Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9965
2018-11-09 
Экспериментально установлены следующие факты:
1) угловой диаметр Солнца, наблюдаемый с Земли, составляет $\alpha = 32^{ \prime}$;
2) солнечная постоянная, т. е. количество лучистой энергии, падающей каждую секунду на $1 см^{2}$ поверхности, перпендикулярной к прямой, соединяющей Землю и Солнце на расстоянии, равном расстоянию между Землей и Солнцем, составляет
$S = 0,135 лм \cdot см^{-2} \cdot с^{-1}$;
3) постоянная Стефана — Больцмана равна
$\sigma = 5,67 \cdot 10^{-12} лм \cdot см^{-2} \cdot с^{-1} \cdot К^{-4}$;
4) солнечное излучение практически соответствует излучению абсолютно черного тела.
Пользуясь вышеуказанными данными, определить:
а) температуру Земли, считая, что эта температура постоянна во времени и что Земля является абсолютно черным телом и идеальным проводником тепла (последнее предположение позволяет считать, что температура всех точек поверхности Земли одинакова);
б) температуру верхних слоев Солнца.
Примечание. Полная энергия, излучаемая за 1 с с $1 см^{2}$ поверхности абсолютно черного тела, определяется законом Стефана — Больцмана и составляет $\sigma T^{4}$, где $\sigma$ - постоянная Стефана — Больцмана, а $T$ - абсолютная температура тела.
Решение:
Сначала определим температуру Земли $T_{з}$. В состоянии равновесия тело излучает столько же энергии, сколько поглощает. Поскольку вся поверхность Земли, согласно условию задачи, излучает одинаково, то энергия, потерянная Землей в 1 с в виде излучения, равна
$E_{изл} = 4 \pi R_{з}^{2} \sigma T_{з}^{4}$, где $R_{з}$ - радиус Земли.
Энергия, поглощенная в течение 1 с, равна произведению площади сечения Земли по большому кругу на солнечную постоянную:
$E_{погл} = \pi R_{з}^{2}S$.
Поскольку $E_{изл} = E_{погл}$, получаем
$4 \pi R_{з}^{2} \sigma T_{з}^{4} = \pi R_{з}^{2}S$.
Отсюда $T_{з} = \sqrt[4]{ \frac{S}{4 \sigma} }$ ($\approx 300 К$).
Теперь определим температуру Солнца. Энергия, излучаемая всей поверхностью Солнца за 1 с равна
$E_{C} = 4 \pi R_{C}^{2} \sigma T_{C}^{4}$,
где $R_{C}$ - радиус Солнца. Энергия солнечного излучения, проходящая через сферу, имеющую радиус, равный радиусу орбиты Земли, равна
$E_{орб} = 4 \pi R_{обр}^{2}S$,
где $R_{орб}$ - радиус орбиты Земли.
Можно считать, что $E_{C} = E_{орб}$, т. е.
$4 \pi R_{C}^{2} \sigma T_{C}^{4} = 4 \pi R_{орб}^{2}S$.
Тогда
$T_{C} = \sqrt[4]{ \frac{S}{ \sigma (R_{C}/R_{орб} )^{2} } }$.
Так как $R_{C} \ll R_{орб}$, отношение $R_{C}/R_{орб}$ равно угловому радиусу Солнца, наблюдаемого с Земли:
$\frac{R_{C}}{R_{орб}} = \frac{ \alpha }{2}$.
Значит,
$T_{C} = \sqrt[4]{ \frac{S}{ \sigma ( \sigma / 2)^{2} }}$ ($ \approx 5600 К$).
Экспериментально установлены следующие факты:
1) угловой диаметр Солнца, наблюдаемый с Земли, составляет $\alpha = 32^{ \prime}$;
2) солнечная постоянная, т. е. количество лучистой энергии, падающей каждую секунду на $1 см^{2}$ поверхности, перпендикулярной к прямой, соединяющей Землю и Солнце на расстоянии, равном расстоянию между Землей и Солнцем, составляет
$S = 0,135 лм \cdot см^{-2} \cdot с^{-1}$;
3) постоянная Стефана — Больцмана равна
$\sigma = 5,67 \cdot 10^{-12} лм \cdot см^{-2} \cdot с^{-1} \cdot К^{-4}$;
4) солнечное излучение практически соответствует излучению абсолютно черного тела.
Пользуясь вышеуказанными данными, определить:
а) температуру Земли, считая, что эта температура постоянна во времени и что Земля является абсолютно черным телом и идеальным проводником тепла (последнее предположение позволяет считать, что температура всех точек поверхности Земли одинакова);
б) температуру верхних слоев Солнца.
Примечание. Полная энергия, излучаемая за 1 с с $1 см^{2}$ поверхности абсолютно черного тела, определяется законом Стефана — Больцмана и составляет $\sigma T^{4}$, где $\sigma$ - постоянная Стефана — Больцмана, а $T$ - абсолютная температура тела.
Решение:
Сначала определим температуру Земли $T_{з}$. В состоянии равновесия тело излучает столько же энергии, сколько поглощает. Поскольку вся поверхность Земли, согласно условию задачи, излучает одинаково, то энергия, потерянная Землей в 1 с в виде излучения, равна
$E_{изл} = 4 \pi R_{з}^{2} \sigma T_{з}^{4}$, где $R_{з}$ - радиус Земли.
Энергия, поглощенная в течение 1 с, равна произведению площади сечения Земли по большому кругу на солнечную постоянную:
$E_{погл} = \pi R_{з}^{2}S$.
Поскольку $E_{изл} = E_{погл}$, получаем
$4 \pi R_{з}^{2} \sigma T_{з}^{4} = \pi R_{з}^{2}S$.
Отсюда $T_{з} = \sqrt[4]{ \frac{S}{4 \sigma} }$ ($\approx 300 К$).
Теперь определим температуру Солнца. Энергия, излучаемая всей поверхностью Солнца за 1 с равна
$E_{C} = 4 \pi R_{C}^{2} \sigma T_{C}^{4}$,
где $R_{C}$ - радиус Солнца. Энергия солнечного излучения, проходящая через сферу, имеющую радиус, равный радиусу орбиты Земли, равна
$E_{орб} = 4 \pi R_{обр}^{2}S$,
где $R_{орб}$ - радиус орбиты Земли.
Можно считать, что $E_{C} = E_{орб}$, т. е.
$4 \pi R_{C}^{2} \sigma T_{C}^{4} = 4 \pi R_{орб}^{2}S$.
Тогда
$T_{C} = \sqrt[4]{ \frac{S}{ \sigma (R_{C}/R_{орб} )^{2} } }$.
Так как $R_{C} \ll R_{орб}$, отношение $R_{C}/R_{орб}$ равно угловому радиусу Солнца, наблюдаемого с Земли:
$\frac{R_{C}}{R_{орб}} = \frac{ \alpha }{2}$.
Значит,
$T_{C} = \sqrt[4]{ \frac{S}{ \sigma ( \sigma / 2)^{2} }}$ ($ \approx 5600 К$).
