Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9956
2018-11-09 
Конусообразная воронка, угол при вершине которой равен $2 \alpha = 120^{ \circ}$, вращается с постоянной угловой скоростью $\omega = 2 рад/с$. Ось вращения направлена вертикально. В каком месте на внутренней стороне воронки должен находиться небольшой грузик, чтобы он был в равновесии? Какого рода будет это равновесие?
Рассмотреть два случая: а) трением можно пренебречь; б) трением пренебрегать нельзя.
Решение:
Сначала рассмотрим случай, когда трение отсутствует. Искомое расстояние от положения равновесия грузика до вершины воронки обозначим через $l_{0}$. Рассмотрим систему отсчета, вращающуюся вместе с воронкой. Предположим, что грузик расположен в воронке так, что его скорость относительно воронки равна нулю. В состоянии равновесия составляющая силы тяжести, направленная к вершине воронки, должна уравновешиваться составляющей центробежной силы, параллельной образующей воронки. Угол при вершине воронки равен $2 \alpha$. Тогда можно записать
$mg \cos \alpha = m \omega^{2}l_{0} \sin^{2} \alpha$,
где $m$ - масса грузика. Отсюда
$l_{0} = \frac{g \cos \alpha}{ \omega^{2} \sin^{2} \alpha }$.
Подставляя числовые данные ($\alpha = 60^{ \circ}$), получаем $l_{0} = 4,1 см$. Исследуем вид равновесия. Приближение грузика к вершине воронки приведет к тому, что составляющая силы тяжести превысит уравновешивающую ее составляющую центробежной силы. И наоборот, если грузик удалится от вершины воронки, составляющая центробежной силы превысит составляющую силы тяжести. В обоих случаях смещение грузика от положения равновесия приводит к появлению результирующей силы, увеличивающей это смещение. Это означает, что положение равновесия неустойчиво.
Рассмотрим теперь случай, когда между телом и поверхностью воронки существует трение; коэффициент трения равен $f$. В этом случае к названным ранее двум силам, параллельным образующей воронки, прибавляется еще сила трения. Условие равновесия найдем, считая, что результирующая первых двух составляющих меньше или равна максимальной величине силы трения, которая в свою очередь равна произведению коэффициента трения на силу нормального давления, оказываемого грузиком на стенку воронки. Сила нормального давления равна сумме составляющих силы тяжести и центробежной силы, перпендикулярных к образующей воронки. После несложных алгебраических преобразований получаем
$| mg \cos \alpha - m \omega^{2} l_{0} \sin^{2} \alpha | \leq f (mg \sin \alpha + m \omega^{2}l_{0} \sin \alpha \cos \alpha)$.
Конусообразная воронка, угол при вершине которой равен $2 \alpha = 120^{ \circ}$, вращается с постоянной угловой скоростью $\omega = 2 рад/с$. Ось вращения направлена вертикально. В каком месте на внутренней стороне воронки должен находиться небольшой грузик, чтобы он был в равновесии? Какого рода будет это равновесие?
Рассмотреть два случая: а) трением можно пренебречь; б) трением пренебрегать нельзя.
Решение:
Сначала рассмотрим случай, когда трение отсутствует. Искомое расстояние от положения равновесия грузика до вершины воронки обозначим через $l_{0}$. Рассмотрим систему отсчета, вращающуюся вместе с воронкой. Предположим, что грузик расположен в воронке так, что его скорость относительно воронки равна нулю. В состоянии равновесия составляющая силы тяжести, направленная к вершине воронки, должна уравновешиваться составляющей центробежной силы, параллельной образующей воронки. Угол при вершине воронки равен $2 \alpha$. Тогда можно записать
$mg \cos \alpha = m \omega^{2}l_{0} \sin^{2} \alpha$,
где $m$ - масса грузика. Отсюда
$l_{0} = \frac{g \cos \alpha}{ \omega^{2} \sin^{2} \alpha }$.
Подставляя числовые данные ($\alpha = 60^{ \circ}$), получаем $l_{0} = 4,1 см$. Исследуем вид равновесия. Приближение грузика к вершине воронки приведет к тому, что составляющая силы тяжести превысит уравновешивающую ее составляющую центробежной силы. И наоборот, если грузик удалится от вершины воронки, составляющая центробежной силы превысит составляющую силы тяжести. В обоих случаях смещение грузика от положения равновесия приводит к появлению результирующей силы, увеличивающей это смещение. Это означает, что положение равновесия неустойчиво.
Рассмотрим теперь случай, когда между телом и поверхностью воронки существует трение; коэффициент трения равен $f$. В этом случае к названным ранее двум силам, параллельным образующей воронки, прибавляется еще сила трения. Условие равновесия найдем, считая, что результирующая первых двух составляющих меньше или равна максимальной величине силы трения, которая в свою очередь равна произведению коэффициента трения на силу нормального давления, оказываемого грузиком на стенку воронки. Сила нормального давления равна сумме составляющих силы тяжести и центробежной силы, перпендикулярных к образующей воронки. После несложных алгебраических преобразований получаем
$| mg \cos \alpha - m \omega^{2} l_{0} \sin^{2} \alpha | \leq f (mg \sin \alpha + m \omega^{2}l_{0} \sin \alpha \cos \alpha)$.
