Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9939
2018-11-09 
Два шара с одинаковыми массами $M$, радиусами $R$ и одинаковыми свойствами поверхностей положили на горизонтальную плоскую ленту транспортера, движущуюся равномерно со скоростью $v_{0}$. Один из шаров сплошной и изготовлен из материала с меньшей плотностью, чем второй, который имеет внутреннюю шаровую полость радиусом $r$. Определить движение обоих шаров с момента помещения их на транспортер (начальная скорость шаров равна 0). В расчет принимать только трение скольжения, трение качения без проскальзывания считать равным 0. Коэффициент трения скольжения шара о ленту транспортера равен $f$.
Как на основе поведения шаров определить, какой из них сплошной, а какой полый? Подтвердить вывод расчетом. Момент инерции сплошного шара относительно оси, проходящей через его центр, равен $I = 2/5MR^{2}$.
Решение:
Прежде всего определим отношение моментов инерции обоих шаров. Сплошной шар будем называть первым, а полый - вторым; $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ - плотности сплошного и полого шаров соответственно. Для удобства введем также обозначения $\gamma = 4 \pi/3, \beta = r/R$. Масса первого шара
$M_{1} = \gamma R^{3} \rho_{1}$,
масса второго
$M_{2} = \gamma R^{3} \rho_{2} - \gamma r^{3} \rho_{2} = \gamma R^{3} \rho_{2} (1 - \beta^{3})$.
Поскольку по условию эти массы равны, то
$\rho_{2} = \frac{ \rho_{1} }{1 - \beta^{3} }$.
Теперь определим моменты инерции шаров $I_{1}$ и $I_{2}$:
$I_{1} = \alpha MR^{2} = \alpha \gamma \rho_{1} R^{5}$,
где $\alpha = 2/5$;
$I_{2} = \alpha \gamma \rho_{2} R^{5} - \alpha \gamma \rho_{2} r^{5} = \alpha \gamma \rho_{2} R^{5} (1 - \beta^{5} ) = I_{1} \frac{1 - \beta^{5} }{1 - \beta^{3} }$,
или
$I_{2} = I_{1} \frac{1 - \beta^{5} }{1 - \beta^{3} }$.
Пользуясь случаем, отметим, что полученная снизь между $I_{2}$ и $I_{1}$ справедлива не только для шаров, но и для любых тел одинаковой формы и равных масс, одно из которых сплошное, а другое имеет полость, по форме подобную самому телу, Относительно произвольной точки, лежащей на оси (рис. ). В этом случае $\beta$ определяется как отношение соответствующих линейных размеров полости и сплошного тела. Конечно, значения $\alpha$ и $\gamma$ в каждом конкретном случае будут иными.
Величина $\beta$ ограничивается условием $0 < \beta < 1$, а значит,
$I_{2} > I_{1}$.
Рассмотрим теперь шары на транспортере (рис.). При проскальзывании на шар действует сила трения
$F_{т} = fMg$
и момент сил трения относительно центра шара
$M_{т} = fMgR$,
где $g$ - ускорение свободного падения. В момент прекращения проскальзывания начинается свободное качение шаров: $F_{т}$ и $M_{т}$ становятся равными нулю и coхраняют это значение в течение всего дальнейшего движения.
Используя второй закон Ньютона для вращательного движения, определим угловое ускорение шара $\epsilon$ (индексы, указывающие номер шара, здесь можно опустить)
$\epsilon = \frac{M_{т} }{I}$.
В нашем случае $I = \delta MR^{2}$, где $\delta = 2/5$ для сплошного шара и $\frac{2}{5} \frac{1 - \beta^{5} }{1 - \beta^{3} }$ для полого. Тогда угловое ускорение шара можно записать в виде
$\epsilon = \frac{fg}{ \delta R}$.
Угловая скорость шара $\omega = \epsilon t$ выразится как ($\omega = 0$ при $t = 0$):
$\omega = \frac{fg}{ \delta R} t$.
Линейная скорость самой нижней точки шара относительно его центра равна
$v_{кр} = \omega R - \frac{fg}{ \delta } t$.
Сила трения сообщает центру шара ускорение $a$:
$fMg = Ma, a = fg$.
Следовательно, центр шара движется относительно не-подвижного наблюдателя со скоростью
$v_{наб} = fgt$.
Скорость ленты транспортера относительно центра шара равна
$v_{л} = v_{0} - fgt$.
Скорость центра шара относительно ленты транспортера равна по абсолютной величине $v_{л}$, но противоположно направлена.
Проскальзывание исчезает ($F_{т}$ и $M_{т}$ становятся равными 0), когда скорость ленты относительно центра шара оказывается равной по величине скорости низшей точки шара относительно центра шара, т. е. когда
$v_{л} = v_{кр}$, или $v_{0} - fgt = \frac{1}{ \delta} fgt$.
После прекращения проскальзывания на шар не действуют никакие силы, и он движется равномерно, вращаясь с постоянной угловой скоростью.
На рис. показано, как изменялась бы скорость $v_{л}$ относительно центра шара, если бы сила трения действовала все время. Аналогичный график скорости $v_{кр}$ для сплошного шара ($\delta_{i}$) и имеющего полость ($\delta_{2}; \delta_{2} > \delta_{1}$) представлен на рис. В действительности же проскальзывание исчезает в момент, когда $v_{л}$ становится равной $v_{кр}$. С этого момента указанные скорости будут постоянны, что иллюстрирует рис.; на нем ломаная линия АВЕ показывает $v_{л}$ для шара 1:
АВЕ показывает $v_{л}$ для шара 1,
ACF показывает $v_{л}$ для шара 2,
DBE показывает $v_{кр}$ для шара 1,
DCF показывает $v_{кр}$ для шара 2.
Как видно из графика, время, когда исчезает проскальзывание, а затем и трение, зависит от наклона ломаной линии $v_{кр}$. Этот наклон тем больше, чем меньше $\delta$. Следовательно, для сплошного шара проскальзывание исчезнет скорее, чем для полого. Конечная скорость ленты транспортера относительно центра сплошного шара больше, чем относительно центра полого шара. Отсюда следует, что линейная скорость сплошного шара относительно неподвижного наблюдателя будет меньше, чем скорость полого шара. Подтвердим этот вывод расчетом. Из соотношения
$v_{0} - fgh = \frac{1}{ \delta} fgt$
определим время $t$, по истечении которого проскальзывание исчезает:
$t = \frac{v_{0} }{fg} \frac{1}{1 + 1/ \delta}$.
Очевидно, что для сплошного шара $t$, будет меньше, поскольку в этом случае $\delta$ меньше.
С момента времени $t$ скорость ленты относительно центра шара становится постоянной и равной
$v_{л} = v_{0} - fgt = \frac{v_{0} }{1 + \delta}$.
Эта скорость больше для сплошного шара. Конечная скорость центра шара относительно наблюдателя равна
$v_{наб} = fgt = \frac{v_{0} }{1 + 1/ \delta}$.
Эта скорость тем меньше, чем меньше $\delta$ (т. е. она меньше для сплошного шара). Изменение скорости центров шаров относительно наблюдателя иллюстрирует рис.
Следовательно, если положить на транспортер рядом два шара, то некоторое время они будут двигаться с ускорением. Проскальзывание исчезнет скорее для «быстрее вращающегося^, т. е. для сплошного шара ($I_{1} < I_{2}$). С этого момента сплошной шар начинает двигаться равномерно. Полый же шар еще некоторое время движется с ускорением, но потом и для него проскальзывание исчезнет. После прекращения проскальзывания он тоже будет двигаться равномерно, но с несколько большей скоростью, чем скорость сплошного шара.
Два шара с одинаковыми массами $M$, радиусами $R$ и одинаковыми свойствами поверхностей положили на горизонтальную плоскую ленту транспортера, движущуюся равномерно со скоростью $v_{0}$. Один из шаров сплошной и изготовлен из материала с меньшей плотностью, чем второй, который имеет внутреннюю шаровую полость радиусом $r$. Определить движение обоих шаров с момента помещения их на транспортер (начальная скорость шаров равна 0). В расчет принимать только трение скольжения, трение качения без проскальзывания считать равным 0. Коэффициент трения скольжения шара о ленту транспортера равен $f$.
Как на основе поведения шаров определить, какой из них сплошной, а какой полый? Подтвердить вывод расчетом. Момент инерции сплошного шара относительно оси, проходящей через его центр, равен $I = 2/5MR^{2}$.
Решение:
Прежде всего определим отношение моментов инерции обоих шаров. Сплошной шар будем называть первым, а полый - вторым; $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ - плотности сплошного и полого шаров соответственно. Для удобства введем также обозначения $\gamma = 4 \pi/3, \beta = r/R$. Масса первого шара
$M_{1} = \gamma R^{3} \rho_{1}$,
масса второго
$M_{2} = \gamma R^{3} \rho_{2} - \gamma r^{3} \rho_{2} = \gamma R^{3} \rho_{2} (1 - \beta^{3})$.
Поскольку по условию эти массы равны, то
$\rho_{2} = \frac{ \rho_{1} }{1 - \beta^{3} }$.
Теперь определим моменты инерции шаров $I_{1}$ и $I_{2}$:
$I_{1} = \alpha MR^{2} = \alpha \gamma \rho_{1} R^{5}$,
где $\alpha = 2/5$;
$I_{2} = \alpha \gamma \rho_{2} R^{5} - \alpha \gamma \rho_{2} r^{5} = \alpha \gamma \rho_{2} R^{5} (1 - \beta^{5} ) = I_{1} \frac{1 - \beta^{5} }{1 - \beta^{3} }$,
или
$I_{2} = I_{1} \frac{1 - \beta^{5} }{1 - \beta^{3} }$.
Пользуясь случаем, отметим, что полученная снизь между $I_{2}$ и $I_{1}$ справедлива не только для шаров, но и для любых тел одинаковой формы и равных масс, одно из которых сплошное, а другое имеет полость, по форме подобную самому телу, Относительно произвольной точки, лежащей на оси (рис. ). В этом случае $\beta$ определяется как отношение соответствующих линейных размеров полости и сплошного тела. Конечно, значения $\alpha$ и $\gamma$ в каждом конкретном случае будут иными.
Величина $\beta$ ограничивается условием $0 < \beta < 1$, а значит,
$I_{2} > I_{1}$.
Рассмотрим теперь шары на транспортере (рис.). При проскальзывании на шар действует сила трения
$F_{т} = fMg$
и момент сил трения относительно центра шара
$M_{т} = fMgR$,
где $g$ - ускорение свободного падения. В момент прекращения проскальзывания начинается свободное качение шаров: $F_{т}$ и $M_{т}$ становятся равными нулю и coхраняют это значение в течение всего дальнейшего движения.
Используя второй закон Ньютона для вращательного движения, определим угловое ускорение шара $\epsilon$ (индексы, указывающие номер шара, здесь можно опустить)
$\epsilon = \frac{M_{т} }{I}$.
В нашем случае $I = \delta MR^{2}$, где $\delta = 2/5$ для сплошного шара и $\frac{2}{5} \frac{1 - \beta^{5} }{1 - \beta^{3} }$ для полого. Тогда угловое ускорение шара можно записать в виде
$\epsilon = \frac{fg}{ \delta R}$.
Угловая скорость шара $\omega = \epsilon t$ выразится как ($\omega = 0$ при $t = 0$):
$\omega = \frac{fg}{ \delta R} t$.
Линейная скорость самой нижней точки шара относительно его центра равна
$v_{кр} = \omega R - \frac{fg}{ \delta } t$.
Сила трения сообщает центру шара ускорение $a$:
$fMg = Ma, a = fg$.
Следовательно, центр шара движется относительно не-подвижного наблюдателя со скоростью
$v_{наб} = fgt$.
Скорость ленты транспортера относительно центра шара равна
$v_{л} = v_{0} - fgt$.
Скорость центра шара относительно ленты транспортера равна по абсолютной величине $v_{л}$, но противоположно направлена.
Проскальзывание исчезает ($F_{т}$ и $M_{т}$ становятся равными 0), когда скорость ленты относительно центра шара оказывается равной по величине скорости низшей точки шара относительно центра шара, т. е. когда
$v_{л} = v_{кр}$, или $v_{0} - fgt = \frac{1}{ \delta} fgt$.
После прекращения проскальзывания на шар не действуют никакие силы, и он движется равномерно, вращаясь с постоянной угловой скоростью.
На рис. показано, как изменялась бы скорость $v_{л}$ относительно центра шара, если бы сила трения действовала все время. Аналогичный график скорости $v_{кр}$ для сплошного шара ($\delta_{i}$) и имеющего полость ($\delta_{2}; \delta_{2} > \delta_{1}$) представлен на рис. В действительности же проскальзывание исчезает в момент, когда $v_{л}$ становится равной $v_{кр}$. С этого момента указанные скорости будут постоянны, что иллюстрирует рис.; на нем ломаная линия АВЕ показывает $v_{л}$ для шара 1:
АВЕ показывает $v_{л}$ для шара 1,
ACF показывает $v_{л}$ для шара 2,
DBE показывает $v_{кр}$ для шара 1,
DCF показывает $v_{кр}$ для шара 2.
Как видно из графика, время, когда исчезает проскальзывание, а затем и трение, зависит от наклона ломаной линии $v_{кр}$. Этот наклон тем больше, чем меньше $\delta$. Следовательно, для сплошного шара проскальзывание исчезнет скорее, чем для полого. Конечная скорость ленты транспортера относительно центра сплошного шара больше, чем относительно центра полого шара. Отсюда следует, что линейная скорость сплошного шара относительно неподвижного наблюдателя будет меньше, чем скорость полого шара. Подтвердим этот вывод расчетом. Из соотношения
$v_{0} - fgh = \frac{1}{ \delta} fgt$
определим время $t$, по истечении которого проскальзывание исчезает:
$t = \frac{v_{0} }{fg} \frac{1}{1 + 1/ \delta}$.
Очевидно, что для сплошного шара $t$, будет меньше, поскольку в этом случае $\delta$ меньше.
С момента времени $t$ скорость ленты относительно центра шара становится постоянной и равной
$v_{л} = v_{0} - fgt = \frac{v_{0} }{1 + \delta}$.
Эта скорость больше для сплошного шара. Конечная скорость центра шара относительно наблюдателя равна
$v_{наб} = fgt = \frac{v_{0} }{1 + 1/ \delta}$.
Эта скорость тем меньше, чем меньше $\delta$ (т. е. она меньше для сплошного шара). Изменение скорости центров шаров относительно наблюдателя иллюстрирует рис.
Следовательно, если положить на транспортер рядом два шара, то некоторое время они будут двигаться с ускорением. Проскальзывание исчезнет скорее для «быстрее вращающегося^, т. е. для сплошного шара ($I_{1} < I_{2}$). С этого момента сплошной шар начинает двигаться равномерно. Полый же шар еще некоторое время движется с ускорением, но потом и для него проскальзывание исчезнет. После прекращения проскальзывания он тоже будет двигаться равномерно, но с несколько большей скоростью, чем скорость сплошного шара.
