Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9952
2018-11-09 
Математический маятник длиной $l$ может колебаться в вертикальной плоскости, которая вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса, с постоянной угловой скоростью $\omega$. Определить положение равновесия маятника. Какого рода это равновесие (устойчивое, неустойчивое, безразличное)?
Решение:
Используя обозначения, принятые на рис., определим полную потенциальную энергию маятника относительно положения, в котором маятник висит вертикально вдоль оси вращения. Учитывая замечание, сделанное при решении предыдущей задачи, эта энергия равна
$E_{п} = mgl( 1 - \cos \alpha) - \frac{1}{2} m \omega^{2}l^{2} \sin^{2} \alpha$.
В состоянии равновесия при $\alpha = \alpha_{p}$
$\left . \frac{dE_{п} }{d \alpha} \right |_{ \alpha = \alpha_{p} } = 0$,
$mgl \sin \alpha_{p} - m \omega^{2} l^{2} \sin \alpha_{p} \cos \alpha_{p} = 0$,
$\sin \alpha_{p} \left ( \frac{g}{ \omega^{2} l } - \cos \alpha_{p} \right ) = 0$.
Мы получили то же самое уравнение, что и в предыдущей задаче. В этом нет ничего удивительного, поскольку в обеих этих задачах по-разному реализуется одна и та же физическая идея. Следовательно, можно сразу сформулировать выводы:
1) при угловой скорости $0 \leq \omega_{p} \leq \sqrt{g/l}$ имеется только одно положение равновесия $\alpha_{p} = 0$;
2) при скорости $\omega > \omega_{p} = \sqrt{g/l}$ существует два положения равновесия: $\alpha_{p} = 0$ и $\alpha_{p} = arccos g/( \omega^{2}l)$.
Отметим, что величина $\omega_{p}$ равна частоте колебаний свободного маятника.
Рассмотрим теперь вид равновесия. Как известно, в состоянии неустойчивого равновесия система обладает максимальной потенциальной энергией, а в состоянии устойчивого равновесия — минимальной. Значит, мы должны определить, имеет энергия минимум или максимум при $\alpha = \alpha_{p}$. Вторая производная $E_{п}( \alpha)$ по $\alpha$ при $\alpha = \alpha_{p}$ равна
$mgl \cos \alpha_{p} - m \omega^{2}l^{2} \cos^{2} \alpha_{p} + m \omega^{2}l^{2} \sin^{2} \alpha_{p} = m \omega^{2}l^{2} + mgl \cos \alpha_{p} - 2m \omega^{2}l^{2} \cos^{2} \alpha_{p}$.
Так как $\cos \alpha_{p} = g/( \omega^{2}l) \leq 1$, то при $\omega > \omega_{p}$ это выражение больше нуля. Это означает, что положение равновесия является устойчивым. При $\alpha_{p} = 0$ вторая производная $E_{п}( \alpha)$ по $\alpha$ равна
$m \omega^{2}l^{2} + mgl - 2m \omega^{2}l^{2} = mgl - m \omega^{2}l^{2} = ml \left ( \frac{g}{l} - \omega^{2} \right )$.
Эта величина при $\omega < \omega_{p}$ будет положительной, а при $\omega > \omega_{p}$ - отрицательной. Следовательно, вертикальное положение маятника при $\omega < \omega_{p}$ является положением устойчивого равновесия, а при $\omega > \omega_{p}$ - положением неустойчивого равновесия. Исследование равновесия при $\omega = \omega_{p}$ требует анализа высших производных. Это не так сложно, и без особых затруднений может сам выполнить соответствующие вычисления.
Математический маятник длиной $l$ может колебаться в вертикальной плоскости, которая вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса, с постоянной угловой скоростью $\omega$. Определить положение равновесия маятника. Какого рода это равновесие (устойчивое, неустойчивое, безразличное)?
Решение:
Используя обозначения, принятые на рис., определим полную потенциальную энергию маятника относительно положения, в котором маятник висит вертикально вдоль оси вращения. Учитывая замечание, сделанное при решении предыдущей задачи, эта энергия равна
$E_{п} = mgl( 1 - \cos \alpha) - \frac{1}{2} m \omega^{2}l^{2} \sin^{2} \alpha$.
В состоянии равновесия при $\alpha = \alpha_{p}$
$\left . \frac{dE_{п} }{d \alpha} \right |_{ \alpha = \alpha_{p} } = 0$,
$mgl \sin \alpha_{p} - m \omega^{2} l^{2} \sin \alpha_{p} \cos \alpha_{p} = 0$,
$\sin \alpha_{p} \left ( \frac{g}{ \omega^{2} l } - \cos \alpha_{p} \right ) = 0$.
Мы получили то же самое уравнение, что и в предыдущей задаче. В этом нет ничего удивительного, поскольку в обеих этих задачах по-разному реализуется одна и та же физическая идея. Следовательно, можно сразу сформулировать выводы:
1) при угловой скорости $0 \leq \omega_{p} \leq \sqrt{g/l}$ имеется только одно положение равновесия $\alpha_{p} = 0$;
2) при скорости $\omega > \omega_{p} = \sqrt{g/l}$ существует два положения равновесия: $\alpha_{p} = 0$ и $\alpha_{p} = arccos g/( \omega^{2}l)$.
Отметим, что величина $\omega_{p}$ равна частоте колебаний свободного маятника.
Рассмотрим теперь вид равновесия. Как известно, в состоянии неустойчивого равновесия система обладает максимальной потенциальной энергией, а в состоянии устойчивого равновесия — минимальной. Значит, мы должны определить, имеет энергия минимум или максимум при $\alpha = \alpha_{p}$. Вторая производная $E_{п}( \alpha)$ по $\alpha$ при $\alpha = \alpha_{p}$ равна
$mgl \cos \alpha_{p} - m \omega^{2}l^{2} \cos^{2} \alpha_{p} + m \omega^{2}l^{2} \sin^{2} \alpha_{p} = m \omega^{2}l^{2} + mgl \cos \alpha_{p} - 2m \omega^{2}l^{2} \cos^{2} \alpha_{p}$.
Так как $\cos \alpha_{p} = g/( \omega^{2}l) \leq 1$, то при $\omega > \omega_{p}$ это выражение больше нуля. Это означает, что положение равновесия является устойчивым. При $\alpha_{p} = 0$ вторая производная $E_{п}( \alpha)$ по $\alpha$ равна
$m \omega^{2}l^{2} + mgl - 2m \omega^{2}l^{2} = mgl - m \omega^{2}l^{2} = ml \left ( \frac{g}{l} - \omega^{2} \right )$.
Эта величина при $\omega < \omega_{p}$ будет положительной, а при $\omega > \omega_{p}$ - отрицательной. Следовательно, вертикальное положение маятника при $\omega < \omega_{p}$ является положением устойчивого равновесия, а при $\omega > \omega_{p}$ - положением неустойчивого равновесия. Исследование равновесия при $\omega = \omega_{p}$ требует анализа высших производных. Это не так сложно, и без особых затруднений может сам выполнить соответствующие вычисления.
