Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9962
2018-11-09 
К углам однородной прямоугольной рамки со сторонами $a$ и $b$ прикреплены концы нити. Какой должна быть длина нити $l$, чтобы эту рамку можно было повесить на гвоздь, вбитый в вертикальную стену, таким образом, как показано на рис.
Примечание. Рамка должна находиться в положении устойчивого равновесия. Трением пренебречь.
Решение:
Очевидно, что при любой длине нити положение рамки, показанное па рисунке в условии задачи, является положением равновесия. Но практическое значение может иметь только положение устойчивого равновесия. При устойчивом равновесии любое небольшое отклонение всегда приводит к появлению силы, стремящейся вернуть систему в первоначальное положение.
Рассматриваемая система имеет две степени свободы. Это означает, что для полного описания ее требуются два независимых параметра. В качестве первого параметра возьмем угол отклонения $\phi$, обозначенный на рис., а в качестве второго - расстояние $x$ от гвоздика до левого края рамки.
Очевидно, что в положении устойчивого равновесия угол $\phi$ должен быть равен нулю. В положении $\phi \neq 0$ на рамку действует отличный от нуля момент силы относительно точки S. Этот'момент равен моменту силы тяжести, поскольку моменты сил, действующих в точках прикрепления нитей, равны нулю (силы натяжения нитей имеют равное нулю плечо относительно точки S). Нетрудно заметить, что момент силы тяжести действует таким образом, что центр рамки стремится переместиться на вертикаль, проходящую через точку S, при этом угол $\phi$ становится равным нулю.
Остается, следовательно, рассмотреть только те положения рамки, при которых $\phi = 0$. Это значительно упрощает дело, поскольку теперь мы имеем дело только с одной степенью свободы.
Рассмотрим положение рамки, показанное на рис. На углы рамки действуют силы натяжения нити, равные по абсолютной величине и направленные вдоль нитей. Их моменты относительно точки О различны как по знаку, так и по величине, поскольку силы имеют разные плечи. Значит, относительно точки О на рамку действует некоторый результирующий момент силы. Установим, будет ли он приводить к увеличению или к уменьшению отклонения рамки от положения, симметричного относительно OS.
Поскольку силы натяжения равны по абсолютной величине, то результирующий момент будет зависеть только от длины плеч $d_{1}$ и $d_{2}$.
Следовательно, проблема сводится к определению плеч $d_{1}$ и $d_{2}$ при повороте рамки либо, что то же самое, к определению $d_{1}$ и $d_{2}$ при перемещении точки подвеса нити (без изменения ее длины), как показано на рис. В ситуации, показанной на этом рисунке, при перемещении точки подвеса вправо появляется результирующий момент сил, стремящийся повернуть рамку по часовой стрелке, т. е. вернуть ее в положение равновесия. Это означает, согласно предыдущим замечаниям, что $d_{1}$ должно быть больше $d_{2}$. Равновесие будет при этом устойчивым.
Рассмотрим три случая: угол $\gamma$, показанный на рис., тупой; 2) этот угол острый и 3) $\gamma = \pi /2$.
В первом случае при небольшом отклонении системы от симметричного положения в показанном направлении величина угла $\alpha$ между плечом $d_{1}$ и диагональю уменьшается на $\alpha_{1}$, а, значит, $d_{1} > d$. В то же время величина угла $\alpha$ между плечом $d_{2}$ и диагональю увеличится на $\alpha_{2}$, значит, $d_{2} < d$. Следовательно, $d_{1} > d_{2}$. Теперь очевидно, что при $\gamma > \pi /2$ симметричное положение является положением устойчивого равновесия.
Второй случай, когда $\gamma$ - острый угол, иллюстрирует рис. Теперь при небольшом отклонении от симметричного положения угол $\alpha$ с левой стороны увеличивается на $\alpha_{1}$, а с правой уменьшается на $\alpha_{2}$. В результате оказывается, что $d_{1} < d_{2}$. Таким образом, если $\gamma$ - острый угол, то симметричное положение не является положением устойчивого равновесия.
Третий случай, когда $\gamma = \pi /2$, показан на рис. В этом случае углы $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ всегда равны. Обозначим длину левой части нити через $(1/2 + q)$, а правый - через $(1/2 - q)$, где $q$ - малая величина, характеризующая смещение. Тогда можно записать:
$\frac{h}{1/2 + q} = \sin( \alpha - \alpha_{1})$ и $\frac{h}{1/2 - q} = \sin ( \alpha + \alpha_{2})$.
Тогда
$csc ( \alpha - \alpha_{1}) = \frac{1}{2h} + \frac{q}{h}, csc ( \alpha + \alpha_{2}) = \frac{1}{2h} - \frac{q}{h}$,
$csc \phi = \frac{1}{ \sin \phi}$.
Поскольку в интересующих нас пределах углов кривая косеканса является вогнутой (рис.), то из условия одинакового изменения аргумента функции на $q/h$ следует, что углы $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ должны удовлетворять неравенству $\alpha_{2} > \alpha_{1}$. Отсюда вытекает, что $d_{2} < d_{1}$. Значит, рассматриваемое положение является положением устойчивого равновесия.
Итак, в положении устойчивого равновесия угол $\gamma$ должен быть больше или равен $\pi /2$. Иными словами, чтобы положение рамки было устойчивым, длина нити должна удовлетворять неравенству
$l \geq \frac{b}{a} \sqrt{a^{2} + b^{2} }$.
Отметим, что для тонкого стержня $a \ll b$, поэтому тонкий стержень можно подвесить на нити конечной длины так, чтобы он висел горизонтально только тогда, когда $l \geq b^{2}/a$.
При решении данной задачи можно исходить и из того, что положению устойчивого равновесия соответствует минимум потенциальной энергии.
К углам однородной прямоугольной рамки со сторонами $a$ и $b$ прикреплены концы нити. Какой должна быть длина нити $l$, чтобы эту рамку можно было повесить на гвоздь, вбитый в вертикальную стену, таким образом, как показано на рис.
Примечание. Рамка должна находиться в положении устойчивого равновесия. Трением пренебречь.
Решение:
Очевидно, что при любой длине нити положение рамки, показанное па рисунке в условии задачи, является положением равновесия. Но практическое значение может иметь только положение устойчивого равновесия. При устойчивом равновесии любое небольшое отклонение всегда приводит к появлению силы, стремящейся вернуть систему в первоначальное положение.
Рассматриваемая система имеет две степени свободы. Это означает, что для полного описания ее требуются два независимых параметра. В качестве первого параметра возьмем угол отклонения $\phi$, обозначенный на рис., а в качестве второго - расстояние $x$ от гвоздика до левого края рамки.
Очевидно, что в положении устойчивого равновесия угол $\phi$ должен быть равен нулю. В положении $\phi \neq 0$ на рамку действует отличный от нуля момент силы относительно точки S. Этот'момент равен моменту силы тяжести, поскольку моменты сил, действующих в точках прикрепления нитей, равны нулю (силы натяжения нитей имеют равное нулю плечо относительно точки S). Нетрудно заметить, что момент силы тяжести действует таким образом, что центр рамки стремится переместиться на вертикаль, проходящую через точку S, при этом угол $\phi$ становится равным нулю.
Остается, следовательно, рассмотреть только те положения рамки, при которых $\phi = 0$. Это значительно упрощает дело, поскольку теперь мы имеем дело только с одной степенью свободы.
Рассмотрим положение рамки, показанное на рис. На углы рамки действуют силы натяжения нити, равные по абсолютной величине и направленные вдоль нитей. Их моменты относительно точки О различны как по знаку, так и по величине, поскольку силы имеют разные плечи. Значит, относительно точки О на рамку действует некоторый результирующий момент силы. Установим, будет ли он приводить к увеличению или к уменьшению отклонения рамки от положения, симметричного относительно OS.
Поскольку силы натяжения равны по абсолютной величине, то результирующий момент будет зависеть только от длины плеч $d_{1}$ и $d_{2}$.
Следовательно, проблема сводится к определению плеч $d_{1}$ и $d_{2}$ при повороте рамки либо, что то же самое, к определению $d_{1}$ и $d_{2}$ при перемещении точки подвеса нити (без изменения ее длины), как показано на рис. В ситуации, показанной на этом рисунке, при перемещении точки подвеса вправо появляется результирующий момент сил, стремящийся повернуть рамку по часовой стрелке, т. е. вернуть ее в положение равновесия. Это означает, согласно предыдущим замечаниям, что $d_{1}$ должно быть больше $d_{2}$. Равновесие будет при этом устойчивым.
Рассмотрим три случая: угол $\gamma$, показанный на рис., тупой; 2) этот угол острый и 3) $\gamma = \pi /2$.
В первом случае при небольшом отклонении системы от симметричного положения в показанном направлении величина угла $\alpha$ между плечом $d_{1}$ и диагональю уменьшается на $\alpha_{1}$, а, значит, $d_{1} > d$. В то же время величина угла $\alpha$ между плечом $d_{2}$ и диагональю увеличится на $\alpha_{2}$, значит, $d_{2} < d$. Следовательно, $d_{1} > d_{2}$. Теперь очевидно, что при $\gamma > \pi /2$ симметричное положение является положением устойчивого равновесия.
Второй случай, когда $\gamma$ - острый угол, иллюстрирует рис. Теперь при небольшом отклонении от симметричного положения угол $\alpha$ с левой стороны увеличивается на $\alpha_{1}$, а с правой уменьшается на $\alpha_{2}$. В результате оказывается, что $d_{1} < d_{2}$. Таким образом, если $\gamma$ - острый угол, то симметричное положение не является положением устойчивого равновесия.
Третий случай, когда $\gamma = \pi /2$, показан на рис. В этом случае углы $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ всегда равны. Обозначим длину левой части нити через $(1/2 + q)$, а правый - через $(1/2 - q)$, где $q$ - малая величина, характеризующая смещение. Тогда можно записать:
$\frac{h}{1/2 + q} = \sin( \alpha - \alpha_{1})$ и $\frac{h}{1/2 - q} = \sin ( \alpha + \alpha_{2})$.
Тогда
$csc ( \alpha - \alpha_{1}) = \frac{1}{2h} + \frac{q}{h}, csc ( \alpha + \alpha_{2}) = \frac{1}{2h} - \frac{q}{h}$,
$csc \phi = \frac{1}{ \sin \phi}$.
Поскольку в интересующих нас пределах углов кривая косеканса является вогнутой (рис.), то из условия одинакового изменения аргумента функции на $q/h$ следует, что углы $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ должны удовлетворять неравенству $\alpha_{2} > \alpha_{1}$. Отсюда вытекает, что $d_{2} < d_{1}$. Значит, рассматриваемое положение является положением устойчивого равновесия.
Итак, в положении устойчивого равновесия угол $\gamma$ должен быть больше или равен $\pi /2$. Иными словами, чтобы положение рамки было устойчивым, длина нити должна удовлетворять неравенству
$l \geq \frac{b}{a} \sqrt{a^{2} + b^{2} }$.
Отметим, что для тонкого стержня $a \ll b$, поэтому тонкий стержень можно подвесить на нити конечной длины так, чтобы он висел горизонтально только тогда, когда $l \geq b^{2}/a$.
При решении данной задачи можно исходить и из того, что положению устойчивого равновесия соответствует минимум потенциальной энергии.
