Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9941
2018-11-09 
На горизонтальных параллельных рельсах находится однородный вал с ниткой, на конце которой привязан груз. Сначала вал приторможен и система вал + груз не движется. Затем вал освобождают. Через некоторое время ось вала начинает двигаться с постоянным ускорением $a$ (рис.). Зная, что движение вала совершается без проскальзывания, определить:
а) соотношение масс груза $m$ и вала $M$;
б) минимальный коэффициент трения движущегося вала о рельсы (трением качения вала пренебречь),
Решение:
Данную задачу можно решать в различных системах отсчета. Наиболее удобно это делать в неинерциальной системе, движущейся вместе с осью вала. В этой системе на центр тяжести вала действуют сила тяжести $Mg$ и сила инерции $Ma$, направленная влево. В результате вал и груз находятся в таком состоянии, как если бы они двигались не по горизонтальным рельсам, а находились на наклонной плоскости, причем роль ускорения свободного падения выполняет векторная сумма ускорения свободного падения $\vec{g}$ и ускорения $\vec{a}$, которую обозначим $\vec{g}^{ \prime}$ как показано на рис. $\vec{T}$ - сила трения, действующая на вал; $\vec{N}$ - натяжение нити. Поскольку нить считаем невесомой, то сила, с которой нить действует на вал, равна по величине силе, с которой груз действует на нить.
В рассматриваемой системе отсчета вал вращается вокруг своей (неподвижной) оси с ускорением $\epsilon$, а груз падает «вертикально», т. е. параллельно направлению ускорения $\vec{g}^{ \prime}$. Ускорение груза, очевидно, равно $a$.
Используя тот факт, что момент инерции однородного вала радиусом $R$ и массой $M$ равен $\frac{1}{2} MR^{2}$, запишем следующие уравнения:
$mg^{ \prime} - N = ma$, (1)
$NR - TR = \frac{1}{2}MR^{2} \epsilon$, (2)
$Ma + N \frac{a}{g^{ \prime} } - T = 0$, (3)
$a = \epsilon R$, (4)
$g^{ \prime} = \sqrt{a^{2} + g^{2}}$. (5)
Первое уравнение выражает второй закон Ньютона для поступательного движения груза. Второе — тот же закон для вращательного движения вала. Третье уравнение показывает, что в выбранной системе центр масс вала покоится (т. е. его ускорение равно нулю), четвертое уравнение выражает условие качения без проскальзывания, а пятое определяет величину результирующего ускорения.
Используя уравнения (4) и (5), первые три уравнения можно записать в виде
$m \sqrt{a^{2} = g^{2} } - N = ma$,
$N - T = \frac{1}{2}Ma$,
$Ma + N \frac{a}{ \sqrt{a^{2} + g^{2} } } = T$.
Исключая из этих уравнений $T$ и $N$, после несложных преобразований получим искомое отношение
$\frac{m}{M} = \frac{3}{2} a \frac{ \sqrt{a^{2} + g^{2} } }{ ( \sqrt{a^{2} + g^{2} } - a)^{2} }$.
Теперь определим минимальную величину коэффициента трения. Как видно из рисунка, давление вала на плоскость равно
$P = Mg + N \cos \alpha = Mg + N \frac{g}{g^{ \prime} }$,
а силу трения $T$ находим из уравнения (3):
$T = Ma + N \frac{a}{g^{ \prime} }$.
Отношение силы трения к давлению не может превышать по величине коэффициент трения
$\frac{T}{P} \leq f$,
т. е.
$f \geq \frac{a(M + N/g^{ \prime})}{g(M + N/g^{ \prime} )} = \frac{a}{g}; f \geq \frac{a}{g}$.
Решение задачи в неподвижной системе отсчета намного сложнее и значительно менее наглядно.
На горизонтальных параллельных рельсах находится однородный вал с ниткой, на конце которой привязан груз. Сначала вал приторможен и система вал + груз не движется. Затем вал освобождают. Через некоторое время ось вала начинает двигаться с постоянным ускорением $a$ (рис.). Зная, что движение вала совершается без проскальзывания, определить:
а) соотношение масс груза $m$ и вала $M$;
б) минимальный коэффициент трения движущегося вала о рельсы (трением качения вала пренебречь),
Решение:
Данную задачу можно решать в различных системах отсчета. Наиболее удобно это делать в неинерциальной системе, движущейся вместе с осью вала. В этой системе на центр тяжести вала действуют сила тяжести $Mg$ и сила инерции $Ma$, направленная влево. В результате вал и груз находятся в таком состоянии, как если бы они двигались не по горизонтальным рельсам, а находились на наклонной плоскости, причем роль ускорения свободного падения выполняет векторная сумма ускорения свободного падения $\vec{g}$ и ускорения $\vec{a}$, которую обозначим $\vec{g}^{ \prime}$ как показано на рис. $\vec{T}$ - сила трения, действующая на вал; $\vec{N}$ - натяжение нити. Поскольку нить считаем невесомой, то сила, с которой нить действует на вал, равна по величине силе, с которой груз действует на нить.
В рассматриваемой системе отсчета вал вращается вокруг своей (неподвижной) оси с ускорением $\epsilon$, а груз падает «вертикально», т. е. параллельно направлению ускорения $\vec{g}^{ \prime}$. Ускорение груза, очевидно, равно $a$.
Используя тот факт, что момент инерции однородного вала радиусом $R$ и массой $M$ равен $\frac{1}{2} MR^{2}$, запишем следующие уравнения:
$mg^{ \prime} - N = ma$, (1)
$NR - TR = \frac{1}{2}MR^{2} \epsilon$, (2)
$Ma + N \frac{a}{g^{ \prime} } - T = 0$, (3)
$a = \epsilon R$, (4)
$g^{ \prime} = \sqrt{a^{2} + g^{2}}$. (5)
Первое уравнение выражает второй закон Ньютона для поступательного движения груза. Второе — тот же закон для вращательного движения вала. Третье уравнение показывает, что в выбранной системе центр масс вала покоится (т. е. его ускорение равно нулю), четвертое уравнение выражает условие качения без проскальзывания, а пятое определяет величину результирующего ускорения.
Используя уравнения (4) и (5), первые три уравнения можно записать в виде
$m \sqrt{a^{2} = g^{2} } - N = ma$,
$N - T = \frac{1}{2}Ma$,
$Ma + N \frac{a}{ \sqrt{a^{2} + g^{2} } } = T$.
Исключая из этих уравнений $T$ и $N$, после несложных преобразований получим искомое отношение
$\frac{m}{M} = \frac{3}{2} a \frac{ \sqrt{a^{2} + g^{2} } }{ ( \sqrt{a^{2} + g^{2} } - a)^{2} }$.
Теперь определим минимальную величину коэффициента трения. Как видно из рисунка, давление вала на плоскость равно
$P = Mg + N \cos \alpha = Mg + N \frac{g}{g^{ \prime} }$,
а силу трения $T$ находим из уравнения (3):
$T = Ma + N \frac{a}{g^{ \prime} }$.
Отношение силы трения к давлению не может превышать по величине коэффициент трения
$\frac{T}{P} \leq f$,
т. е.
$f \geq \frac{a(M + N/g^{ \prime})}{g(M + N/g^{ \prime} )} = \frac{a}{g}; f \geq \frac{a}{g}$.
Решение задачи в неподвижной системе отсчета намного сложнее и значительно менее наглядно.
