Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9942
2018-11-09 
На неподвижный вал радиусом $r$ навита тонкая, гибкая, невесомая и нерастяжимая нить, на конце которой привязан маленький грузик. В начальный момент нить навита до конца и грузик находится возле вала. В момент $t_{0} = 0$ грузику придают начальную скорость $\vec{v}$ в направлении, перпендикулярном к оси вала. Нить сразу же начинает раскручиваться, поэтому считаем, что навитая часть нити не скользит по валу, а свободная ее часть все время лежит в плоскости, перпендикулярной оси вала. Как зависит от времени длина развившейся части нити?
Примечание. Предполагается, что на систему не действует сила тяжести.
Решение:
Прежде всего отметим, что кинетическая энергия грузика постоянна. Это вытекает из закона сохранения механической энергии и отсутствия в данном случае потенциальной энергии.
Отсутствие потенциальной энергии не совсем очевидно, поэтому коротко остановимся на этом вопросе. На первый взгляд может показаться, что в отсутствие внешнего поля необходимо учитывать потенциальную энергию натянутой нити. Сила, растягивающая нить, изменяется со временем, и можно было бы ожидать, что потенциальная энергия натянутой нити также изменяется. Обозначим натяжение нити через $N$, а ее константу упругости через $k$. Удлинение пусть будет равно $\Delta l$, однако, поскольку, согласно условию задачи, нить нерастяжима, следует устремить $\Delta l$ к нулю:
$N = k \Delta l$.
Потенциальная энергия натянутой нити
$E_{п} = \frac{1}{2} k ( \Delta l)^{2} = \frac{1}{2} \frac{N^{2} }{k}$.
Ясно, что при $\Delta l$, стремящемся к нулю, коэффициент упругости $k$ должен стремиться к бесконечности, так как в противном случае $N$ не может быть конечным. Но при $k$, стремящемся к бесконечности, и конечной величине $N$ потенциальная энергия $E_{п}$ стремится к нулю. Следовательно, для абсолютно нерастяжимой нити можно считать $E_{п} = 0$.
Из неизменности кинетической энергии следует, что скорость грузика $v$ постоянна. В соответствии с обозначениями на рис. имеем для малых $\Delta t$
$\frac{ \Delta l}{r} = \frac{v \Delta t}{l}$, или $\frac{ \Delta l}{ \Delta t} = \frac{rv}{l}$
Устремляя $\Delta t$ к нулю, получаем $dl/dt = rv/l$. Следовательно,
$l \frac{dl}{dt} = rv, \frac{1}{2} \frac{dl^{2} }{dt} = rv$,
$l^{2} = 2rvt + C, C - const$.
Поскольку $l = 0$ при $t = 0$, получаем $C = 0$. Тогда
$l = \sqrt{2rvt}$.
В некоторых задачниках приводится неправильное решение этой задачи: там считают, что постоянным (либо почти постоянным) является момент импульса относительно оси валика. Это неверно. Натяжение нити, действующее на грузик, — это не центральная сила и момент импульса даже приближенно не остается постоянным. Если ненавитая часть нити достаточно длинна ($l \gg r$), то каждому обороту грузика вокруг вала соответствует увеличение его момента импульса на более или менее постоянную величину, равную $2 \pi rmv$.
На неподвижный вал радиусом $r$ навита тонкая, гибкая, невесомая и нерастяжимая нить, на конце которой привязан маленький грузик. В начальный момент нить навита до конца и грузик находится возле вала. В момент $t_{0} = 0$ грузику придают начальную скорость $\vec{v}$ в направлении, перпендикулярном к оси вала. Нить сразу же начинает раскручиваться, поэтому считаем, что навитая часть нити не скользит по валу, а свободная ее часть все время лежит в плоскости, перпендикулярной оси вала. Как зависит от времени длина развившейся части нити?
Примечание. Предполагается, что на систему не действует сила тяжести.
Решение:
Прежде всего отметим, что кинетическая энергия грузика постоянна. Это вытекает из закона сохранения механической энергии и отсутствия в данном случае потенциальной энергии.
Отсутствие потенциальной энергии не совсем очевидно, поэтому коротко остановимся на этом вопросе. На первый взгляд может показаться, что в отсутствие внешнего поля необходимо учитывать потенциальную энергию натянутой нити. Сила, растягивающая нить, изменяется со временем, и можно было бы ожидать, что потенциальная энергия натянутой нити также изменяется. Обозначим натяжение нити через $N$, а ее константу упругости через $k$. Удлинение пусть будет равно $\Delta l$, однако, поскольку, согласно условию задачи, нить нерастяжима, следует устремить $\Delta l$ к нулю:
$N = k \Delta l$.
Потенциальная энергия натянутой нити
$E_{п} = \frac{1}{2} k ( \Delta l)^{2} = \frac{1}{2} \frac{N^{2} }{k}$.
Ясно, что при $\Delta l$, стремящемся к нулю, коэффициент упругости $k$ должен стремиться к бесконечности, так как в противном случае $N$ не может быть конечным. Но при $k$, стремящемся к бесконечности, и конечной величине $N$ потенциальная энергия $E_{п}$ стремится к нулю. Следовательно, для абсолютно нерастяжимой нити можно считать $E_{п} = 0$.
Из неизменности кинетической энергии следует, что скорость грузика $v$ постоянна. В соответствии с обозначениями на рис. имеем для малых $\Delta t$
$\frac{ \Delta l}{r} = \frac{v \Delta t}{l}$, или $\frac{ \Delta l}{ \Delta t} = \frac{rv}{l}$
Устремляя $\Delta t$ к нулю, получаем $dl/dt = rv/l$. Следовательно,
$l \frac{dl}{dt} = rv, \frac{1}{2} \frac{dl^{2} }{dt} = rv$,
$l^{2} = 2rvt + C, C - const$.
Поскольку $l = 0$ при $t = 0$, получаем $C = 0$. Тогда
$l = \sqrt{2rvt}$.
В некоторых задачниках приводится неправильное решение этой задачи: там считают, что постоянным (либо почти постоянным) является момент импульса относительно оси валика. Это неверно. Натяжение нити, действующее на грузик, — это не центральная сила и момент импульса даже приближенно не остается постоянным. Если ненавитая часть нити достаточно длинна ($l \gg r$), то каждому обороту грузика вокруг вала соответствует увеличение его момента импульса на более или менее постоянную величину, равную $2 \pi rmv$.
