Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9973
2018-11-09 
Кольцо из тонкой однородной металлической проволоки с сопротивлением единицы длины $\rho$ равноускоренно вращается относительно своего центра с угловым ускорением $\epsilon$.
Определить величину магнитной индукции $B$ в центре кольца. Заряд электрона равен $e$, а масса - $m$.
Примечание. Возникновение магнитного поля внутри замкнутого металлического кольца, вращающегося с угловым ускорением, впервые было подтверждено экспериментально Стюартом и Толмэном в 1917 г. Вместо кольца Стюарт и Толмэн использовали кольцевую катушку с большим числом витков и измеряли возникающий в ней ток.
Решение:
Мысленно выберем элемент кольца и рассмотрим систему отсчета, в которой этот элемент покоится. Поскольку кольцо движется с определенным угловым ускорением $\epsilon$, выбранный нами элемент кольца имеет линейное ускорение $a = r \epsilon$. Говоря о системе отсчета, связанной с кольцом, мы имеем в виду систему отсчета, неподвижно связанную с кристаллической решеткой металла. В этой системе на электроны действует сила инерции, равная по величине и направленная противоположно ускорению $\epsilon r$. Но из-за взаимодействия электронов с кристаллической решеткой эта сила не будет разгонять электроны до слишком больших скоростей. Взаимодействие электронов с решеткой, согласно закону Ома, возрастает при увеличении скорости электронов относительно решетки. По истечении некоторого времени сила, тормозящая электроны, становится равной по величине силе инерции. В результате электроны будут двигаться относительно решетки с некоторой скоростью. Иначе говоря, несмотря на отсутствие внешней э. д. с., в системе отсчета, связанной с решеткой, потечет электрический ток.
Если бы на электроны действовало настоящее электрическое поле, то величину силы тока можно было бы определить из закона Ома. Однако заметим, что сила инерции постоянна и направлена по касательной к кольцу, а значит, ее воздействие на электроны будет таким же, как воздействие постоянного электрического поля соответствующей величины, направленного по касательной к кольцу в каждой его точке. Величина эквивалентного электрического поля $E$ определяется из условия, что электрическая сила, действующая на каждый электрон, равна по величине силе инерции
$eE = mr \epsilon$.
Тогда
$E = \frac{mr \epsilon}{e}$.
В покоящемся линейном проводнике с сопротивлением на единицу длины, равным $\rho$, поле такой величины вызывало бы ток
$I = \frac{E}{ \rho}$.
Значит, сила тока в рассматриваемом кольце была бы равна
$I = \frac{mt \epsilon}{ \rho e}$.
Хотя поле $E$ и не является «настоящим» электрическим полем, а лишь эквивалентом, описывающим действие силы инерции, ток действительно течет по кольцу, поскольку электроны действительно перемещаются относительно кристаллической решетки. Поэтому ток в середине кольца должен вызывать магнитное поле с индукцией
$B = \mu_{0} \frac{I}{2r} = \frac{ \mu_{0} m \epsilon }{2 e \rho}$.
В приведенном решении мы принимали, что постоянная скорость электронов относительно решетки устанавливается очень быстро, практически мгновенно. Это предположение для «обычных» проводников с «обычными» значениями $\rho$ выполняется достаточно хорошо. Но для проводников с очень малыми значениями $\rho$ оно неверно. В частности, оно не выполняется для сверхпроводников, при $\rho \rightarrow 0$.
Кольцо из тонкой однородной металлической проволоки с сопротивлением единицы длины $\rho$ равноускоренно вращается относительно своего центра с угловым ускорением $\epsilon$.
Определить величину магнитной индукции $B$ в центре кольца. Заряд электрона равен $e$, а масса - $m$.
Примечание. Возникновение магнитного поля внутри замкнутого металлического кольца, вращающегося с угловым ускорением, впервые было подтверждено экспериментально Стюартом и Толмэном в 1917 г. Вместо кольца Стюарт и Толмэн использовали кольцевую катушку с большим числом витков и измеряли возникающий в ней ток.
Решение:
Мысленно выберем элемент кольца и рассмотрим систему отсчета, в которой этот элемент покоится. Поскольку кольцо движется с определенным угловым ускорением $\epsilon$, выбранный нами элемент кольца имеет линейное ускорение $a = r \epsilon$. Говоря о системе отсчета, связанной с кольцом, мы имеем в виду систему отсчета, неподвижно связанную с кристаллической решеткой металла. В этой системе на электроны действует сила инерции, равная по величине и направленная противоположно ускорению $\epsilon r$. Но из-за взаимодействия электронов с кристаллической решеткой эта сила не будет разгонять электроны до слишком больших скоростей. Взаимодействие электронов с решеткой, согласно закону Ома, возрастает при увеличении скорости электронов относительно решетки. По истечении некоторого времени сила, тормозящая электроны, становится равной по величине силе инерции. В результате электроны будут двигаться относительно решетки с некоторой скоростью. Иначе говоря, несмотря на отсутствие внешней э. д. с., в системе отсчета, связанной с решеткой, потечет электрический ток.
Если бы на электроны действовало настоящее электрическое поле, то величину силы тока можно было бы определить из закона Ома. Однако заметим, что сила инерции постоянна и направлена по касательной к кольцу, а значит, ее воздействие на электроны будет таким же, как воздействие постоянного электрического поля соответствующей величины, направленного по касательной к кольцу в каждой его точке. Величина эквивалентного электрического поля $E$ определяется из условия, что электрическая сила, действующая на каждый электрон, равна по величине силе инерции
$eE = mr \epsilon$.
Тогда
$E = \frac{mr \epsilon}{e}$.
В покоящемся линейном проводнике с сопротивлением на единицу длины, равным $\rho$, поле такой величины вызывало бы ток
$I = \frac{E}{ \rho}$.
Значит, сила тока в рассматриваемом кольце была бы равна
$I = \frac{mt \epsilon}{ \rho e}$.
Хотя поле $E$ и не является «настоящим» электрическим полем, а лишь эквивалентом, описывающим действие силы инерции, ток действительно течет по кольцу, поскольку электроны действительно перемещаются относительно кристаллической решетки. Поэтому ток в середине кольца должен вызывать магнитное поле с индукцией
$B = \mu_{0} \frac{I}{2r} = \frac{ \mu_{0} m \epsilon }{2 e \rho}$.
В приведенном решении мы принимали, что постоянная скорость электронов относительно решетки устанавливается очень быстро, практически мгновенно. Это предположение для «обычных» проводников с «обычными» значениями $\rho$ выполняется достаточно хорошо. Но для проводников с очень малыми значениями $\rho$ оно неверно. В частности, оно не выполняется для сверхпроводников, при $\rho \rightarrow 0$.
