Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 997
2016-09-17 
Грузовой поезд массой $m$, поданный на шахте под загрузку углём, начинает движение под действием постоянной силы тяги локомотива одновременно с началом погрузки. За равные промежутки времени на платформы высыпаются равные массы угля. Скорость поезда изменяется со временем $t$ по закону: $v = \frac{v_{0}t}{t_{0}+t}$, где $v_{0}$ и $t_{0}$ — постоянные величины. Найдите силу тяги локомотива.
Решение:
Пусть $\mu$ — масса угля, которая грузится на поезд за единицу времени. Тогда масса поезда со временем возрастает по закону $M = m + \mu t$. Из закона изменения импульса, записанного для поезда, имеем: $\Delta ((m + \mu t)v) = F \Delta t$, где $F$ — искомая сила тяги локомотива. Отсюда получаем: $(m + \mu t) \Delta v + \mu v \Delta t = F \Delta t$, и
$(m + \mu t) \frac{ \Delta v}{ \Delta t} + \mu v = F$. (1)
Так как $v = \frac{v_{0}t}{t+ t_{0}}$, то, дифференцируя, получаем: $\frac{ \Delta v}{ \Delta t} = \frac{v_{0}t_{0}}{(t + t_{0})^{2}}$. Подставляя в (1) выражения для $v$ и $\frac{ \Delta v}{ \Delta t}$ находим:
$F = (m + \mu t) \frac{v_{0}t_{0}}{(t+t_{0})^{2}} + \frac{ \mu v_{0} t}{t + t_{0}}$.
Так как в условии сказано, что сила тяги локомотива постоянна, то последнее выражение должно быть справедливо для любого момента времени $t$, в том числе и для $t = 0$. Поэтому, полагая $t = 0$, получаем:
$F = \frac{mv_{0}}{t_{0}}$.
Существует и другой путь решения. Из (1) следует: $(m + \mu t) \frac{ \Delta v}{ \Delta t} = F — \mu v$. Ясно, что установившаяся скорость поезда (при $t \rightarrow \infty$) соответствует $\frac{ \Delta v}{ \Delta t} = 0$. С учётом этого получаем, что
$v_{ t \rightarrow \infty} = \left ( \frac{v_{0}t}{t_{0}+t} \right )_{t \rightarrow \infty} = v_{0} = \frac{F}{ \mu}$,
и, следовательно, $F = \mu v_{0}$. С другой стороны, с учётом (2) ускорение поезда в начальный момент времени равно:
$\left ( \frac{ \Delta v}{ \Delta t} \right )_{t=0} = \frac{F}{m} = \left ( \frac{ \Delta }{ \Delta t} \left ( \frac{v_{0}t}{t_{0}+t} \right ) \right )_{t=0} = \frac{v_{0}}{t_{0}} = \frac{F}{ \mu t_{0}}$
откуда $\mu = m/t_{0}$. Подставляя это выражение для $\mu$ в (2), получаем прежний ответ.
Грузовой поезд массой $m$, поданный на шахте под загрузку углём, начинает движение под действием постоянной силы тяги локомотива одновременно с началом погрузки. За равные промежутки времени на платформы высыпаются равные массы угля. Скорость поезда изменяется со временем $t$ по закону: $v = \frac{v_{0}t}{t_{0}+t}$, где $v_{0}$ и $t_{0}$ — постоянные величины. Найдите силу тяги локомотива.
Решение:
Пусть $\mu$ — масса угля, которая грузится на поезд за единицу времени. Тогда масса поезда со временем возрастает по закону $M = m + \mu t$. Из закона изменения импульса, записанного для поезда, имеем: $\Delta ((m + \mu t)v) = F \Delta t$, где $F$ — искомая сила тяги локомотива. Отсюда получаем: $(m + \mu t) \Delta v + \mu v \Delta t = F \Delta t$, и
$(m + \mu t) \frac{ \Delta v}{ \Delta t} + \mu v = F$. (1)
Так как $v = \frac{v_{0}t}{t+ t_{0}}$, то, дифференцируя, получаем: $\frac{ \Delta v}{ \Delta t} = \frac{v_{0}t_{0}}{(t + t_{0})^{2}}$. Подставляя в (1) выражения для $v$ и $\frac{ \Delta v}{ \Delta t}$ находим:
$F = (m + \mu t) \frac{v_{0}t_{0}}{(t+t_{0})^{2}} + \frac{ \mu v_{0} t}{t + t_{0}}$.
Так как в условии сказано, что сила тяги локомотива постоянна, то последнее выражение должно быть справедливо для любого момента времени $t$, в том числе и для $t = 0$. Поэтому, полагая $t = 0$, получаем:
$F = \frac{mv_{0}}{t_{0}}$.
Существует и другой путь решения. Из (1) следует: $(m + \mu t) \frac{ \Delta v}{ \Delta t} = F — \mu v$. Ясно, что установившаяся скорость поезда (при $t \rightarrow \infty$) соответствует $\frac{ \Delta v}{ \Delta t} = 0$. С учётом этого получаем, что
$v_{ t \rightarrow \infty} = \left ( \frac{v_{0}t}{t_{0}+t} \right )_{t \rightarrow \infty} = v_{0} = \frac{F}{ \mu}$,
и, следовательно, $F = \mu v_{0}$. С другой стороны, с учётом (2) ускорение поезда в начальный момент времени равно:
$\left ( \frac{ \Delta v}{ \Delta t} \right )_{t=0} = \frac{F}{m} = \left ( \frac{ \Delta }{ \Delta t} \left ( \frac{v_{0}t}{t_{0}+t} \right ) \right )_{t=0} = \frac{v_{0}}{t_{0}} = \frac{F}{ \mu t_{0}}$
откуда $\mu = m/t_{0}$. Подставляя это выражение для $\mu$ в (2), получаем прежний ответ.
