Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 994
2016-09-17 
$N$ абсолютно упругих одинаковых шариков лежат на гладкой горизонтальной плоскости. Одному из них сообщили скорость $v$ в горизонтальном направлении. Испытав ряд столкновений с другими шариками, этот шарик стал двигаться в противоположном направлении. Какова максимально возможная величина конечной скорости шарика, если в каждом столкновении участвуют только два шарика, а $N = 101$?
Решение:
Сначала докажем, что если шарик поворачивает на угол $\alpha$, меньший $180^{ \circ}$, за два удара, то при заданной начальной скорости его конечная скорость будет максимальной в том случае, если при каждом ударе он поворачивал на угол, равный $\alpha/2$.
Пусть до первого удара первый шарик двигался со скоростью $v$. Тогда после этого удара первый шарик будет двигаться с некоторой скоростью $v_{1}$, направленной под углом $\phi$ к направлению первоначального движения, а второй шарик, который до удара покоился, будет двигаться со скоростью $v_{2}$, направленной под углом $\psi$ к направлению первоначального движения первого шарика. Тогда из закона сохранения импульса для абсолютно упругого удара движущегося шарика о неподвижный шарик имеем:
$mv = mv_{1} \cos \phi + mv_{2} \cos \psi, mv_{1} \sin \phi = mv_{2} \sin \psi$,
причём $\phi + \psi = \pi/2$, так как после абсолютно упругого нелобового удара движущегося шарика о такой же покоящийся скорости разлетающихся шаров, как уже отмечалось выше в решении задачи 989, направлены под углом $90^{ \circ}$ друг к другу.
Отсюда находим скорость первого шара после удара: $v_{1} = v \cos \phi$. Это означает, что поворот вектора скорости налетающего шара на угол $\phi$ сопровождается уменьшением величины скорости в $\cos \phi$ раз. Значит, после двух последовательных соударений скорость налетающего шарика будет равна $u^{(2)} = v \cos \phi \cdot \cos (\alpha — \phi)$ (напомним, что шарик поворачивает за два удара на угол $\alpha$). Для того, чтобы скорость шарика $u^{(2)}$ после двух ударов была максимальна, необходимо, чтобы было максимальным произведение $\cos \phi \cdot \cos ( \alpha - \phi)$. По известной формуле:
$u^{(2)} = v \cos \phi \cos ( \alpha - \phi) = \frac{v}{2} ( \cos ( \alpha - 2 \phi) + \cos \alpha )$.
Ясно, что это выражение будет иметь максимальное значение при $\cos ( \alpha — 2 \phi) = 1$, откуда $\phi = \alpha/2$, что и требовалось доказать.
Рассматривая таким же способом каждую пару последовательных ударов, приходим к выводу, что для максимализации конечной скорости при каждом ударе налетающий шар должен поворачивать на один и тот же угол $\phi$. Так как по условию после $N — 1 = 100$ соударений этот шар начинает двигаться в противоположном направлении, то
$\phi = \frac{ \pi}{N-1} = \frac{ \pi}{100}$.
После сотого соударения шар будет иметь скорость
$u^{(100)} = v ( \cos \phi)^{N-1} = v \left ( \sqrt{ 1 - \sin^{2} \phi} \right )^{N-1}$.
Учитывая, что при $x \ll 1$ и $nx \ll 1$ справедливы приближённые формулы: $\sin x \approx$ и $(1 + x)^{n} \approx 1 + nx$, окончательно получаем:
$u_{max}^{(100)} = v \left ( \sqrt{1 - \sin^{2} \phi} \right )^{N-1} \approx v \left ( \sqrt{1 - \phi^{2}} \right )^{N-1} \approx v \left ( 1 - \frac{N-1}{2} \phi^{2} \right ) = v \left ( 1 - \frac{ \pi^{2}}{2(N-1)} \right ) = v \left ( 1 - \frac{ \pi^{2}}{200} \right ) \approx 0,95v$
$N$ абсолютно упругих одинаковых шариков лежат на гладкой горизонтальной плоскости. Одному из них сообщили скорость $v$ в горизонтальном направлении. Испытав ряд столкновений с другими шариками, этот шарик стал двигаться в противоположном направлении. Какова максимально возможная величина конечной скорости шарика, если в каждом столкновении участвуют только два шарика, а $N = 101$?
Решение:
Сначала докажем, что если шарик поворачивает на угол $\alpha$, меньший $180^{ \circ}$, за два удара, то при заданной начальной скорости его конечная скорость будет максимальной в том случае, если при каждом ударе он поворачивал на угол, равный $\alpha/2$.
Пусть до первого удара первый шарик двигался со скоростью $v$. Тогда после этого удара первый шарик будет двигаться с некоторой скоростью $v_{1}$, направленной под углом $\phi$ к направлению первоначального движения, а второй шарик, который до удара покоился, будет двигаться со скоростью $v_{2}$, направленной под углом $\psi$ к направлению первоначального движения первого шарика. Тогда из закона сохранения импульса для абсолютно упругого удара движущегося шарика о неподвижный шарик имеем:
$mv = mv_{1} \cos \phi + mv_{2} \cos \psi, mv_{1} \sin \phi = mv_{2} \sin \psi$,
причём $\phi + \psi = \pi/2$, так как после абсолютно упругого нелобового удара движущегося шарика о такой же покоящийся скорости разлетающихся шаров, как уже отмечалось выше в решении задачи 989, направлены под углом $90^{ \circ}$ друг к другу.
Отсюда находим скорость первого шара после удара: $v_{1} = v \cos \phi$. Это означает, что поворот вектора скорости налетающего шара на угол $\phi$ сопровождается уменьшением величины скорости в $\cos \phi$ раз. Значит, после двух последовательных соударений скорость налетающего шарика будет равна $u^{(2)} = v \cos \phi \cdot \cos (\alpha — \phi)$ (напомним, что шарик поворачивает за два удара на угол $\alpha$). Для того, чтобы скорость шарика $u^{(2)}$ после двух ударов была максимальна, необходимо, чтобы было максимальным произведение $\cos \phi \cdot \cos ( \alpha - \phi)$. По известной формуле:
$u^{(2)} = v \cos \phi \cos ( \alpha - \phi) = \frac{v}{2} ( \cos ( \alpha - 2 \phi) + \cos \alpha )$.
Ясно, что это выражение будет иметь максимальное значение при $\cos ( \alpha — 2 \phi) = 1$, откуда $\phi = \alpha/2$, что и требовалось доказать.
Рассматривая таким же способом каждую пару последовательных ударов, приходим к выводу, что для максимализации конечной скорости при каждом ударе налетающий шар должен поворачивать на один и тот же угол $\phi$. Так как по условию после $N — 1 = 100$ соударений этот шар начинает двигаться в противоположном направлении, то
$\phi = \frac{ \pi}{N-1} = \frac{ \pi}{100}$.
После сотого соударения шар будет иметь скорость
$u^{(100)} = v ( \cos \phi)^{N-1} = v \left ( \sqrt{ 1 - \sin^{2} \phi} \right )^{N-1}$.
Учитывая, что при $x \ll 1$ и $nx \ll 1$ справедливы приближённые формулы: $\sin x \approx$ и $(1 + x)^{n} \approx 1 + nx$, окончательно получаем:
$u_{max}^{(100)} = v \left ( \sqrt{1 - \sin^{2} \phi} \right )^{N-1} \approx v \left ( \sqrt{1 - \phi^{2}} \right )^{N-1} \approx v \left ( 1 - \frac{N-1}{2} \phi^{2} \right ) = v \left ( 1 - \frac{ \pi^{2}}{2(N-1)} \right ) = v \left ( 1 - \frac{ \pi^{2}}{200} \right ) \approx 0,95v$
