правой - положительные. Электрическое поле, вызванное индуцированными зарядами на поверхности шара, обозначим через $\vec{E}_{1}$. Очевидно, что в различных точках пространства $\vec{E}_{1}$ может быть различным. После помещения в поле $\vec{E}$ металлического шара результирующее электрическое поле равно $\vec{E} + \vec{E}_{1}$. Это относится как к внешней, так и к внутренней области шара. Однако, как известно, электрическое поле внутри проводника, находящегося во внешнем электрическом поле, равно нулю, т. е.
$\vec{E} + \vec{E}_{1} = 0$.
Обратимся теперь к примечанию, приведенному в условии задачи. Чтобы ответить на поставленные там вопросы, нужно сначала определить напряженность электрического поля $\vec{E}_{ш}$ внутри шара радиусом $R$, равномерно заряженного по объему и имеющего общий заряд $Q$. Величину $\vec{E}_{ш}$ определим двумя методами.
Рассмотрим точку $M$, находящуюся на расстоянии $r$ от центра шара ($r < R$), равномерно заряженного по объему (рис.). Согласно замечаниям, сделанным при решении задачи о шахте, проходящей через центр Земли, напряженность электрического поля в точке $M$, создаваемая заштрихованной частью шара, равна нулю. Следовательно, в точке $M$ имеется только электрическое поле, обусловленное зарядом, размещенным в незаштрихованной части шара. Поэтому можем записать
$E_{ш}( \vec{r} ) = \frac{q}{4 \pi \epsilon r^{2} }$.
Поле $E_{ш}$ в каждой точке, очевидно, параллельно вектору $\vec{r}$. Значит,
$\vec{E}_{ш}( \vec{r} ) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } q \frac{ \vec{r} }{r^{3} }$. Но $\frac{q}{Q} = \frac{r^{3} }{R^{3} }$.
Используя последнее равенство, получаем
$\vec{E}_{ш} ( \vec{r} ) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{3} } \vec{r} $.
Выведем теперь это уравнение, основываясь на теореме Гаусса. Согласно этой теореме, поток электрического поля, проходящего через произвольную замкнутую поверхность, равен $q/ \epsilon_{0}$, если весь заряд $q$ помещен внутри этой поверхности. Рассмотрим рис. В силу симметрии поле $\vec{E}_{ш}$ в каждой точке поверхности $\Sigma$ перпендикулярно к ней и имеет одинаковое численное значение. Поток поля $\vec{E}_{ш}$ через поверхность $\Sigma$, следовательно, равен $4 \pi r E_{ш}( \vec{r})$. Эта величина, согласно теореме Гаусса, должна равняться $q/ \epsilon_{0}$. Значит,
$\vec{E}_{ш} ( \vec{r} ) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q}{r^{3} } \vec{r}$.
Учитывая направление поля $\vec{E}_{ш}$, получаем ту же величину поля, что и прежде.
Рассмотрим теперь два шара с радиусами $R$, смещенные друг относительно друга на расстояние $l$ и имеющие заряд $+ Q$ и $- Q$ (рис.). Результирующий заряд в общем объеме, очевидно, равен нулю.
Результирующее поле в этом общем объеме равно
$E_{рез} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \left [ \frac{Q}{R^{3} } \left ( \vec{r} - \frac{1}{2} \vec{l} \right ) - \frac{Q}{R^{3} } \left ( \vec{r} + \frac{1}{2} \vec{l} \right ) \right ] = - \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{3} } \vec{l}$.
Как видим, это однородное поле. Устремим теперь $l$ к нулю, но так, чтобы поле $\vec{E}_{рез}$ было по-прежнему равно $- \vec{E} (= \vec{E}_{1})$. Это возможно, если при $l \rightarrow 0$ произведение $Ql$ остается постоянным. Тогда результирующее электрическое поле в общем объеме останется равным нулю, и в то же время заряд, помещенный на краях, обозначенных знаками ( + ) и (—), даст поверхностную плотность $\sigma$.
Согласно рис., на элемент поверхности $\Delta S$ приходится заряд
$\Delta Q = \Delta Sh \frac{Q}{ \frac{4}{3} \pi R^{3} } = \Delta S \frac{Q}{ \frac{4}{3} \pi R^{3} } l \cos \alpha$.
Тогда
$\sigma = \frac{ \Delta Q}{ \Delta S} = \frac{Ql}{ \frac{4}{3} \pi R^{3} } \cos \alpha$,
но
$- \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{Ql}{R^{3} } + E = 0$.
Значит, $\sigma = 3 \epsilon_{0}E \cos \alpha$.
