Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9955
2018-11-09 
Тонкий однородный стержень массой $M$ и длиной $d$ находится на диске (рис.), вращающемся с постоянной угловой скоростью $\omega$. Ось стержня лежит на радиусе диска. К одному из концов стержня привязана нить с грузом массой $m$, висящим на оси вращения диска. Коэффициент трения между стержнем и диском равен $f$. Определить наименьшее и наибольшее расстояния одного из концов стержня от оси, при которых стержень еще не будет скользить вдоль радиуса диска.
Решение:
Рассмотрим неинерциальную систему, вращающуюся вместе с диском, в которой на стержень действует центробежная сила инерции.
В состоянии равновесия горизонтальная сила, уравновешиваемая силой трения, является результирующей центробежной силы, действующей на стержень, и силы натяжения нити, равной по величине $P = mg$. Чтобы равновесие было возможно, отношение горизонтальной силы к силе нормального давления не должно превышать по величине коэффициента трения. Иными словами, величина горизонтальной силы не может превышать максимального значения силы трения, равного $fMg$.
Определим центробежную силу, действующую на стержень. Масса единицы длины стержня равна
$\rho = \frac{M}{d}$.
На элемент стержня длиной $dx$, находящийся на расстоянии $x$ от оси вращения, действует центробежная сила
$dF = \frac{M}{d} \omega^{2}x dx$.
Центробежная сила, действующая на весь стержень, равна интегралу
$F = \int dF = \int_{r}^{r + d} \frac{M}{d} \omega^{2}x dx = \frac{M}{d} \omega^{2} \int_{r}^{r + d} xdx = \frac{M}{2d} \omega^{2} [(r + d)^{2} - r^{2} ] = \frac{1}{2} M \omega^{2}(2r + d)$.
Согласно сделанным выше замечаниям, должно выполняться неравенство
$\left | \frac{1}{2} M \omega^{2} (2r + d) - mg \right | \leq fMg$.
Так как в левой части этого неравенства стоит абсолютная величина, то оно равносильно двум следующим неравенствам:
$\frac{1}{2} M \omega^{2}(2r + d) - mg \leq fMg$,
$mg - \frac{1}{2} M \omega^{2} (2r + d) \leq fMg$,
при дополнительном условии $r \geq 0$. Из первого неравенства получаем
$r \leq \frac{fMg + mg}{M \omega^{2} } - \frac{d}{2}$.
Из второго
$r \geq \frac{mg - fMg}{M \omega^{2} } - \frac{d}{2}$
Следовательно,
$r_{max} = \frac{mg}{M \omega^{2} } + \frac{fg}{ \omega^{2} } - \frac{d}{2}$,
$r_{min} = mac \left (0, \frac{mg}{M \omega^{2} } - \frac{fg}{ \omega^{2} } - \frac{d}{2} \right )$.
Чтобы полученное решение имело смысл, должно выполняться условие $r_{max} \geq 0$:
$\frac{mg}{M \omega^{2} } + \frac{fg}{ \omega^{2} } - \frac{d}{2} \geq 0$,
т. е.
$\omega \leq \omega_{max} = \sqrt{ \frac{2(mg + fMg)}{Md} }$.
Для угловых скоростей $\omega$, превышающих $\omega_{max}$, состояние равновесия в рассматриваемой системе невозможно.
Тонкий однородный стержень массой $M$ и длиной $d$ находится на диске (рис.), вращающемся с постоянной угловой скоростью $\omega$. Ось стержня лежит на радиусе диска. К одному из концов стержня привязана нить с грузом массой $m$, висящим на оси вращения диска. Коэффициент трения между стержнем и диском равен $f$. Определить наименьшее и наибольшее расстояния одного из концов стержня от оси, при которых стержень еще не будет скользить вдоль радиуса диска.
Решение:
Рассмотрим неинерциальную систему, вращающуюся вместе с диском, в которой на стержень действует центробежная сила инерции.
В состоянии равновесия горизонтальная сила, уравновешиваемая силой трения, является результирующей центробежной силы, действующей на стержень, и силы натяжения нити, равной по величине $P = mg$. Чтобы равновесие было возможно, отношение горизонтальной силы к силе нормального давления не должно превышать по величине коэффициента трения. Иными словами, величина горизонтальной силы не может превышать максимального значения силы трения, равного $fMg$.
Определим центробежную силу, действующую на стержень. Масса единицы длины стержня равна
$\rho = \frac{M}{d}$.
На элемент стержня длиной $dx$, находящийся на расстоянии $x$ от оси вращения, действует центробежная сила
$dF = \frac{M}{d} \omega^{2}x dx$.
Центробежная сила, действующая на весь стержень, равна интегралу
$F = \int dF = \int_{r}^{r + d} \frac{M}{d} \omega^{2}x dx = \frac{M}{d} \omega^{2} \int_{r}^{r + d} xdx = \frac{M}{2d} \omega^{2} [(r + d)^{2} - r^{2} ] = \frac{1}{2} M \omega^{2}(2r + d)$.
Согласно сделанным выше замечаниям, должно выполняться неравенство
$\left | \frac{1}{2} M \omega^{2} (2r + d) - mg \right | \leq fMg$.
Так как в левой части этого неравенства стоит абсолютная величина, то оно равносильно двум следующим неравенствам:
$\frac{1}{2} M \omega^{2}(2r + d) - mg \leq fMg$,
$mg - \frac{1}{2} M \omega^{2} (2r + d) \leq fMg$,
при дополнительном условии $r \geq 0$. Из первого неравенства получаем
$r \leq \frac{fMg + mg}{M \omega^{2} } - \frac{d}{2}$.
Из второго
$r \geq \frac{mg - fMg}{M \omega^{2} } - \frac{d}{2}$
Следовательно,
$r_{max} = \frac{mg}{M \omega^{2} } + \frac{fg}{ \omega^{2} } - \frac{d}{2}$,
$r_{min} = mac \left (0, \frac{mg}{M \omega^{2} } - \frac{fg}{ \omega^{2} } - \frac{d}{2} \right )$.
Чтобы полученное решение имело смысл, должно выполняться условие $r_{max} \geq 0$:
$\frac{mg}{M \omega^{2} } + \frac{fg}{ \omega^{2} } - \frac{d}{2} \geq 0$,
т. е.
$\omega \leq \omega_{max} = \sqrt{ \frac{2(mg + fMg)}{Md} }$.
Для угловых скоростей $\omega$, превышающих $\omega_{max}$, состояние равновесия в рассматриваемой системе невозможно.
