Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9949
2018-11-09 
Плоская, тонкая, прямоугольная стеклянная пластина массой $m$ подвешена на двух невесомых и нерастяжимых нитях так, как показано на рис. С каждой стороны половина поверхности пластины покрыта химически активным металлом. Пластину помещают в стеклянный сосуд (поначалу пустой), куда в некоторый момент впускают газообразный хлор под давлением $p$. Предположив, что вероятность химической реакции присоединения молекул хлора к металлу равна $P < 1$, определить угол, на который повернется пластина вокруг вертикальной оси в состоянии равновесия.
Принять, что масса присоединяемого хлора практически одинакова с обеих сторон пластины, что давление хлора по мере прохождения реакции падает пренебрежимо мало, а образовавшееся соединение хлора с металлом полностью остается на пластине. Предполагается также, что за время наблюдения прореагировало настолько мало хлора, что вероятность $P$ и массу пластины $m$ можно считать постоянными.
Решение:
Некоторое количество молекул хлора, соприкасаясь с поверхностью металла, вступают с ним в химическую реакцию. Эти столкновения не являются упругими, как это было бы в случае с химически нейтральным газом. При полностью неупругих столкновениях импульс, сообщаемый пластине при каждом столкновении с ней молекул газа, вдвое меньше, чем при упругом соударении. Это объясняется тем, что частица с импульсом $mv$ не «отражается» от пластины с импульсом $- mv$, а остается на ней, приобретая импульс, равный нулю. Если бы все соударения молекул с пластиной были неупругими, то давление хлора на металл было бы равно половине давления, действующего на стенки сосуда. Давление хлора на стенки сосуда обозначим через $p$. Очевидно, такое же давление оказывают молекулы хлора на пластину там, где она не покрыта металлом. Давление хлора на металл обозначим через $p_{1}$. Тогда можем записать следующие равенства:
$p = Pp + (1 - P)p$,
$p_{1} = P \frac{1}{2} p + (1 - P)p$.
Разность между давлением, оказываемым на сторону пластины, не покрытую металлом, и давлением на поверхность, покрытую металлом, равна
$\delta p = p - p_{1} = \frac{1}{2}Pp$.
Из этого следует, что на каждый элемент пластины действует определенная сила избыточного давления $\Delta p$ со стороны, не покрытой металлом (рис. ). Полная сила, действующая на пластину, очевидно, равна нулю. Вместе с тем момент сил отличен от нуля, и поэтому он стремится развернуть пластину в направлении против часовой стрелки.
Чтобы определить полный момент силы, следовало бы определить момент силы, действующей на малый элемент пластины и проинтегрировать его по всей ее поверхности. Однако, поскольку распределение сил в данном случае оказывается довольно простым, можно поступить проще, воспользовавшись хорошо известным правилом: при равномерном распределении сил вдоль стержня результирующий момент будет таким же, как если бы результирующая всех сил была приложена к середине стержня. Применив это правило для каждой из половинок пластины, получим, что полный момент силы, действующей на пластину, относительно ее середины равен
$M = \frac{1}{2} pPb^{2}c$,
где размеры $b$ и $c$ соответствуют рис. в условии задачи.
Если бы ни пластину не действовали никакие другие моменты сил, то она вращалась бы с определенным угловым ускорением. Чтобы установилось конечное равновесие, на пластину должны подействовать моменты, направленные в противоположную сторону. Эти моменты могут быть обусловлены только воздействием нитей, на которых подвешена пластина. До тех пор пока пластина занимает нижнее положение, нити вертикальны, вертикально направлены и силы, с которыми на нее действуют нити. Момент этих сил равен нулю. При повороте пластины изменяется и направление нитей. Силы, уравновешивающие вес пластины, создают теперь отличный от нуля момент, стремящийся повернуть пластину по часовой стрелке, причем этот момент увеличивается при возрастании угла поворота. В положении равновесия результирующий момент всех сил, действующих на пластину, должен равняться нулю. Иными словами, моменты сил, закручивающих пластину по часовой стрелке и против нее, должны быть одинаковыми.
Определим теперь момент сил натяжения нитей. Рассмотрим ситуацию, изображенную на рис., где $A^{ \prime}$ и $A$ - положение точки, в которой нить прикреплена к пластине до и после ее поворота на угол $\alpha$; В — точка подвеса нити; $S^{ \prime}$ и $S$ - положение середины верхней стороны пластины до и после ее поворота на угол $\alpha; N$ — сила натяжения нити.
На рисунке отображен тот факт, что в силу симметричности движения вращающейся пластины ее середина будет двигаться по вертикали, проходящей через середину отрезка, соединяющего точки подвеса нитей.
Из равнобедренного треугольника ASC имеем
$AC = 2a \sin \frac{ \alpha}{2}$.
Из прямоугольного треугольника АВС находим зависимость
$\sin \beta = \frac{AC}{AB} = \sin \frac{ \alpha}{2}$, или $\beta = \frac{ \alpha}{2}$.
Зависимость между $\beta$ и $\alpha$ довольно проста благодаря удачному выбору соотношения длины нитей и расстояния между точками их подвеса. В общем случае подобная зависимость несколько сложнее, но лишь для расчета, а не с физической точки зрения.
Вертикальная составляющая натяжения каждой нити равна $N \cos \beta$ и должна равняться половине веса пластины:
$N \cos \beta = \frac{1}{2} mg$.
Величина горизонтальной составляющей, которая направлена вдоль стороны Л С, равна $N \sin \beta$. Момент ее относительно середины стороны пластины равен, следовательно, произведению $N \sin \beta$ на высоту треугольника ASC, т. е. на $a \cos \alpha /2$. Момент, стремящийся повернуть пластину по часовой стрелке, со стороны обеих нитей равен
$M^{ \prime} = 2N \sin \beta a \cos \frac{ \alpha}{2}$.
Но $N = mg/2 \cos \beta$, поэтому
$M^{ \prime} = 2 \frac{mg}{2 \cos \beta} \sin \beta a \cos \frac{ \alpha}{2} = mga \sin \beta = mga \sin \frac{ \alpha}{2}$.
В состоянии равновесия должно выполняться равенство
$M = M^{ \prime}$.
После небольших преобразований получаем
$\sin \frac{ \alpha}{2} = \frac{pPb^{2}c }{2mga}$.
Чтобы это выражение имело смысл, должно выполняться условие
$\frac{pPb^{2}c }{2,ga} \leq 1$.
В противном случае состояние равновесия не будет достигнуто — пластина либо будет вращаться на перекрученных нитях, либо нити слишком сильно натянутся и оборвутся (при $\beta \rightarrow 90^{ \circ}$ натяжение $N \rightarrow \infty$).
Эту задачу можно решить другим способом, учитывая изменение потенциальной энергии системы. Из рис. видно, что высота, на которую поднимется пластина при повороте на угол $\alpha$, равна
$SS^{ \prime} = A^{ \prime}C = 2a (1 - \cos \beta) = 2a \left ( 1 - \cos \frac{ \alpha}{2} \right )$.
Если потенциальную энергию пластины $E_{п1}$ связанную с силой тяжести, измерять относительно ее нижнего положения, то можно записать
$E_{п1} = 4mga \left (1 - \cos \frac{ \alpha}{2} \right )$.
Кроме силы тяжести на пластину действует еще момент силы давления $M$, с которым также можно связать некоторую потенциальную энергию $E_{п2}$, определяемую как работу сил, необходимую для уравновешивания этого момента и поворота пластины (при условии, что нет других сил и моментов сил). Поскольку момент $M$ действует в том же направлении, в котором отсчитываем угол $\alpha$, то приложенная пара сил должна выполнять отрицательную работу. При повороте на угол $\alpha$ каждая из точек приложения равнодействующих сил давления переместится на $b \alpha/2$, а, значит, работа пары сил будет равна
$E_{п2} = - 2 \frac{b}{a} \alpha \frac{1}{2} pPbc = - M \alpha$.
Полная потенциальная энергия пластины, повернутой на угол $\alpha$, равна
$E_{п} = E_{п1} + E_{п2}$.
В состоянии равновесия потенциальная энергия механической системы имеет экстремум, а, значит,
$\frac{d}{d \alpha} E_{п} = 0$.
Продифференцировав выражение для полной потенциальной энергии $E_{п}$ по $\alpha$, получаем
$mga \sin \frac{ \alpha}{2} - M = 0$.
Это равенство равнозначно рассмотренному выше равенству моментов сил.
Плоская, тонкая, прямоугольная стеклянная пластина массой $m$ подвешена на двух невесомых и нерастяжимых нитях так, как показано на рис. С каждой стороны половина поверхности пластины покрыта химически активным металлом. Пластину помещают в стеклянный сосуд (поначалу пустой), куда в некоторый момент впускают газообразный хлор под давлением $p$. Предположив, что вероятность химической реакции присоединения молекул хлора к металлу равна $P < 1$, определить угол, на который повернется пластина вокруг вертикальной оси в состоянии равновесия.
Принять, что масса присоединяемого хлора практически одинакова с обеих сторон пластины, что давление хлора по мере прохождения реакции падает пренебрежимо мало, а образовавшееся соединение хлора с металлом полностью остается на пластине. Предполагается также, что за время наблюдения прореагировало настолько мало хлора, что вероятность $P$ и массу пластины $m$ можно считать постоянными.
Решение:
Некоторое количество молекул хлора, соприкасаясь с поверхностью металла, вступают с ним в химическую реакцию. Эти столкновения не являются упругими, как это было бы в случае с химически нейтральным газом. При полностью неупругих столкновениях импульс, сообщаемый пластине при каждом столкновении с ней молекул газа, вдвое меньше, чем при упругом соударении. Это объясняется тем, что частица с импульсом $mv$ не «отражается» от пластины с импульсом $- mv$, а остается на ней, приобретая импульс, равный нулю. Если бы все соударения молекул с пластиной были неупругими, то давление хлора на металл было бы равно половине давления, действующего на стенки сосуда. Давление хлора на стенки сосуда обозначим через $p$. Очевидно, такое же давление оказывают молекулы хлора на пластину там, где она не покрыта металлом. Давление хлора на металл обозначим через $p_{1}$. Тогда можем записать следующие равенства:
$p = Pp + (1 - P)p$,
$p_{1} = P \frac{1}{2} p + (1 - P)p$.
Разность между давлением, оказываемым на сторону пластины, не покрытую металлом, и давлением на поверхность, покрытую металлом, равна
$\delta p = p - p_{1} = \frac{1}{2}Pp$.
Из этого следует, что на каждый элемент пластины действует определенная сила избыточного давления $\Delta p$ со стороны, не покрытой металлом (рис. ). Полная сила, действующая на пластину, очевидно, равна нулю. Вместе с тем момент сил отличен от нуля, и поэтому он стремится развернуть пластину в направлении против часовой стрелки.
Чтобы определить полный момент силы, следовало бы определить момент силы, действующей на малый элемент пластины и проинтегрировать его по всей ее поверхности. Однако, поскольку распределение сил в данном случае оказывается довольно простым, можно поступить проще, воспользовавшись хорошо известным правилом: при равномерном распределении сил вдоль стержня результирующий момент будет таким же, как если бы результирующая всех сил была приложена к середине стержня. Применив это правило для каждой из половинок пластины, получим, что полный момент силы, действующей на пластину, относительно ее середины равен
$M = \frac{1}{2} pPb^{2}c$,
где размеры $b$ и $c$ соответствуют рис. в условии задачи.
Если бы ни пластину не действовали никакие другие моменты сил, то она вращалась бы с определенным угловым ускорением. Чтобы установилось конечное равновесие, на пластину должны подействовать моменты, направленные в противоположную сторону. Эти моменты могут быть обусловлены только воздействием нитей, на которых подвешена пластина. До тех пор пока пластина занимает нижнее положение, нити вертикальны, вертикально направлены и силы, с которыми на нее действуют нити. Момент этих сил равен нулю. При повороте пластины изменяется и направление нитей. Силы, уравновешивающие вес пластины, создают теперь отличный от нуля момент, стремящийся повернуть пластину по часовой стрелке, причем этот момент увеличивается при возрастании угла поворота. В положении равновесия результирующий момент всех сил, действующих на пластину, должен равняться нулю. Иными словами, моменты сил, закручивающих пластину по часовой стрелке и против нее, должны быть одинаковыми.
Определим теперь момент сил натяжения нитей. Рассмотрим ситуацию, изображенную на рис., где $A^{ \prime}$ и $A$ - положение точки, в которой нить прикреплена к пластине до и после ее поворота на угол $\alpha$; В — точка подвеса нити; $S^{ \prime}$ и $S$ - положение середины верхней стороны пластины до и после ее поворота на угол $\alpha; N$ — сила натяжения нити.
На рисунке отображен тот факт, что в силу симметричности движения вращающейся пластины ее середина будет двигаться по вертикали, проходящей через середину отрезка, соединяющего точки подвеса нитей.
Из равнобедренного треугольника ASC имеем
$AC = 2a \sin \frac{ \alpha}{2}$.
Из прямоугольного треугольника АВС находим зависимость
$\sin \beta = \frac{AC}{AB} = \sin \frac{ \alpha}{2}$, или $\beta = \frac{ \alpha}{2}$.
Зависимость между $\beta$ и $\alpha$ довольно проста благодаря удачному выбору соотношения длины нитей и расстояния между точками их подвеса. В общем случае подобная зависимость несколько сложнее, но лишь для расчета, а не с физической точки зрения.
Вертикальная составляющая натяжения каждой нити равна $N \cos \beta$ и должна равняться половине веса пластины:
$N \cos \beta = \frac{1}{2} mg$.
Величина горизонтальной составляющей, которая направлена вдоль стороны Л С, равна $N \sin \beta$. Момент ее относительно середины стороны пластины равен, следовательно, произведению $N \sin \beta$ на высоту треугольника ASC, т. е. на $a \cos \alpha /2$. Момент, стремящийся повернуть пластину по часовой стрелке, со стороны обеих нитей равен
$M^{ \prime} = 2N \sin \beta a \cos \frac{ \alpha}{2}$.
Но $N = mg/2 \cos \beta$, поэтому
$M^{ \prime} = 2 \frac{mg}{2 \cos \beta} \sin \beta a \cos \frac{ \alpha}{2} = mga \sin \beta = mga \sin \frac{ \alpha}{2}$.
В состоянии равновесия должно выполняться равенство
$M = M^{ \prime}$.
После небольших преобразований получаем
$\sin \frac{ \alpha}{2} = \frac{pPb^{2}c }{2mga}$.
Чтобы это выражение имело смысл, должно выполняться условие
$\frac{pPb^{2}c }{2,ga} \leq 1$.
В противном случае состояние равновесия не будет достигнуто — пластина либо будет вращаться на перекрученных нитях, либо нити слишком сильно натянутся и оборвутся (при $\beta \rightarrow 90^{ \circ}$ натяжение $N \rightarrow \infty$).
Эту задачу можно решить другим способом, учитывая изменение потенциальной энергии системы. Из рис. видно, что высота, на которую поднимется пластина при повороте на угол $\alpha$, равна
$SS^{ \prime} = A^{ \prime}C = 2a (1 - \cos \beta) = 2a \left ( 1 - \cos \frac{ \alpha}{2} \right )$.
Если потенциальную энергию пластины $E_{п1}$ связанную с силой тяжести, измерять относительно ее нижнего положения, то можно записать
$E_{п1} = 4mga \left (1 - \cos \frac{ \alpha}{2} \right )$.
Кроме силы тяжести на пластину действует еще момент силы давления $M$, с которым также можно связать некоторую потенциальную энергию $E_{п2}$, определяемую как работу сил, необходимую для уравновешивания этого момента и поворота пластины (при условии, что нет других сил и моментов сил). Поскольку момент $M$ действует в том же направлении, в котором отсчитываем угол $\alpha$, то приложенная пара сил должна выполнять отрицательную работу. При повороте на угол $\alpha$ каждая из точек приложения равнодействующих сил давления переместится на $b \alpha/2$, а, значит, работа пары сил будет равна
$E_{п2} = - 2 \frac{b}{a} \alpha \frac{1}{2} pPbc = - M \alpha$.
Полная потенциальная энергия пластины, повернутой на угол $\alpha$, равна
$E_{п} = E_{п1} + E_{п2}$.
В состоянии равновесия потенциальная энергия механической системы имеет экстремум, а, значит,
$\frac{d}{d \alpha} E_{п} = 0$.
Продифференцировав выражение для полной потенциальной энергии $E_{п}$ по $\alpha$, получаем
$mga \sin \frac{ \alpha}{2} - M = 0$.
Это равенство равнозначно рассмотренному выше равенству моментов сил.
