Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9951
2018-11-09 
Сосуд в форме сферы радиусом $r = 9,81 см$, внутрь которого помещено небольшое тело, вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр симметрии шара. При угловой скорости $\omega_{1} = 5 рад/с$ давление тела на стенку в состоянии равновесия равно $N_{1} = 10^{-2} Н$. При какой скорости $\omega_{2}$ давление тела на стенку станет равным $N_{2} = 4 \cdot 10^{-2} Н$? Трение между телом и поверхностью сосуда пренебрежимо мало. Ускорение свободного падения $g = 9,81 м/с^{2}$.
Решение:
Величины давления $N_{1}$ и $N_{2}$ относятся к состоянию равновесия. Значит, следует прежде всего подробно исследовать это состояние. Пусть центр сферы, образующей сосуд, лежит в точке О, а тело находится в точке А (рис.). Ось вращения (обозначена пунктирной линией) сферы проходит через точку О. Для описания состояния равновесия удобно использовать угол $\alpha$, образованный радиусом, проведенным в точку A, и осью вращения. Очевидно, $0 \leq \alpha \leq \pi /2$.
В состоянии равновесия во вращающейся системе результирующее ускорение, равное сумме ускорения свободного падения и центробежного ускорения, должно быть направлено перпендикулярно к поверхности сосуда, т. е. по радиусу ОА. Если угловую скорость вращения сосуда и тела обозначить через $\omega$, то в состоянии равновесия должно быть справедливо уравнение
$tg \alpha_{p} = \frac{ \omega^{2}r \sin \alpha_{p} }{g}$, или $\sin \alpha_{p} \left ( \frac{1}{ \cos \alpha_{p} } - \frac{ \omega^{2}r }{g} \right ) = 0$,
где $\alpha_{p}$ - величина угла $\alpha$ в состоянии равновесия.
Это равенство выполняется в том случае, когда первый или второй сомножитель равен нулю. Рассмотрим оба случая:
а) $\sin \alpha_{p} = 0$, или $\alpha_{p} = 0$.
В этом случае тело находится на дне сосуда, и давление, оказываемое им на стенку сосуда, равно его весу:
б) $\cos \alpha_{p} = \frac{g}{ \omega^{2}r }$, или $\alpha_{p} = arccos \frac{g}{ \omega^{2}r }$.
Это равенство справедливо только при $g/ \omega^{2}r \leq 1$, или $\omega \geq \omega_{p} = \sqrt{ \frac{g}{q} }$. Подставив числовые значения $g$ и $r$, найдем $\omega_{p} = 10 рад/с$. Согласно условию задачи, $\omega_{1} < \omega_{p}$. Это означает, что вначале тело покоилось на дне сосуда. Его вес равен тогда $N_{1}$, а масса $m = N_{1}/g$.
Определим теперь скорость $\omega_{2}$, при которой давление тела на стенку сосуда будет равно $N_{2}$. Ясно, что $\omega_{2}$ должно быть больше $\omega_{p}$. Если тело в точке А находится в состоянии равновесия, то
$\frac{rm \omega_{2}^{2} \sin \alpha_{A} }{N_{2} } = \sin \alpha_{A}$,
где $m = N_{1}/g$. Отсюда находим
$\omega_{2} = \sqrt{ \frac{N_{2} }{N_{1} } \frac{g}{r} } = \sqrt{ \frac{N_{2} }{N_{1} } } \omega_{p} = 20 рад/с$.
При решении данной задачи и ей подобных часто допускают ошибку, деля обе части уравнения, определяющего $\alpha_{p}$ на $\sin \alpha_{p}$, тогда уравнение приобретает вид
$\cos \alpha_{p} = \frac{g}{ \omega^{2} r }$.
Подставив в это соотношение численные значения величин, получим $\cos \alpha_{p} = 4 > 1$, что невозможно. Следует помнить, что нельзя делить на величину, которая может равняться нулю.
Теперь решим эту задачу, используя закон сохранения энергии. В системе отсчета, вращающейся вместе с сосудом, тело покоится. Для определения полной потенциальной энергии тела нужно рассмотреть две силы: силу тяжести и центробежную силу. (Если бы тело не покоилось, то на него кроме центробежной силы действовали бы и другие силы инерции, например сила Кориолиса, которая не является потенциальной.) Вернемся к рис. Построим систему координат таким образом, чтобы направленная вверх ось z совпадала с осью вращения, а горизонтальная ось х вращалась, проходя через нижнюю точку сосуда. Угловую скорость вращения сосуда, как и прежде, обозначим через $\omega$. Пусть тело, находящееся в точке A, имеет координаты х и z. Очевидно, что
$x = r \sin \alpha$,
$z = r( 1 — \cos \alpha)$.
Потенциальную энергию будем измерять относительно дна сосуда. Тогда потенциальная энергия тела, находящегося в точке A, обусловленная силой тяжести, равна
$E_{g} = mgz$.
Потенциальная энергия тела, обусловленная центробежной силой, равна
$E_{0} = - \frac{1}{2} \omega^{2} x^{2} m$.
Следует обратить внимание на знак «—» в последнем равенстве. Этот знак говорит о том, что чем дальше от оси вращения находится тело, тем меньше его потенциальная энергия в поле центробежных сил.
Как известно, если тело находится под воздействием нескольких полей (в нашем случае это поле гравитации и поле центробежной силы), то его полная потенциальная энергия равна сумме потенциальных энергий этих полей. Следовательно, полная' потенциальная энергия тела относительно дна сосуда равна
$E_{п} = mgz - \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}$,
или
$E_{п} = mgr (1 - \cos \alpha) - \frac{1}{2} m \omega^{2} r^{2} \sin^{2} \alpha$.
Найдем экстремум функции $E_{п}( \alpha)$:
$\left . \frac{dE_{п} }{d \alpha} \right |_{ \alpha = \alpha_{p} } = 0$,
$mgr \sin \alpha_{p} - m \omega^{2} r^{2} \sin \alpha_{p} \cos \alpha_{p} = 0$,
$\sin \alpha_{p} \left ( \frac{g}{ \omega^{2} r } - \cos \alpha_{p} \right ) = 0$.
Это уравнение равносильно тому, которое было получено нами при анализе сил. Следовательно, нет необходимости производить дальнейшие вычисления.
То, что мы отсчитывали потенциальную энергию относительно дна сосуда, не имеет принципиального значения. Можно было бы рассматривать ее и относительно любой другой точки. Тогда выражение, стоящее в правой части уравнения для $E_{п}$, отличалось бы от приведенного здесь на некоторую постоянную, производная от которой равна нулю.
Сосуд в форме сферы радиусом $r = 9,81 см$, внутрь которого помещено небольшое тело, вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр симметрии шара. При угловой скорости $\omega_{1} = 5 рад/с$ давление тела на стенку в состоянии равновесия равно $N_{1} = 10^{-2} Н$. При какой скорости $\omega_{2}$ давление тела на стенку станет равным $N_{2} = 4 \cdot 10^{-2} Н$? Трение между телом и поверхностью сосуда пренебрежимо мало. Ускорение свободного падения $g = 9,81 м/с^{2}$.
Решение:
Величины давления $N_{1}$ и $N_{2}$ относятся к состоянию равновесия. Значит, следует прежде всего подробно исследовать это состояние. Пусть центр сферы, образующей сосуд, лежит в точке О, а тело находится в точке А (рис.). Ось вращения (обозначена пунктирной линией) сферы проходит через точку О. Для описания состояния равновесия удобно использовать угол $\alpha$, образованный радиусом, проведенным в точку A, и осью вращения. Очевидно, $0 \leq \alpha \leq \pi /2$.
В состоянии равновесия во вращающейся системе результирующее ускорение, равное сумме ускорения свободного падения и центробежного ускорения, должно быть направлено перпендикулярно к поверхности сосуда, т. е. по радиусу ОА. Если угловую скорость вращения сосуда и тела обозначить через $\omega$, то в состоянии равновесия должно быть справедливо уравнение
$tg \alpha_{p} = \frac{ \omega^{2}r \sin \alpha_{p} }{g}$, или $\sin \alpha_{p} \left ( \frac{1}{ \cos \alpha_{p} } - \frac{ \omega^{2}r }{g} \right ) = 0$,
где $\alpha_{p}$ - величина угла $\alpha$ в состоянии равновесия.
Это равенство выполняется в том случае, когда первый или второй сомножитель равен нулю. Рассмотрим оба случая:
а) $\sin \alpha_{p} = 0$, или $\alpha_{p} = 0$.
В этом случае тело находится на дне сосуда, и давление, оказываемое им на стенку сосуда, равно его весу:
б) $\cos \alpha_{p} = \frac{g}{ \omega^{2}r }$, или $\alpha_{p} = arccos \frac{g}{ \omega^{2}r }$.
Это равенство справедливо только при $g/ \omega^{2}r \leq 1$, или $\omega \geq \omega_{p} = \sqrt{ \frac{g}{q} }$. Подставив числовые значения $g$ и $r$, найдем $\omega_{p} = 10 рад/с$. Согласно условию задачи, $\omega_{1} < \omega_{p}$. Это означает, что вначале тело покоилось на дне сосуда. Его вес равен тогда $N_{1}$, а масса $m = N_{1}/g$.
Определим теперь скорость $\omega_{2}$, при которой давление тела на стенку сосуда будет равно $N_{2}$. Ясно, что $\omega_{2}$ должно быть больше $\omega_{p}$. Если тело в точке А находится в состоянии равновесия, то
$\frac{rm \omega_{2}^{2} \sin \alpha_{A} }{N_{2} } = \sin \alpha_{A}$,
где $m = N_{1}/g$. Отсюда находим
$\omega_{2} = \sqrt{ \frac{N_{2} }{N_{1} } \frac{g}{r} } = \sqrt{ \frac{N_{2} }{N_{1} } } \omega_{p} = 20 рад/с$.
При решении данной задачи и ей подобных часто допускают ошибку, деля обе части уравнения, определяющего $\alpha_{p}$ на $\sin \alpha_{p}$, тогда уравнение приобретает вид
$\cos \alpha_{p} = \frac{g}{ \omega^{2} r }$.
Подставив в это соотношение численные значения величин, получим $\cos \alpha_{p} = 4 > 1$, что невозможно. Следует помнить, что нельзя делить на величину, которая может равняться нулю.
Теперь решим эту задачу, используя закон сохранения энергии. В системе отсчета, вращающейся вместе с сосудом, тело покоится. Для определения полной потенциальной энергии тела нужно рассмотреть две силы: силу тяжести и центробежную силу. (Если бы тело не покоилось, то на него кроме центробежной силы действовали бы и другие силы инерции, например сила Кориолиса, которая не является потенциальной.) Вернемся к рис. Построим систему координат таким образом, чтобы направленная вверх ось z совпадала с осью вращения, а горизонтальная ось х вращалась, проходя через нижнюю точку сосуда. Угловую скорость вращения сосуда, как и прежде, обозначим через $\omega$. Пусть тело, находящееся в точке A, имеет координаты х и z. Очевидно, что
$x = r \sin \alpha$,
$z = r( 1 — \cos \alpha)$.
Потенциальную энергию будем измерять относительно дна сосуда. Тогда потенциальная энергия тела, находящегося в точке A, обусловленная силой тяжести, равна
$E_{g} = mgz$.
Потенциальная энергия тела, обусловленная центробежной силой, равна
$E_{0} = - \frac{1}{2} \omega^{2} x^{2} m$.
Следует обратить внимание на знак «—» в последнем равенстве. Этот знак говорит о том, что чем дальше от оси вращения находится тело, тем меньше его потенциальная энергия в поле центробежных сил.
Как известно, если тело находится под воздействием нескольких полей (в нашем случае это поле гравитации и поле центробежной силы), то его полная потенциальная энергия равна сумме потенциальных энергий этих полей. Следовательно, полная' потенциальная энергия тела относительно дна сосуда равна
$E_{п} = mgz - \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}$,
или
$E_{п} = mgr (1 - \cos \alpha) - \frac{1}{2} m \omega^{2} r^{2} \sin^{2} \alpha$.
Найдем экстремум функции $E_{п}( \alpha)$:
$\left . \frac{dE_{п} }{d \alpha} \right |_{ \alpha = \alpha_{p} } = 0$,
$mgr \sin \alpha_{p} - m \omega^{2} r^{2} \sin \alpha_{p} \cos \alpha_{p} = 0$,
$\sin \alpha_{p} \left ( \frac{g}{ \omega^{2} r } - \cos \alpha_{p} \right ) = 0$.
Это уравнение равносильно тому, которое было получено нами при анализе сил. Следовательно, нет необходимости производить дальнейшие вычисления.
То, что мы отсчитывали потенциальную энергию относительно дна сосуда, не имеет принципиального значения. Можно было бы рассматривать ее и относительно любой другой точки. Тогда выражение, стоящее в правой части уравнения для $E_{п}$, отличалось бы от приведенного здесь на некоторую постоянную, производная от которой равна нулю.
