Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9967
2018-11-09 
Сферический тонкостенный сосуд наполняется ртутью из резервуара (рис.), оканчивающегося стеклянной трубкой с двумя кранами. Внутренний диаметр трубки равен $a = 21 мм$, а толщина стенки $d = 1 мм$. Часть трубки между кранами обернута металлической фольгой, соединенной с заземленным выводом батареи. Второй вывод батареи опущен в сосуд с ртутью.
Нижний сосуд наполняют порциями, закрывая нижний кран и открывая верхний. Наполнив трубку ртутью, верхний кран закрывают и снимают с трубки фольгу. Затем через нижний кран выпускают ртуть в сосуд. Эту процедуру повторяют, пока сферический сосуд не заполнится ртутью.
Какая приблизительно разность потенциалов возникает между сферическим сосудом и землей, если э. д. с. батареи равна $\mathcal{E} = 120 В$, радиус сферического сосуда $R = 10 см$, а диэлектрическая постоянная стекла $\epsilon = 6$.
Решение:
Сначала проанализируем процесс электризации шара K. Ртуть, находящаяся в трубке между кранами, составляет одну из обкладок цилиндрического конденсатора, второй обкладкой которого служит заземленная фольга. Этот конденсатор заряжен до $\mathcal{E} = 120 В$. Порция ртути, несущая определенный заряд $q$, после «шлюзования» отдает этот заряд шару K.
Пусть $Q, C$ и $U$ обозначают соответственно заряд, емкость и напряжение (относительно земли) шара К после заполнения его заряженной ртутью. Тогда
$U = Q/C$.
Очевидно, что
$C = 4 \pi \epsilon_{0}R$.
Определим заряд $Q$. Из условия сохранения электрического заряда
$Q = nq$,
где $n$ - число «порций» ртути.
Объем трубки между кранами нам неизвестен, но, как мы убедимся дальше, он и не нужен. Пусть длина трубки между кранами равна $l$. Тогда
$n = \frac{ \frac{4}{3} \pi R^{3} }{ \pi \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} l }$,
$q = \epsilon \epsilon_{0} \frac{ \pi al}{d} \mathcal{E}$,
$Q = nq = \frac{16 \pi \epsilon \epsilon_{0} R^{3} }{3ad} \mathcal{E}$,
$U = \frac{Q}{C} = \frac{4R^{2} \epsilon }{3ad} \mathcal{E}$.
Видим, что величина $l$ при подстановке сокращается. Находим численное значение напряжения $U = 456 кВ$.
Сферический тонкостенный сосуд наполняется ртутью из резервуара (рис.), оканчивающегося стеклянной трубкой с двумя кранами. Внутренний диаметр трубки равен $a = 21 мм$, а толщина стенки $d = 1 мм$. Часть трубки между кранами обернута металлической фольгой, соединенной с заземленным выводом батареи. Второй вывод батареи опущен в сосуд с ртутью.
Нижний сосуд наполняют порциями, закрывая нижний кран и открывая верхний. Наполнив трубку ртутью, верхний кран закрывают и снимают с трубки фольгу. Затем через нижний кран выпускают ртуть в сосуд. Эту процедуру повторяют, пока сферический сосуд не заполнится ртутью.
Какая приблизительно разность потенциалов возникает между сферическим сосудом и землей, если э. д. с. батареи равна $\mathcal{E} = 120 В$, радиус сферического сосуда $R = 10 см$, а диэлектрическая постоянная стекла $\epsilon = 6$.
Решение:
Сначала проанализируем процесс электризации шара K. Ртуть, находящаяся в трубке между кранами, составляет одну из обкладок цилиндрического конденсатора, второй обкладкой которого служит заземленная фольга. Этот конденсатор заряжен до $\mathcal{E} = 120 В$. Порция ртути, несущая определенный заряд $q$, после «шлюзования» отдает этот заряд шару K.
Пусть $Q, C$ и $U$ обозначают соответственно заряд, емкость и напряжение (относительно земли) шара К после заполнения его заряженной ртутью. Тогда
$U = Q/C$.
Очевидно, что
$C = 4 \pi \epsilon_{0}R$.
Определим заряд $Q$. Из условия сохранения электрического заряда
$Q = nq$,
где $n$ - число «порций» ртути.
Объем трубки между кранами нам неизвестен, но, как мы убедимся дальше, он и не нужен. Пусть длина трубки между кранами равна $l$. Тогда
$n = \frac{ \frac{4}{3} \pi R^{3} }{ \pi \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} l }$,
$q = \epsilon \epsilon_{0} \frac{ \pi al}{d} \mathcal{E}$,
$Q = nq = \frac{16 \pi \epsilon \epsilon_{0} R^{3} }{3ad} \mathcal{E}$,
$U = \frac{Q}{C} = \frac{4R^{2} \epsilon }{3ad} \mathcal{E}$.
Видим, что величина $l$ при подстановке сокращается. Находим численное значение напряжения $U = 456 кВ$.
