Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9945
2018-11-09 
В центре тонкого небольшого стержня длиной 20 см закреплена материальная точка. Стержень прислонен к гладкой вертикальной стене и, таким образом, находится в положении неустойчивого равновесия. Нижний конец стержня может двигаться по полу без трения. После небольшого отклонения стержень начинает двигаться, оставаясь все время в одной плоскости. Как только центр стержня достигает пола, он тотчас «приклеивается» к нему и остается неподвижным. На каком расстоянии от стены окажется центр стержня?
Решение:
Прежде всего отметим, что если концы стержня все время перемещаются по взаимно перпендикулярным траекториям, то его центр перемещается по окружности, радиус которой равен половине длины стержня ($r = 10 см$), а ее центр лежит в точке, в которой вертикальная стенка пересекается с горизонтальным полом. На первый взгляд кажется, что траектория центра стержня должна быть вогнутой кривой, выпуклость которой обращена к полу, но это не так. Центр стержня должен двигаться по дуге, обращенной выпуклостью вверх.
Докажем это. Рассмотрим стержень АВ, опирающийся на стену и пол так, как показано на рис. Пусть точка S отмечает центр стержня. Проведем через точку 5 перпендикуляры к стене (SC) и к полу (SD). Четырехугольник OCSD является прямоугольным, значит, его диагонали равны между собой: CD = OS. Треугольники ACS и ОАВ подобны, поскольку их соответствующие стороны параллельны. Отсюда следует, что точка С делит отрезок ОА пополам. Аналогично можно доказать, что точка D делит пополам отрезок ОВ. Треугольники OCD и ОАВ подобны, поскольку они имеют общий угол, а соответствующие стороны, прилежащие к этому углу, пропорциональны. Следовательно,
$\frac{CD}{AB} = \frac{OC}{OA}$.
Поскольку ОС : ОА = 1 : 2, то CD = АВ/2. Аналогично, поскольку CD = OS, то OS = АВ/2.
Таким образом, мы доказали, что если стержень касается концами стены и пола, то расстояние от его середины до точки О всегда равно половине длины стержня. Иными словами, если стержень не отрывается от стены, его середина перемещается по окружности с центром в точке О.
На рис. показан стержень и действующие на него силы: $\vec{F}_{1}$ - сила реакции пола, действующая на стержень, $\vec{F}_{2}$ - сила реакции стены. Сила $\vec{R}$ равна сумме сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$. Остальные обозначения не требуют разъяснений.
Поскольку стержень считаем невесомым, его момент инерции относительно середины равен нулю. Тогда полный момент сил, действующих на стержень, должен равняться нулю. В противном случае стержень двигался бы относительно точки S с бесконечно большим угловым ускорением. Поскольку вращению стержня, скользящего концами по полу и стене, соответствует линейное ускорение его центра, перемещающегося по дуге, то бесконечному угловому ускорению должно было бы соответствовать бесконечное линейное ускорение материальной точки в центре стержня, а это невозможно, так как эта точка имеет определенную массу. Следовательно,
$F_{1}r \sin \alpha - F_{2}r \cos \alpha = 0$
и
$\frac{F_{2} }{F_{1} } = tg \alpha$.
Это означает, что сила $\vec{R} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2}$ направлена вдоль радиуса окружности.
Поскольку стена и пол «отталкивают» стержень, а не притягивают, то сила $\vec{R}$ всегда должна быть направлена от центра наружу. Рассмотрим теперь движение точки по окружности и определим положение, при котором сила $\vec{R}$ становится равной нулю. Если бы движение центра стержня происходило по окружности, то, пройдя это положение ($R = 0$), сила $\vec{R}$ должна была бы изменить свое направление, а это противоречит условию, что стена и пол могут «отталкивать» стержень, но не могут его «притягивать». Точка $R = 0$ — это такая точка, от которой центр стержня уже будет двигаться свободно: концы стержня не будут касаться пола и стены и силы реакции исчезнут.
Настоящая задача представляет собой как бы развитие идеи, рассмотренной в задаче 9944. Следовательно, мы можем воспользоваться сделанными ранее выводами. Поэтому, не доказывая заново, считаем, что стержень оторвется от стены, когда его середина будет находиться на высоте $2r/3$ над полом.
Дальше движение стержня происходит так, как если бы его бросили вниз под углом. В.момент, когда центр стержня «отрывается» от окружности, его скорость равна
$v_{0} = \sqrt{2gr(1 - \cos \alpha)} = \sqrt{ \frac{2}{3} gr}$.
Эта скорость направлена по касательной к окружности. Ее горизонтальная и вертикальная составляющие соответственно равны
$v_{гор} = \sqrt{ \frac{2}{3} gr } \cos \alpha = \frac{2}{3} \sqrt{ \frac{2}{3} gr }$,
$v_{верт} = \sqrt{ \frac{2}{3} gr } \sin \alpha = \frac{1}{3} \sqrt{5} \sqrt{ \frac{2}{3} gr }$.
Расстояние $d$ в момент_отрыва конца стержня от стены равно $r \sin \alpha$ или $\sqrt{5}r/3$. Ситуацию в момент, когда сила $R = 0$, т. е. когда центр стержня начинает двигаться как при броске вниз под углом, иллюстрирует рис. Пусть $D$ - искомое расстояние центра стержня от стены в момент падения на пол, a $t$ - продолжительность «броска под углом». Тогда имеем
$h_{0} = v_{верт}t + \frac{1}{2}gt^{2}$ (движение по вертикали равномерно ускоренное),
$D = d + v_{гор}t$ (в горизонтальном направлении движение равномерное).
Подставив в эти выражения найденные прежде значения $h_{0}, d, v_{гор}$ и $v_{верт}$, получим систему двух уравнений с неизвестными $D$ и $t$, являющимися функциями от $r$ и $g$. Из этой системы определим $D$ и $t$. Необходимые несложные расчеты предоставляем выполнить самостоятельно.
Очевидно, что полученная система уравнений имеет два решения. Одно из них дает $D < d$. Это решение отбрасываем, поскольку, как следует из условия задачи, центр стержня не может приближаться к стене. Остается второе решение: $D > d$. Рассчитаем численное значение
$D = \frac{4 \sqrt{23} + 5 \sqrt{5} }{27} r \approx 12,5 см$.
Итак, в момент падения на пол центр стержня будет находиться на расстоянии 12,5 см от стены. Интересно, что величина $D$ не зависит от ускорения свободного падения $g$ (от $g$, однако, зависит момент отрыва и продолжительность движения).
В центре тонкого небольшого стержня длиной 20 см закреплена материальная точка. Стержень прислонен к гладкой вертикальной стене и, таким образом, находится в положении неустойчивого равновесия. Нижний конец стержня может двигаться по полу без трения. После небольшого отклонения стержень начинает двигаться, оставаясь все время в одной плоскости. Как только центр стержня достигает пола, он тотчас «приклеивается» к нему и остается неподвижным. На каком расстоянии от стены окажется центр стержня?
Решение:
Прежде всего отметим, что если концы стержня все время перемещаются по взаимно перпендикулярным траекториям, то его центр перемещается по окружности, радиус которой равен половине длины стержня ($r = 10 см$), а ее центр лежит в точке, в которой вертикальная стенка пересекается с горизонтальным полом. На первый взгляд кажется, что траектория центра стержня должна быть вогнутой кривой, выпуклость которой обращена к полу, но это не так. Центр стержня должен двигаться по дуге, обращенной выпуклостью вверх.
Докажем это. Рассмотрим стержень АВ, опирающийся на стену и пол так, как показано на рис. Пусть точка S отмечает центр стержня. Проведем через точку 5 перпендикуляры к стене (SC) и к полу (SD). Четырехугольник OCSD является прямоугольным, значит, его диагонали равны между собой: CD = OS. Треугольники ACS и ОАВ подобны, поскольку их соответствующие стороны параллельны. Отсюда следует, что точка С делит отрезок ОА пополам. Аналогично можно доказать, что точка D делит пополам отрезок ОВ. Треугольники OCD и ОАВ подобны, поскольку они имеют общий угол, а соответствующие стороны, прилежащие к этому углу, пропорциональны. Следовательно,
$\frac{CD}{AB} = \frac{OC}{OA}$.
Поскольку ОС : ОА = 1 : 2, то CD = АВ/2. Аналогично, поскольку CD = OS, то OS = АВ/2.
Таким образом, мы доказали, что если стержень касается концами стены и пола, то расстояние от его середины до точки О всегда равно половине длины стержня. Иными словами, если стержень не отрывается от стены, его середина перемещается по окружности с центром в точке О.
На рис. показан стержень и действующие на него силы: $\vec{F}_{1}$ - сила реакции пола, действующая на стержень, $\vec{F}_{2}$ - сила реакции стены. Сила $\vec{R}$ равна сумме сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$. Остальные обозначения не требуют разъяснений.
Поскольку стержень считаем невесомым, его момент инерции относительно середины равен нулю. Тогда полный момент сил, действующих на стержень, должен равняться нулю. В противном случае стержень двигался бы относительно точки S с бесконечно большим угловым ускорением. Поскольку вращению стержня, скользящего концами по полу и стене, соответствует линейное ускорение его центра, перемещающегося по дуге, то бесконечному угловому ускорению должно было бы соответствовать бесконечное линейное ускорение материальной точки в центре стержня, а это невозможно, так как эта точка имеет определенную массу. Следовательно,
$F_{1}r \sin \alpha - F_{2}r \cos \alpha = 0$
и
$\frac{F_{2} }{F_{1} } = tg \alpha$.
Это означает, что сила $\vec{R} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2}$ направлена вдоль радиуса окружности.
Поскольку стена и пол «отталкивают» стержень, а не притягивают, то сила $\vec{R}$ всегда должна быть направлена от центра наружу. Рассмотрим теперь движение точки по окружности и определим положение, при котором сила $\vec{R}$ становится равной нулю. Если бы движение центра стержня происходило по окружности, то, пройдя это положение ($R = 0$), сила $\vec{R}$ должна была бы изменить свое направление, а это противоречит условию, что стена и пол могут «отталкивать» стержень, но не могут его «притягивать». Точка $R = 0$ — это такая точка, от которой центр стержня уже будет двигаться свободно: концы стержня не будут касаться пола и стены и силы реакции исчезнут.
Настоящая задача представляет собой как бы развитие идеи, рассмотренной в задаче 9944. Следовательно, мы можем воспользоваться сделанными ранее выводами. Поэтому, не доказывая заново, считаем, что стержень оторвется от стены, когда его середина будет находиться на высоте $2r/3$ над полом.
Дальше движение стержня происходит так, как если бы его бросили вниз под углом. В.момент, когда центр стержня «отрывается» от окружности, его скорость равна
$v_{0} = \sqrt{2gr(1 - \cos \alpha)} = \sqrt{ \frac{2}{3} gr}$.
Эта скорость направлена по касательной к окружности. Ее горизонтальная и вертикальная составляющие соответственно равны
$v_{гор} = \sqrt{ \frac{2}{3} gr } \cos \alpha = \frac{2}{3} \sqrt{ \frac{2}{3} gr }$,
$v_{верт} = \sqrt{ \frac{2}{3} gr } \sin \alpha = \frac{1}{3} \sqrt{5} \sqrt{ \frac{2}{3} gr }$.
Расстояние $d$ в момент_отрыва конца стержня от стены равно $r \sin \alpha$ или $\sqrt{5}r/3$. Ситуацию в момент, когда сила $R = 0$, т. е. когда центр стержня начинает двигаться как при броске вниз под углом, иллюстрирует рис. Пусть $D$ - искомое расстояние центра стержня от стены в момент падения на пол, a $t$ - продолжительность «броска под углом». Тогда имеем
$h_{0} = v_{верт}t + \frac{1}{2}gt^{2}$ (движение по вертикали равномерно ускоренное),
$D = d + v_{гор}t$ (в горизонтальном направлении движение равномерное).
Подставив в эти выражения найденные прежде значения $h_{0}, d, v_{гор}$ и $v_{верт}$, получим систему двух уравнений с неизвестными $D$ и $t$, являющимися функциями от $r$ и $g$. Из этой системы определим $D$ и $t$. Необходимые несложные расчеты предоставляем выполнить самостоятельно.
Очевидно, что полученная система уравнений имеет два решения. Одно из них дает $D < d$. Это решение отбрасываем, поскольку, как следует из условия задачи, центр стержня не может приближаться к стене. Остается второе решение: $D > d$. Рассчитаем численное значение
$D = \frac{4 \sqrt{23} + 5 \sqrt{5} }{27} r \approx 12,5 см$.
Итак, в момент падения на пол центр стержня будет находиться на расстоянии 12,5 см от стены. Интересно, что величина $D$ не зависит от ускорения свободного падения $g$ (от $g$, однако, зависит момент отрыва и продолжительность движения).
