Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9953
2018-11-09 
Шарик, привязанный на тонкой, гибкой, невесомой и нерастяжимой нити к концу неподвижного вертикального жесткого стержня, заставляют двигаться по окружности в горизонтальной плоскости. Нить очерчивает коническую поверхность с углом при вершине $2 \alpha$. Сначала система находится в неподвижном лифте. В некоторый момент лифт начинает свободно падать.
Определить движение шарика до и во время падения лифта.
Решение:
Эту задачу можно решать как в инерциальной системе отсчета, так и в неинерциальной, вращающейся вместе с шариком вокруг стержня. Рассмотрим решения в обеих системах. Очевидно, что в неподвижном лифте шарик двигался по окружности. Определим период $T$ этого движения.
Сначала рассмотрим движение шарика в инерциальной системе (рис.). На тело, движущееся по окружности, действует центростремительная сила, направленная к центру окружности. В данном случае это сила $\vec{F}$, равная равнодействующей двух сил: натяжения нити $\vec{N}$ и силы тяжести $m \vec{g}$ и направленная перпендикулярно $m \vec{g}$. Из подобия треугольников на рис. находим
$\frac{F}{mg} = \frac{r}{ \sqrt{l^{2} - r^{2} } }$, или $F = \frac{mgr}{ \sqrt{l^{2} - r^{2} } }$.
Как известно,
$F = m \frac{v^{2} }{r}$,
где $v$ - скорость тела при движении по окружности. Значит,
$\frac{v^{2} }{r} = \frac{gr}{ \sqrt{l^{2} - r^{2} }}$.
После преобразований получаем
$v = r \sqrt{ \frac{g}{ \sqrt{l^{2} - r^{2} } }}$.
Период $T$ определим, используя равенство $v = 2 \pi (r/T)$:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{ \sqrt{l^{2} - r^{2} } }{g} }$.
Определим также натяжение нити $N$. Из подобия заштрихованных треугольников на рис. имеем
$\frac{N}{mg} = \frac{l}{ \sqrt{l^{2} - r^{2} } }$ т. е. $N = \frac{mgl}{ \sqrt{l^{2} - r^{2} } }$.
Теперь проанализируем полученные результаты. Если угол $\alpha \rightarrow \pi /2$, т. е. $r \rightarrow l$, то скорость $v$ и натяжение нити $N$ стремятся к бесконечности, а период $T$ уменьшается, стремясь к нулю. Если $\alpha \rightarrow 0$, т. е. $r \rightarrow 0$, то скорость $v \rightarrow r \sqrt{g/l}$, период стремится к периоду колебаний математического маятника $2 \pi \sqrt{l/g}$, а натяжение нити стремится к весу груза.
Во вращающейся системе отсчета (см. рис.) результирующая центробежной силы $\vec{F}$ и силы тяжести $mg$ должна быть направлена вдоль нити. В противном случае относительно точки О действовал бы некоторый отличный от нуля момент силы и движение по окружности не было бы равномерным, что противоречит условию задачи. Из подобия заштрихованных треугольников на рис. имеем
$\frac{F}{mg} = \frac{r}{ \sqrt{l^{2} - r^{2} } }$.
Дальше задача решается, как и в предыдущем случае (в инерциальной системе).
До сих пор мы рассматривали маятник, находящийся в неподвижном лифте. Теперь посмотрим, что произойдет, если лифт начнет свободно падать с ускорением $g$. В момент начала падения в системе отсчета, движущейся вместе с лифтом, на шарик начинает действовать сила инерции, равная по величине $mg$ и направленная вверх. Эта сила компенсирует силу тяжести. В результате на шарик действует только сила натяжения нити, которая обусловлена упругими свойствами нити и, следовательно, не перестает действовать в состоянии невесомости.
В момент начала падения лифта скорость шарика $v$ не изменяется ни по величине, ни по направлению. Сила натяжения нити действует вдоль нити и направлена к точке подвеса. Значит, шарик будет вращаться по окружности, радиус которой равен длине нити $l$, а центр находится в точке подвеса нити. Роль центростремительной силы теперь играет сила натяжения нити $N_{1}$, равная
$N_{1} = \frac{mv^{2} }{l} = \frac{mr^{2}g }{ l \sqrt{ l^{2} - r^{2} } } = N \frac{r^{2} }{l^{2} } = N \sin^{2} \alpha$,
Период вращения маятника во время падения лифта, очевидно, равен
$T_{1} = \frac{2 \pi l}{v} = \frac{T}{ \sin \alpha}$.
Траектории движения шарика до и во время падения лифта представлены на рис.
Шарик, привязанный на тонкой, гибкой, невесомой и нерастяжимой нити к концу неподвижного вертикального жесткого стержня, заставляют двигаться по окружности в горизонтальной плоскости. Нить очерчивает коническую поверхность с углом при вершине $2 \alpha$. Сначала система находится в неподвижном лифте. В некоторый момент лифт начинает свободно падать.
Определить движение шарика до и во время падения лифта.
Решение:
Эту задачу можно решать как в инерциальной системе отсчета, так и в неинерциальной, вращающейся вместе с шариком вокруг стержня. Рассмотрим решения в обеих системах. Очевидно, что в неподвижном лифте шарик двигался по окружности. Определим период $T$ этого движения.
Сначала рассмотрим движение шарика в инерциальной системе (рис.). На тело, движущееся по окружности, действует центростремительная сила, направленная к центру окружности. В данном случае это сила $\vec{F}$, равная равнодействующей двух сил: натяжения нити $\vec{N}$ и силы тяжести $m \vec{g}$ и направленная перпендикулярно $m \vec{g}$. Из подобия треугольников на рис. находим
$\frac{F}{mg} = \frac{r}{ \sqrt{l^{2} - r^{2} } }$, или $F = \frac{mgr}{ \sqrt{l^{2} - r^{2} } }$.
Как известно,
$F = m \frac{v^{2} }{r}$,
где $v$ - скорость тела при движении по окружности. Значит,
$\frac{v^{2} }{r} = \frac{gr}{ \sqrt{l^{2} - r^{2} }}$.
После преобразований получаем
$v = r \sqrt{ \frac{g}{ \sqrt{l^{2} - r^{2} } }}$.
Период $T$ определим, используя равенство $v = 2 \pi (r/T)$:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{ \sqrt{l^{2} - r^{2} } }{g} }$.
Определим также натяжение нити $N$. Из подобия заштрихованных треугольников на рис. имеем
$\frac{N}{mg} = \frac{l}{ \sqrt{l^{2} - r^{2} } }$ т. е. $N = \frac{mgl}{ \sqrt{l^{2} - r^{2} } }$.
Теперь проанализируем полученные результаты. Если угол $\alpha \rightarrow \pi /2$, т. е. $r \rightarrow l$, то скорость $v$ и натяжение нити $N$ стремятся к бесконечности, а период $T$ уменьшается, стремясь к нулю. Если $\alpha \rightarrow 0$, т. е. $r \rightarrow 0$, то скорость $v \rightarrow r \sqrt{g/l}$, период стремится к периоду колебаний математического маятника $2 \pi \sqrt{l/g}$, а натяжение нити стремится к весу груза.
Во вращающейся системе отсчета (см. рис.) результирующая центробежной силы $\vec{F}$ и силы тяжести $mg$ должна быть направлена вдоль нити. В противном случае относительно точки О действовал бы некоторый отличный от нуля момент силы и движение по окружности не было бы равномерным, что противоречит условию задачи. Из подобия заштрихованных треугольников на рис. имеем
$\frac{F}{mg} = \frac{r}{ \sqrt{l^{2} - r^{2} } }$.
Дальше задача решается, как и в предыдущем случае (в инерциальной системе).
До сих пор мы рассматривали маятник, находящийся в неподвижном лифте. Теперь посмотрим, что произойдет, если лифт начнет свободно падать с ускорением $g$. В момент начала падения в системе отсчета, движущейся вместе с лифтом, на шарик начинает действовать сила инерции, равная по величине $mg$ и направленная вверх. Эта сила компенсирует силу тяжести. В результате на шарик действует только сила натяжения нити, которая обусловлена упругими свойствами нити и, следовательно, не перестает действовать в состоянии невесомости.
В момент начала падения лифта скорость шарика $v$ не изменяется ни по величине, ни по направлению. Сила натяжения нити действует вдоль нити и направлена к точке подвеса. Значит, шарик будет вращаться по окружности, радиус которой равен длине нити $l$, а центр находится в точке подвеса нити. Роль центростремительной силы теперь играет сила натяжения нити $N_{1}$, равная
$N_{1} = \frac{mv^{2} }{l} = \frac{mr^{2}g }{ l \sqrt{ l^{2} - r^{2} } } = N \frac{r^{2} }{l^{2} } = N \sin^{2} \alpha$,
Период вращения маятника во время падения лифта, очевидно, равен
$T_{1} = \frac{2 \pi l}{v} = \frac{T}{ \sin \alpha}$.
Траектории движения шарика до и во время падения лифта представлены на рис.
