Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9948
2018-11-09 
На деревянном полу стоит лестница-стремянка. Посередине она связана веревкой, растяжением которой можно пренебречь. Веревка разрывается, если к ней приложить силу $F > 98 Н$.
Определить, при каком угле между половинками лестницы веревка оборвется, если известно, что на вершине лестницы стоит человек массой $m = 70 кг$, а коэффициент трения лестницы о пол равен $f = 0,65$.
Считаем, что силы приложены симметрично и массой лестницы можно пренебречь.
Решение:
Согласно условию задачи считаем, что вес лестницы пренебрежимо мал. Вес $\vec{Q} = m \vec{g}$ является векторной суммой двух сил: $\vec{Q}_{1}$ и $\vec{Q}_{2}$ (рис.). Поскольку система симметрична, то ограничимся рассмотрением только одной из них, например силы $\vec{Q}_{2}$.
Силу $\vec{Q}_{2}$ можно разложить на две составляющие, как показано на рисунке. Очевидно, что
$F_{1} = \frac{1}{2}Q$,
$F_{2} = F_{1} tg \alpha$.
Сила $\vec{F}_{1}$ уравновешивается силой реакции пола. Рассмотрим два случая:
а) $F_{2}$ не превышает максимального значения силы трения $T_{max} = fF_{1} = \frac{1}{2} fQ$. Это возможно при $f \geq tg \alpha$. В этом случае сила трения $T$ будет уравновешивать силу $F_{2}$ независимо от величины $Q$. Увеличение $Q$ не приводит к увеличению натяжения веревки. Значит, веревка никогда не разорвется.
б) $F_{2}$ больше, чем $T_{max} = \frac{1}{2} fQ$. Это возможно при $f < tg \alpha$. В этом случае результирующий момент сил $F_{2}$ и $T_{max}$ относительно точки О должен равняться моменту силы $T_{1}$, натягивающей веревку. В противном случае стороны лестницы не были бы в равновесии. Следовательно, имеем
$T_{1}l \cos \alpha = (F_{2} - T_{max} ) 2l \cos \alpha$.
Тогда
$T_{1} = ( tg \alpha - f)Q$,
но, поскольку $T_{1} \leq F$,
$(tg \alpha - f) Q \leq F$,
или
$tg \alpha \leq \frac{F}{Q} + f$.
Итак, если $tg \alpha \leq (F/Q) + f$, то веревка не разорвется. Максимальная величина угла $\alpha$, превышение которой приведет к разрыву веревки, следовательно, определяется равенством
$tg \alpha = \frac{F}{Q} + f$.
Подставляя числовые данные, получаем $\alpha = 38^{ \circ} 25^{ \prime}$. Максимальный угол, на который можно раздвинуть лестницу, равен $2 \alpha = 76^{ \circ} 50^{ \prime}$.
На деревянном полу стоит лестница-стремянка. Посередине она связана веревкой, растяжением которой можно пренебречь. Веревка разрывается, если к ней приложить силу $F > 98 Н$.
Определить, при каком угле между половинками лестницы веревка оборвется, если известно, что на вершине лестницы стоит человек массой $m = 70 кг$, а коэффициент трения лестницы о пол равен $f = 0,65$.
Считаем, что силы приложены симметрично и массой лестницы можно пренебречь.
Решение:
Согласно условию задачи считаем, что вес лестницы пренебрежимо мал. Вес $\vec{Q} = m \vec{g}$ является векторной суммой двух сил: $\vec{Q}_{1}$ и $\vec{Q}_{2}$ (рис.). Поскольку система симметрична, то ограничимся рассмотрением только одной из них, например силы $\vec{Q}_{2}$.
Силу $\vec{Q}_{2}$ можно разложить на две составляющие, как показано на рисунке. Очевидно, что
$F_{1} = \frac{1}{2}Q$,
$F_{2} = F_{1} tg \alpha$.
Сила $\vec{F}_{1}$ уравновешивается силой реакции пола. Рассмотрим два случая:
а) $F_{2}$ не превышает максимального значения силы трения $T_{max} = fF_{1} = \frac{1}{2} fQ$. Это возможно при $f \geq tg \alpha$. В этом случае сила трения $T$ будет уравновешивать силу $F_{2}$ независимо от величины $Q$. Увеличение $Q$ не приводит к увеличению натяжения веревки. Значит, веревка никогда не разорвется.
б) $F_{2}$ больше, чем $T_{max} = \frac{1}{2} fQ$. Это возможно при $f < tg \alpha$. В этом случае результирующий момент сил $F_{2}$ и $T_{max}$ относительно точки О должен равняться моменту силы $T_{1}$, натягивающей веревку. В противном случае стороны лестницы не были бы в равновесии. Следовательно, имеем
$T_{1}l \cos \alpha = (F_{2} - T_{max} ) 2l \cos \alpha$.
Тогда
$T_{1} = ( tg \alpha - f)Q$,
но, поскольку $T_{1} \leq F$,
$(tg \alpha - f) Q \leq F$,
или
$tg \alpha \leq \frac{F}{Q} + f$.
Итак, если $tg \alpha \leq (F/Q) + f$, то веревка не разорвется. Максимальная величина угла $\alpha$, превышение которой приведет к разрыву веревки, следовательно, определяется равенством
$tg \alpha = \frac{F}{Q} + f$.
Подставляя числовые данные, получаем $\alpha = 38^{ \circ} 25^{ \prime}$. Максимальный угол, на который можно раздвинуть лестницу, равен $2 \alpha = 76^{ \circ} 50^{ \prime}$.
