Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9968
2018-11-09 
Между обкладками плоского конденсатора размерами $2a \times a \times 2d$ ($d \ll a$) помещены две пластины диэлектрика с диэлектрическими постоянными $\epsilon_{1}$ и $\epsilon_{2}$ размерами $a \times a \times d$ каждая, а также одна пластина диэлектрика размерами $2a \times a \times d$ с диэлектрической постоянной $\epsilon_{3}$ (рис.). Между пластинами диэлектриков помещена очень тонкая длинная изолированная лента проводника шириной $a$. Определить емкость этой системы в зависимости от величины параметра $x$. Определить силу $F$, втягивающую ленту в конденсатор или выталкивающую ее, если к обкладкам подключен источник постоянной э. д. с. $U$. Построить график функции $F(x)$. Определить максимальную величину силы $F$, приняв $\epsilon_{1} = 10, \epsilon_{2} = 2, \epsilon_{3} = 1, a/d = 100, U = 30 000 В$. Какой вид будет иметь функция $F(x)$, если после зарядки до напряжения $U$ конденсатор отключить от батареи и только после этого поместить в него ленту проводника?
Решение:
При $x < a$ наличие ленты не изменяет распределения потенциала. Емкость конденсатора в этом случае (рис.) равна
$C = \frac{a^{2} }{4 \pi d} \frac{2 \epsilon_{1} \epsilon_{2} \epsilon_{3} + \epsilon_{1} \epsilon_{3}^{2} + \epsilon_{2} \epsilon_{3}^{2} }{( \epsilon_{1} + \epsilon_{3} )( \epsilon_{2} + \epsilon_{3} )}$
независимо от $x$.
При $a \leq x \leq 2a$ (рис.) имеем
$C(x) = C_{1} + C_{2} = \frac{a^{2} }{4 \pi d} \frac{ \epsilon_{3} }{ ( \epsilon_{1} + \epsilon_{3} )^{2} } \left [2 \epsilon_{1}^{2} + \epsilon_{1} \epsilon_{3} + \epsilon_{2} \epsilon_{3} - \frac{ \epsilon_{3} ( \epsilon_{2} - \epsilon_{1} )^{2} a }{ \epsilon_{1} + \epsilon_{3} } \frac{1}{x + \frac{ \epsilon_{2} - \epsilon_{1} }{ \epsilon_{1} + \epsilon_{3} } a } \right ]$.
При $x > 2a$ емкость конденсатора принимает значение $C(2a)$.
Учитывая изменение энергии батареи $UQ_{б}$ при помещении ленты и закон сохранения заряда, можем записать
$Q_{б} + Q_{к} = Q_{0}$,
или
$Q_{б} = Q_{0} - Q_{к}$,
где $Q_{0}$ - заряд на конденсаторе при $x = 0; Q_{б}$ - приток заряда от батареи; $Q_{к}$ - заряд на конденсаторе.
Потенциальная энергия всей системы (батарея + конденсатор) равна, следовательно,
$E_{п} = U(Q_{0} - Q_{к}) + \frac{1}{2} CU^{2} = UQ_{0} + \frac{1}{2} CU^{2} - UQ_{к} = UQ_{0} - \frac{1}{2} CU^{2}$.
Величина $UQ$, входящая в выражение $E_{п}$, не изменяется, поскольку она связана только с выбором состояния, относительно которого отсчитывается потенциальная энергия. Следовательно, можно записать, что потенциальная энергия системы батарея + конденсатор равна
$E_{п} = - \frac{1}{2} CU^{2}$.
Силу $F$ определим, подсчитав $ - \frac{d}{dx} E_{п}$:
$F_{x} = \begin{cases} 0 & при x \geq 2a или x \leq a, \\ \frac{1}{2} U^{2} \frac{a^{3} }{4 \pi d} \frac{ \epsilon_{3}^{2} ( \epsilon_{2} - \epsilon_{1} )^{2} }{( \epsilon_{1} + \epsilon_{3} )^{2} } \frac{1}{ \left ( x + \frac{ \epsilon_{2} - \epsilon_{1} }{ \epsilon_{1} + \epsilon_{3} } a \right )^{2} } & при a < x < 2a. \end{cases}$
График изменения $F(x)$ показан на рис. В точках $x = a$ и $x = 2a$ происходят скачкообразные изменения втягивающей силы, обусловленные тем, что мы не учитывали краевые эффекты. Учет этих эффектов привел бы к определенному сглаживанию кривой (пунктирная линия). Наибольшее значение силы $F$, втягивающей ленту, равно $F(a) \approx 2,5 \cdot 10^{-3} Н$.
Если бы до помещения ленты между диэлектриками батарея была отключена, то дифференцирование следовало бы проводить не при постоянном потенциале, а при постоянном заряде на обкладках конденсатора. Сила, втягивающая ленту, была бы в этом случае меньше, поскольку для любого определенного значения х потенциал на конденсаторе был бы меньше.
Следует обратить внимание на два знака «минус»: один в выражении для потенциальной энергии $E_{п}$, второй в выражении для силы $F$.
Между обкладками плоского конденсатора размерами $2a \times a \times 2d$ ($d \ll a$) помещены две пластины диэлектрика с диэлектрическими постоянными $\epsilon_{1}$ и $\epsilon_{2}$ размерами $a \times a \times d$ каждая, а также одна пластина диэлектрика размерами $2a \times a \times d$ с диэлектрической постоянной $\epsilon_{3}$ (рис.). Между пластинами диэлектриков помещена очень тонкая длинная изолированная лента проводника шириной $a$. Определить емкость этой системы в зависимости от величины параметра $x$. Определить силу $F$, втягивающую ленту в конденсатор или выталкивающую ее, если к обкладкам подключен источник постоянной э. д. с. $U$. Построить график функции $F(x)$. Определить максимальную величину силы $F$, приняв $\epsilon_{1} = 10, \epsilon_{2} = 2, \epsilon_{3} = 1, a/d = 100, U = 30 000 В$. Какой вид будет иметь функция $F(x)$, если после зарядки до напряжения $U$ конденсатор отключить от батареи и только после этого поместить в него ленту проводника?
Решение:
При $x < a$ наличие ленты не изменяет распределения потенциала. Емкость конденсатора в этом случае (рис.) равна
$C = \frac{a^{2} }{4 \pi d} \frac{2 \epsilon_{1} \epsilon_{2} \epsilon_{3} + \epsilon_{1} \epsilon_{3}^{2} + \epsilon_{2} \epsilon_{3}^{2} }{( \epsilon_{1} + \epsilon_{3} )( \epsilon_{2} + \epsilon_{3} )}$
независимо от $x$.
При $a \leq x \leq 2a$ (рис.) имеем
$C(x) = C_{1} + C_{2} = \frac{a^{2} }{4 \pi d} \frac{ \epsilon_{3} }{ ( \epsilon_{1} + \epsilon_{3} )^{2} } \left [2 \epsilon_{1}^{2} + \epsilon_{1} \epsilon_{3} + \epsilon_{2} \epsilon_{3} - \frac{ \epsilon_{3} ( \epsilon_{2} - \epsilon_{1} )^{2} a }{ \epsilon_{1} + \epsilon_{3} } \frac{1}{x + \frac{ \epsilon_{2} - \epsilon_{1} }{ \epsilon_{1} + \epsilon_{3} } a } \right ]$.
При $x > 2a$ емкость конденсатора принимает значение $C(2a)$.
Учитывая изменение энергии батареи $UQ_{б}$ при помещении ленты и закон сохранения заряда, можем записать
$Q_{б} + Q_{к} = Q_{0}$,
или
$Q_{б} = Q_{0} - Q_{к}$,
где $Q_{0}$ - заряд на конденсаторе при $x = 0; Q_{б}$ - приток заряда от батареи; $Q_{к}$ - заряд на конденсаторе.
Потенциальная энергия всей системы (батарея + конденсатор) равна, следовательно,
$E_{п} = U(Q_{0} - Q_{к}) + \frac{1}{2} CU^{2} = UQ_{0} + \frac{1}{2} CU^{2} - UQ_{к} = UQ_{0} - \frac{1}{2} CU^{2}$.
Величина $UQ$, входящая в выражение $E_{п}$, не изменяется, поскольку она связана только с выбором состояния, относительно которого отсчитывается потенциальная энергия. Следовательно, можно записать, что потенциальная энергия системы батарея + конденсатор равна
$E_{п} = - \frac{1}{2} CU^{2}$.
Силу $F$ определим, подсчитав $ - \frac{d}{dx} E_{п}$:
$F_{x} = \begin{cases} 0 & при x \geq 2a или x \leq a, \\ \frac{1}{2} U^{2} \frac{a^{3} }{4 \pi d} \frac{ \epsilon_{3}^{2} ( \epsilon_{2} - \epsilon_{1} )^{2} }{( \epsilon_{1} + \epsilon_{3} )^{2} } \frac{1}{ \left ( x + \frac{ \epsilon_{2} - \epsilon_{1} }{ \epsilon_{1} + \epsilon_{3} } a \right )^{2} } & при a < x < 2a. \end{cases}$
График изменения $F(x)$ показан на рис. В точках $x = a$ и $x = 2a$ происходят скачкообразные изменения втягивающей силы, обусловленные тем, что мы не учитывали краевые эффекты. Учет этих эффектов привел бы к определенному сглаживанию кривой (пунктирная линия). Наибольшее значение силы $F$, втягивающей ленту, равно $F(a) \approx 2,5 \cdot 10^{-3} Н$.
Если бы до помещения ленты между диэлектриками батарея была отключена, то дифференцирование следовало бы проводить не при постоянном потенциале, а при постоянном заряде на обкладках конденсатора. Сила, втягивающая ленту, была бы в этом случае меньше, поскольку для любого определенного значения х потенциал на конденсаторе был бы меньше.
Следует обратить внимание на два знака «минус»: один в выражении для потенциальной энергии $E_{п}$, второй в выражении для силы $F$.
