Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 995
2016-09-17 
В горизонтальном прямом желобе на равных расстояниях $L = 1 м$ друг от друга лежат $N = 2002$ маленьких шарика. Известно, что шарики разложены в порядке убывания их масс и что массы соседних шариков отличаются друг от друга на $\alpha = 1%$. Самому тяжёлому шарику в момент времени $t = 0$ сообщили скорость $v = 1 м/с$ в направлении остальных шариков. Считая все удары абсолютно упругими, найдите, через какое время после этого начнёт двигаться самый лёгкий шарик. Трения нет. Временем соударения пренебречь.
Решение:
Пусть масса первого (самого тяжёлого) шарика равна $m$. Тогда масса второго шарика равна $(1 — \alpha)m$, третьего — $(1 — \alpha)^{2}m$, и так далее (здесь $\alpha = 0,01$). Пусть после столкновения первый шарик приобрёл скорость $u$, а второй начал двигаться со скоростью $v_{1}$. Запишем законы сохранения импульса и энергии для столкновения первого и второго шариков:
$mv = mu + (1 - \alpha)mv_{1}, \frac{mv^{2}}{2} = \frac{mu^{2}}{2} + \frac{(1- \alpha)mv_{1}^{2}}{2}$.
Отсюда скорость первого шарика равна $u = \frac{ \alpha}{2 - \alpha} v > 0$, а скорость втоporo шарика (после первого соударения) $v_{1} = \frac{2}{2 - \alpha} v > u > 0$.
Таким образом, после первого соударения оба шарика будут двигаться в направлении исходного движения первого шарика, причём второй, более лёгкий шарик будет двигаться быстрее первого, более тяжёлого. Поскольку шарики разложены в порядке убывания их масс, то аналогичные рассуждения справедливы для любой пары сталкивающихся шариков. Поэтому любой более тяжёлый шарик, столкнувшись со следующим за ним более лёгким, впоследствии не будет влиять на дальнейшее движение всех остальных более лёгких шариков. Вследствие этого при решении задачи можно просто последовательно рассматривать соударения в цепочке шариков.
Первое соударение шариков произойдёт через время $\Delta t_{0} = L/v$. Так как массы любых двух соседних шариков отличаются в одинаковое число раз, то аналогичная формула справедлива для любого соударения. Поэтому скорость третьего шарика (после второго соударения) равна $v_{2} = \frac{2}{2 - \alpha} v_{1} = \left ( \frac{2}{2 - \alpha} \right )^{2}v$, скорость четвертого шарика (после третьего соударения) $v_{3} = \frac{2}{2- \alpha} v_{2} = \left ( \frac{2}{2 - \alpha} \right )^{3} v$, и так далее. Следовательно, промежуток времени между соударениями $(n + 1)$-го и $(n + 2)$-го шариков равен
$\Delta t_{n} = \frac{L}{v_{n}} = \frac{L}{v} \left ( \frac{2 - \alpha}{2} \right )^{n}$,
где $n = 0, 1, 2, \cdots, N — 2$, а время, через которое начнёт двигаться последний шарик, равно сумме всех промежутков $\Delta t_{n}$:
$T = \frac{L}{v} + \frac{L}{v} \cdot \frac{2 - \alpha}{2} + \frac{L}{v} \left ( \right )^{2} + \cdot + \frac{L}{v} \left ( \frac{2 - \alpha}{2} \right )^{N-2}$.
Последняя сумма представляет собой сумму $N — 1$ члена геометрической прогрессии с первым членом $a = L/v$ и знаменателем $q = \frac{2 - \alpha}{2} < 1$. Поэтому
$T = \frac{a(1 - q^{N-1})}{1-q} = \frac{L}{v} \cdot \frac{ \left ( 1 - \left ( \frac{2 - \alpha}{2} \right )^{N-1} \right )}{ 1 - \frac{2 - \alpha}{2}} = \frac{2L}{ \alpha v } \left ( 1 - \left ( \frac{2- \alpha}{2} \right )^{N-1} \right ) \approx \frac{2L}{ \alpha v} = \frac{2 \cdot 1 м}{ 0,01 \cdot 1 м/с} = 200 с$
В последней формуле учтено, что $q^{N-1} = \left ( \frac{2 - \alpha}{2} \right )^{N-1} = 0,995^{2001} \approx 4,4 \cdot 10^{-5} \ll 1$.
Отметим, что последний шарик после соударения приобретёт скорость $v_{N-1} = \left ( \frac{2}{2 - \alpha} \right )^{N-1} v = \frac{v}{q^{N-1}} \approx 22,8 км/с$, что превышает вторую космическую скорость!
В горизонтальном прямом желобе на равных расстояниях $L = 1 м$ друг от друга лежат $N = 2002$ маленьких шарика. Известно, что шарики разложены в порядке убывания их масс и что массы соседних шариков отличаются друг от друга на $\alpha = 1%$. Самому тяжёлому шарику в момент времени $t = 0$ сообщили скорость $v = 1 м/с$ в направлении остальных шариков. Считая все удары абсолютно упругими, найдите, через какое время после этого начнёт двигаться самый лёгкий шарик. Трения нет. Временем соударения пренебречь.
Решение:
Пусть масса первого (самого тяжёлого) шарика равна $m$. Тогда масса второго шарика равна $(1 — \alpha)m$, третьего — $(1 — \alpha)^{2}m$, и так далее (здесь $\alpha = 0,01$). Пусть после столкновения первый шарик приобрёл скорость $u$, а второй начал двигаться со скоростью $v_{1}$. Запишем законы сохранения импульса и энергии для столкновения первого и второго шариков:
$mv = mu + (1 - \alpha)mv_{1}, \frac{mv^{2}}{2} = \frac{mu^{2}}{2} + \frac{(1- \alpha)mv_{1}^{2}}{2}$.
Отсюда скорость первого шарика равна $u = \frac{ \alpha}{2 - \alpha} v > 0$, а скорость втоporo шарика (после первого соударения) $v_{1} = \frac{2}{2 - \alpha} v > u > 0$.
Таким образом, после первого соударения оба шарика будут двигаться в направлении исходного движения первого шарика, причём второй, более лёгкий шарик будет двигаться быстрее первого, более тяжёлого. Поскольку шарики разложены в порядке убывания их масс, то аналогичные рассуждения справедливы для любой пары сталкивающихся шариков. Поэтому любой более тяжёлый шарик, столкнувшись со следующим за ним более лёгким, впоследствии не будет влиять на дальнейшее движение всех остальных более лёгких шариков. Вследствие этого при решении задачи можно просто последовательно рассматривать соударения в цепочке шариков.
Первое соударение шариков произойдёт через время $\Delta t_{0} = L/v$. Так как массы любых двух соседних шариков отличаются в одинаковое число раз, то аналогичная формула справедлива для любого соударения. Поэтому скорость третьего шарика (после второго соударения) равна $v_{2} = \frac{2}{2 - \alpha} v_{1} = \left ( \frac{2}{2 - \alpha} \right )^{2}v$, скорость четвертого шарика (после третьего соударения) $v_{3} = \frac{2}{2- \alpha} v_{2} = \left ( \frac{2}{2 - \alpha} \right )^{3} v$, и так далее. Следовательно, промежуток времени между соударениями $(n + 1)$-го и $(n + 2)$-го шариков равен
$\Delta t_{n} = \frac{L}{v_{n}} = \frac{L}{v} \left ( \frac{2 - \alpha}{2} \right )^{n}$,
где $n = 0, 1, 2, \cdots, N — 2$, а время, через которое начнёт двигаться последний шарик, равно сумме всех промежутков $\Delta t_{n}$:
$T = \frac{L}{v} + \frac{L}{v} \cdot \frac{2 - \alpha}{2} + \frac{L}{v} \left ( \right )^{2} + \cdot + \frac{L}{v} \left ( \frac{2 - \alpha}{2} \right )^{N-2}$.
Последняя сумма представляет собой сумму $N — 1$ члена геометрической прогрессии с первым членом $a = L/v$ и знаменателем $q = \frac{2 - \alpha}{2} < 1$. Поэтому
$T = \frac{a(1 - q^{N-1})}{1-q} = \frac{L}{v} \cdot \frac{ \left ( 1 - \left ( \frac{2 - \alpha}{2} \right )^{N-1} \right )}{ 1 - \frac{2 - \alpha}{2}} = \frac{2L}{ \alpha v } \left ( 1 - \left ( \frac{2- \alpha}{2} \right )^{N-1} \right ) \approx \frac{2L}{ \alpha v} = \frac{2 \cdot 1 м}{ 0,01 \cdot 1 м/с} = 200 с$
В последней формуле учтено, что $q^{N-1} = \left ( \frac{2 - \alpha}{2} \right )^{N-1} = 0,995^{2001} \approx 4,4 \cdot 10^{-5} \ll 1$.
Отметим, что последний шарик после соударения приобретёт скорость $v_{N-1} = \left ( \frac{2}{2 - \alpha} \right )^{N-1} v = \frac{v}{q^{N-1}} \approx 22,8 км/с$, что превышает вторую космическую скорость!
