Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9957
2018-11-09 
В электромагнитном поле, создаваемом находящимися в одной и той же точке точечным зарядом $e > 0$ и полюсом длинного тонкого магнита, движется по круговой орбите точечный заряд $- e$, имеющий массу $m$. Диаметр круговой орбиты перпендикулярен оси магнита и виден из точки, где находятся заряд и полюс, создающие поле, под углом $2 \theta$. Приняв, что магнитный полюс создает поле $\vec{B} = a \vec{r}/r^{3}$, где $\alpha > 0$ есть некоторая постоянная, определить радиус орбиты.
Решение:
Центростремительная сила, обуславливающая движение по окружности, в данном случае является результирующей сил, с которыми электрическое и магнитное поле воздействуют на движущийся точечный заряд. Из соображений симметрии ясно, что точка, в которой находятся неподвижный электрический заряд и полюс магнита, лежит на оси симметрии орбиты (рис. а).
На рис. б обозначены направление движения заряда, направление поля $\vec{B}$ и направления сил, с которыми электрическое и магнитное поля воздействуют на движущийся положительный заряд. Отметим, что если бы направление скорости $\vec{v}$ было противоположно, то движение не могло бы происходить таким образом, как показано на рис. а.
Силы $\vec{F}_{E}$ и $\vec{F}_{B}$ имеют следующие значения:
$F_{E} = \frac{e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} }, F_{B} = evB = ev \frac{ \alpha}{r^{2} }$.
Центростремительная сила $\vec{F}_{r}$ является результирующей сил $\vec{F}_{E}$ и $\vec{F}_{B}$. Она должна быть направлена перпендикулярно к оси симметрии орбиты. Отсюда следует, что
$ctg \theta = \frac{F_{B} }{F_{E} } = \frac{ \alpha v 4 \pi \epsilon_{0} }{e}$.
Тогда
$v = \frac{e}{4 \pi \epsilon_{0} \alpha } ctg \theta$.
Кроме того, имеет место соотношение
$F_{r} = F_{B} \cos \theta + F_{E} \sin \theta$.
Поскольку $F_{r} = mv^{2}/R$, то последнее равенство можно записать следующим образом:
$\frac{mv^{2}}{R} = \frac{ev \alpha}{r^{2} } \cos \theta + \frac{e^{2} }{ 4 \pi \epsilon_{0} r^{2} } \sin \theta$.
Подставляя значение $v$ и используя зависимость $\sin \theta = R/r$, находим радиус орбиты, по которой движется заряд:
$R = \frac{4 \pi \epsilon_{0} \alpha^{2} }{m} \frac{ \sin^{3} \theta }{ \cos^{2} \theta }$.
Полученное выражение вообще не содержит величины заряда $e$. Но это не должно нас удивлять. Действительно, в выражение, определяющее радиус орбиты, заряд не входит, но скорость $v$ заряда зависит от его величины.
В электромагнитном поле, создаваемом находящимися в одной и той же точке точечным зарядом $e > 0$ и полюсом длинного тонкого магнита, движется по круговой орбите точечный заряд $- e$, имеющий массу $m$. Диаметр круговой орбиты перпендикулярен оси магнита и виден из точки, где находятся заряд и полюс, создающие поле, под углом $2 \theta$. Приняв, что магнитный полюс создает поле $\vec{B} = a \vec{r}/r^{3}$, где $\alpha > 0$ есть некоторая постоянная, определить радиус орбиты.
Решение:
Центростремительная сила, обуславливающая движение по окружности, в данном случае является результирующей сил, с которыми электрическое и магнитное поле воздействуют на движущийся точечный заряд. Из соображений симметрии ясно, что точка, в которой находятся неподвижный электрический заряд и полюс магнита, лежит на оси симметрии орбиты (рис. а).
На рис. б обозначены направление движения заряда, направление поля $\vec{B}$ и направления сил, с которыми электрическое и магнитное поля воздействуют на движущийся положительный заряд. Отметим, что если бы направление скорости $\vec{v}$ было противоположно, то движение не могло бы происходить таким образом, как показано на рис. а.
Силы $\vec{F}_{E}$ и $\vec{F}_{B}$ имеют следующие значения:
$F_{E} = \frac{e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} }, F_{B} = evB = ev \frac{ \alpha}{r^{2} }$.
Центростремительная сила $\vec{F}_{r}$ является результирующей сил $\vec{F}_{E}$ и $\vec{F}_{B}$. Она должна быть направлена перпендикулярно к оси симметрии орбиты. Отсюда следует, что
$ctg \theta = \frac{F_{B} }{F_{E} } = \frac{ \alpha v 4 \pi \epsilon_{0} }{e}$.
Тогда
$v = \frac{e}{4 \pi \epsilon_{0} \alpha } ctg \theta$.
Кроме того, имеет место соотношение
$F_{r} = F_{B} \cos \theta + F_{E} \sin \theta$.
Поскольку $F_{r} = mv^{2}/R$, то последнее равенство можно записать следующим образом:
$\frac{mv^{2}}{R} = \frac{ev \alpha}{r^{2} } \cos \theta + \frac{e^{2} }{ 4 \pi \epsilon_{0} r^{2} } \sin \theta$.
Подставляя значение $v$ и используя зависимость $\sin \theta = R/r$, находим радиус орбиты, по которой движется заряд:
$R = \frac{4 \pi \epsilon_{0} \alpha^{2} }{m} \frac{ \sin^{3} \theta }{ \cos^{2} \theta }$.
Полученное выражение вообще не содержит величины заряда $e$. Но это не должно нас удивлять. Действительно, в выражение, определяющее радиус орбиты, заряд не входит, но скорость $v$ заряда зависит от его величины.
