Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9950
2018-11-09 
На рис. показана система, состоящая из двух идеальных невесомых пружин, имеющих в нерастянутом состоянии длину $l_{0}$ и коэффициент упругости $k$, а также двух одинаковых грузиков с массами $m$, нанизанных на тонкий, гладкий невесомый стержень. Система может вращаться вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к направлению стержня.
1. Какую минимальную работу требуется совершить, чтобы угловая скорость системы возросла от начальной величины $\omega_{0} = 0$ до некоторого значения $\omega$, при условии, что в начальном и конечном состояниях грузики неподвижны относительно стержня?
2. Может ли скорость $\omega$ иметь любое произвольное значение?
Решение:
Пусть $l_{1}$ и $l_{2}$ - длины пружин в состоянии равновесия при угловой скорости системы, равной $\omega$. Индекс 1 присвоим пружине, которая ближе к оси вращения, а индекс 2 - внешней пружине.
Поскольку в состоянии равновесия грузики движутся по окружностям, то на внешний грузик должна действовать центростремительная сила, равная $m \omega^{2}(l_{1} + l_{2})$, а на внутренний - $m \omega^{2}l_{1}$.
Центростремительная сила, действующая на внешний грузик, — это сила упругости внешней пружины
$k(l_{2} - l_{0}) = m \omega^{2}(l_{1} + l_{2})$.
В то же время центростремительная сила, действующая на первый грузик, является равнодействующей сил, с которыми обе пружины действуют на грузик. Учитывая направления этих сил, можно записать
$k(l_{1} - l_{0}) - k(l_{2} - l_{0}) = m \omega^{2}l_{1}$.
Итак, мы получили два уравнения, из которых можно определить $l_{1}$ и $l_{2}$:
$l_{1} = l_{0} \frac{1}{x^{2} - 3x + 1 }$,
$l_{2} = l_{0} \frac{1 - x}{x^{2} - 3x + 1 } = (1 - x)l_{1}$,
где через $x$ обозначена величина $m \omega^{2}/k$. Для $\omega_{0} = 0$ состоянию равновесия соответствует $l_{1} = l_{2} = l_{0}$.
Отметим, что в полученных выражениях для $l_{1}$ и $l_{2}$ знаменатель может оказаться равным нулю. Это возможно при двух значениях $x$:
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{5} }{2}$.
Легко видеть, что если $x$ будет изменяться от нуля до $x_{1}$, то длины пружин будут монотонно возрастать от $l_{0}$ до бесконечности. Значит, физический смысл имеют только те значения со, при которых $x < x_{1}$, т. е., которые определяются зависимостью
$\omega < \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{k}{m} } ( \sqrt{5} - 1 )$.
Без труда можно убедиться, что при $x > x_{1}$ по крайней мере одна из величин, $l_{1}$ или $l_{2}$, имеет отрицательное значение, что не соответствует условию задачи.
Определим теперь, какую минимальную работу требуется совершить, чтобы раскрутить систему от $\omega_{0} = 0$ до скорости $\omega$. Для этого определим полную начальную и конечную энергию системы.
При $\omega_{0} = 0$ полная энергия равна нулю, поскольку пружины не растянуты и грузики неподвижны.
Кинетическая энергия грузиков, вращающихся со скоростью $\omega$, равна
$E_{к} = \frac{1}{2} ml_{1}^{2} \omega^{2} + \frac{1}{2} m (l_{1} + l_{2} )^{2} \omega^{2} = \frac{1}{2} m \omega^{2} [l_{1}^{2} + (l_{1} + l_{2} )^{2} ]$.
В то же время потенциальная энергия растянутых пружин равна
$E_{п} = \frac{1}{2} k(l_{1} - l_{0})^{2} + \frac{1}{2}k(l_{2} - l_{0})^{2}$.
Полная энергия системы, вращающейся со скоростью $\omega$, следовательно, равна
$E = E_{к} + E_{п} = \frac{1}{2} m \omega^{2} [l_{1}^{2} + (l_{1} + l_{2} )^{2} ] + \frac{1}{2} k [ (l_{1} - l_{0} )^{2} + (l_{2} - l_{0} )^{2} ]$.
Зная, что
$l_{2} = (1 - x)l_{1} = l_{0} \frac{1 - x}{x^{2} - 3x + 1 }$,
где $x = m \omega^{2}/k$, после несложных алгебраических преобразований получим
$E = \frac{1}{2} kl_{0} \frac{x (2x^{3} - 9x^{2} + 9x + 5 ) }{(x^{2} - 3x + 1 )^{2} }$.
Работа, которую требуется совершить, чтобы раскрутить систему, не может быть меньше, чем разность начальной и конечной полной энергии. Поскольку начальная полная энергия равна нулю, то минимальная работа должна быть равна $E$. Отметим, что эта работа при стремлении $\omega$ к некоторому предельному значению $\omega_{1}$ (при $x \rightarrow x_{1}$) стремится к бесконечности.
На рис. показана система, состоящая из двух идеальных невесомых пружин, имеющих в нерастянутом состоянии длину $l_{0}$ и коэффициент упругости $k$, а также двух одинаковых грузиков с массами $m$, нанизанных на тонкий, гладкий невесомый стержень. Система может вращаться вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к направлению стержня.
1. Какую минимальную работу требуется совершить, чтобы угловая скорость системы возросла от начальной величины $\omega_{0} = 0$ до некоторого значения $\omega$, при условии, что в начальном и конечном состояниях грузики неподвижны относительно стержня?
2. Может ли скорость $\omega$ иметь любое произвольное значение?
Решение:
Пусть $l_{1}$ и $l_{2}$ - длины пружин в состоянии равновесия при угловой скорости системы, равной $\omega$. Индекс 1 присвоим пружине, которая ближе к оси вращения, а индекс 2 - внешней пружине.
Поскольку в состоянии равновесия грузики движутся по окружностям, то на внешний грузик должна действовать центростремительная сила, равная $m \omega^{2}(l_{1} + l_{2})$, а на внутренний - $m \omega^{2}l_{1}$.
Центростремительная сила, действующая на внешний грузик, — это сила упругости внешней пружины
$k(l_{2} - l_{0}) = m \omega^{2}(l_{1} + l_{2})$.
В то же время центростремительная сила, действующая на первый грузик, является равнодействующей сил, с которыми обе пружины действуют на грузик. Учитывая направления этих сил, можно записать
$k(l_{1} - l_{0}) - k(l_{2} - l_{0}) = m \omega^{2}l_{1}$.
Итак, мы получили два уравнения, из которых можно определить $l_{1}$ и $l_{2}$:
$l_{1} = l_{0} \frac{1}{x^{2} - 3x + 1 }$,
$l_{2} = l_{0} \frac{1 - x}{x^{2} - 3x + 1 } = (1 - x)l_{1}$,
где через $x$ обозначена величина $m \omega^{2}/k$. Для $\omega_{0} = 0$ состоянию равновесия соответствует $l_{1} = l_{2} = l_{0}$.
Отметим, что в полученных выражениях для $l_{1}$ и $l_{2}$ знаменатель может оказаться равным нулю. Это возможно при двух значениях $x$:
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{5} }{2}$.
Легко видеть, что если $x$ будет изменяться от нуля до $x_{1}$, то длины пружин будут монотонно возрастать от $l_{0}$ до бесконечности. Значит, физический смысл имеют только те значения со, при которых $x < x_{1}$, т. е., которые определяются зависимостью
$\omega < \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{k}{m} } ( \sqrt{5} - 1 )$.
Без труда можно убедиться, что при $x > x_{1}$ по крайней мере одна из величин, $l_{1}$ или $l_{2}$, имеет отрицательное значение, что не соответствует условию задачи.
Определим теперь, какую минимальную работу требуется совершить, чтобы раскрутить систему от $\omega_{0} = 0$ до скорости $\omega$. Для этого определим полную начальную и конечную энергию системы.
При $\omega_{0} = 0$ полная энергия равна нулю, поскольку пружины не растянуты и грузики неподвижны.
Кинетическая энергия грузиков, вращающихся со скоростью $\omega$, равна
$E_{к} = \frac{1}{2} ml_{1}^{2} \omega^{2} + \frac{1}{2} m (l_{1} + l_{2} )^{2} \omega^{2} = \frac{1}{2} m \omega^{2} [l_{1}^{2} + (l_{1} + l_{2} )^{2} ]$.
В то же время потенциальная энергия растянутых пружин равна
$E_{п} = \frac{1}{2} k(l_{1} - l_{0})^{2} + \frac{1}{2}k(l_{2} - l_{0})^{2}$.
Полная энергия системы, вращающейся со скоростью $\omega$, следовательно, равна
$E = E_{к} + E_{п} = \frac{1}{2} m \omega^{2} [l_{1}^{2} + (l_{1} + l_{2} )^{2} ] + \frac{1}{2} k [ (l_{1} - l_{0} )^{2} + (l_{2} - l_{0} )^{2} ]$.
Зная, что
$l_{2} = (1 - x)l_{1} = l_{0} \frac{1 - x}{x^{2} - 3x + 1 }$,
где $x = m \omega^{2}/k$, после несложных алгебраических преобразований получим
$E = \frac{1}{2} kl_{0} \frac{x (2x^{3} - 9x^{2} + 9x + 5 ) }{(x^{2} - 3x + 1 )^{2} }$.
Работа, которую требуется совершить, чтобы раскрутить систему, не может быть меньше, чем разность начальной и конечной полной энергии. Поскольку начальная полная энергия равна нулю, то минимальная работа должна быть равна $E$. Отметим, что эта работа при стремлении $\omega$ к некоторому предельному значению $\omega_{1}$ (при $x \rightarrow x_{1}$) стремится к бесконечности.
