Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9938
2018-11-09 
На горизонтальную ленту равномерно движущегося со скоростью $v = 5 м/с$ транспортера брошен с очень малой высоты кусочек мела таким образом, что одна из его граней горизонтальна. Оказалось, что мел начертил на ленте линию длиной $s = 5 м$. Несколько позже транспортер выключили, а лента замедленно двигалась до остановки с ускорением $a = - 5 м/с^{2}$.
Прочертил ли мел снова линию на ленте? Если да, то какой длины? Можно ли точно рассчитать, каково должно быть ускорение ленты, чтобы мел не прочерчивал полосу?
Решение:
В системе отсчета, связанной с движущейся лентой, ситуация выглядит так, как если бы на неподвижную ленту бросили мел с начальной скоростью $v = 5 м/с$. Пусть масса мела равна т. Начальная кинетическая энергия мела (в выбранной системе отсчета) полностью переходит в работу против сил трения. Если коэффициент трения мела о ленту транспортера равен $f$, то это утверждение можно записать как
$\frac{1}{2} mv{2} = fmgs$,
откуда
$f = \frac{v^{2} }{2gs}$.
После включения торможения система отсчета, связанная с транспортером, становится неинерциальной. Теперь на мел действует сила инерции, равная $ma$ и направленная в сторону движения транспортера. Эта сила аналогична силе, действующей на пассажиров при торможении трамвая или поезда. Чтобы при торможении мел двигался, необходимо, чтобы сила $ma$ превышала максимальное значение силы трения, равной $fmg$. Следовательно, чтобы мел не оставлял на ленте черты, должно выполняться условие
$ma \leq fmg$,
или
$ \leq \frac{v^{2} }{2s} = 2,5 м/с^{2}$.
Согласно условию задачи, $a = 5 м/с^{2}$, а значит, последнее условие не выполняется и при торможении мел движется по ленте транспортера и оставляет на ней черту. Определим ее длину $s_{1}$.
Мел будет двигаться по транспортеру ускоренно, пока на него действует сила та. После остановки транспортера мел имеет отличную от нуля начальную скорость и под действием силы трения продолжает двигаться замедленно до полной остановки.
Время торможения равно $t_{1} = v/a$.
Ускорение мела $a_{1}$ относительно транспортера определим из соотношения
$ma_{1} = ma - T$,
выражающего второй закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета, связанной с транспортером. Сила трения $T = fmg$ (коэффициент трения $f$ остается прежним), тогда
$ma_{1} = ma - fmg$,
или
$a_{1} = a - \frac{v^{2} }{2s}$.
Путь, пройденный мелом (относительно транспортера) при торможении транспортера, равен $1/2 a_{1} t_{1}^{2}$ или
$\frac{1}{2} \left ( a - \frac{v^{2} }{2s} \right ) \frac{v^{2} }{a^{2} }$.
В момент остановки транспортера скорость мела от носительно него равна
$v_{1} = a_{1}t_{1} = \left ( a - \frac{v^{2} }{2s} \right ) \frac{v }{a }$.
Ускорение мела при замедлении после остановки транспортера
$a_{2} = \frac{T}{m} = fg = \frac{v^{2} }{2s}$.
Время торможения мела
$t_{2} = \frac{v_{1} }{a_{2} } = \left ( \frac{2as}{v^{2} } - 1 \right ) \frac{v}{a}$.
За это время мел прошел путь $1/2 a_{2}t_{2}^{2}$, или
$\frac{1}{2} \frac{v^{2} }{2s} \left ( \frac{2as}{v^{2} } - 1 \right )^{2} \frac{v^{2} }{a^{2} }$.
Длина черты, оставленной мелом на ленте транспортера, следовательно, равна
$s_{1} = \frac{1}{2} \left (a - \frac{v^{2} }{2s } \right ) \frac{v^{2} }{a^{2} } + \frac{1}{2} \frac{v^{2} }{2s} \left ( \frac{2as}{v^{2} } - 1 \right )^{2} \frac{v^{2} }{a^{2} } = \left ( a - \frac{v^{2} }{2s} \right ) \frac{s}{a}$.
Подставив числовые значения величин, находим $s_{1} = 2,5 м$.
В подобных задачах нередко допускают грубую ошибку, связанную с законом сохранения энергии. Остановимся на этом подробнее. Рассмотрим ситуацию, когда мел бросают на транспортер. На первый взгляд может показаться, что для определения длины черты, оставляемой мелом на ленте транспортера, можно воспользоваться уравнениями закона сохранения энергии в системе, неподвижной относительно, скажем, пола. В этой системе транспортер движется со скоростью $v$. Можно было бы ожидать, что полная механическая энергия мела до соприкосновения с транспортером (равная нулю) должна быть равна сумме работы сил трения при вычерчивании линии ($fmgs$) и конечной полной кинетической энергии мела $( \frac{1}{2}mv^{2}$ ), т. е.
$0 = fmgs + \frac{1}{2} mv^{2}$.
Это равенство не может выполняться, поскольку в левой части его стоит нуль, а в правой — положительная величина. Дело в том, что мы не учли здесь работу двигателей, обеспечивающих перемещение ленты транспортера независимо от того, что происходит с кусочком мела. Однако именно благодаря работе двигателей мел совершает работу при скольжении по транспортеру и приобретает кинетическую энергию. Подобные затруднения не возникают, когда задача решается в системе отсчета, связанной с равномерно движущейся лентой транспортера.
На горизонтальную ленту равномерно движущегося со скоростью $v = 5 м/с$ транспортера брошен с очень малой высоты кусочек мела таким образом, что одна из его граней горизонтальна. Оказалось, что мел начертил на ленте линию длиной $s = 5 м$. Несколько позже транспортер выключили, а лента замедленно двигалась до остановки с ускорением $a = - 5 м/с^{2}$.
Прочертил ли мел снова линию на ленте? Если да, то какой длины? Можно ли точно рассчитать, каково должно быть ускорение ленты, чтобы мел не прочерчивал полосу?
Решение:
В системе отсчета, связанной с движущейся лентой, ситуация выглядит так, как если бы на неподвижную ленту бросили мел с начальной скоростью $v = 5 м/с$. Пусть масса мела равна т. Начальная кинетическая энергия мела (в выбранной системе отсчета) полностью переходит в работу против сил трения. Если коэффициент трения мела о ленту транспортера равен $f$, то это утверждение можно записать как
$\frac{1}{2} mv{2} = fmgs$,
откуда
$f = \frac{v^{2} }{2gs}$.
После включения торможения система отсчета, связанная с транспортером, становится неинерциальной. Теперь на мел действует сила инерции, равная $ma$ и направленная в сторону движения транспортера. Эта сила аналогична силе, действующей на пассажиров при торможении трамвая или поезда. Чтобы при торможении мел двигался, необходимо, чтобы сила $ma$ превышала максимальное значение силы трения, равной $fmg$. Следовательно, чтобы мел не оставлял на ленте черты, должно выполняться условие
$ma \leq fmg$,
или
$ \leq \frac{v^{2} }{2s} = 2,5 м/с^{2}$.
Согласно условию задачи, $a = 5 м/с^{2}$, а значит, последнее условие не выполняется и при торможении мел движется по ленте транспортера и оставляет на ней черту. Определим ее длину $s_{1}$.
Мел будет двигаться по транспортеру ускоренно, пока на него действует сила та. После остановки транспортера мел имеет отличную от нуля начальную скорость и под действием силы трения продолжает двигаться замедленно до полной остановки.
Время торможения равно $t_{1} = v/a$.
Ускорение мела $a_{1}$ относительно транспортера определим из соотношения
$ma_{1} = ma - T$,
выражающего второй закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета, связанной с транспортером. Сила трения $T = fmg$ (коэффициент трения $f$ остается прежним), тогда
$ma_{1} = ma - fmg$,
или
$a_{1} = a - \frac{v^{2} }{2s}$.
Путь, пройденный мелом (относительно транспортера) при торможении транспортера, равен $1/2 a_{1} t_{1}^{2}$ или
$\frac{1}{2} \left ( a - \frac{v^{2} }{2s} \right ) \frac{v^{2} }{a^{2} }$.
В момент остановки транспортера скорость мела от носительно него равна
$v_{1} = a_{1}t_{1} = \left ( a - \frac{v^{2} }{2s} \right ) \frac{v }{a }$.
Ускорение мела при замедлении после остановки транспортера
$a_{2} = \frac{T}{m} = fg = \frac{v^{2} }{2s}$.
Время торможения мела
$t_{2} = \frac{v_{1} }{a_{2} } = \left ( \frac{2as}{v^{2} } - 1 \right ) \frac{v}{a}$.
За это время мел прошел путь $1/2 a_{2}t_{2}^{2}$, или
$\frac{1}{2} \frac{v^{2} }{2s} \left ( \frac{2as}{v^{2} } - 1 \right )^{2} \frac{v^{2} }{a^{2} }$.
Длина черты, оставленной мелом на ленте транспортера, следовательно, равна
$s_{1} = \frac{1}{2} \left (a - \frac{v^{2} }{2s } \right ) \frac{v^{2} }{a^{2} } + \frac{1}{2} \frac{v^{2} }{2s} \left ( \frac{2as}{v^{2} } - 1 \right )^{2} \frac{v^{2} }{a^{2} } = \left ( a - \frac{v^{2} }{2s} \right ) \frac{s}{a}$.
Подставив числовые значения величин, находим $s_{1} = 2,5 м$.
В подобных задачах нередко допускают грубую ошибку, связанную с законом сохранения энергии. Остановимся на этом подробнее. Рассмотрим ситуацию, когда мел бросают на транспортер. На первый взгляд может показаться, что для определения длины черты, оставляемой мелом на ленте транспортера, можно воспользоваться уравнениями закона сохранения энергии в системе, неподвижной относительно, скажем, пола. В этой системе транспортер движется со скоростью $v$. Можно было бы ожидать, что полная механическая энергия мела до соприкосновения с транспортером (равная нулю) должна быть равна сумме работы сил трения при вычерчивании линии ($fmgs$) и конечной полной кинетической энергии мела $( \frac{1}{2}mv^{2}$ ), т. е.
$0 = fmgs + \frac{1}{2} mv^{2}$.
Это равенство не может выполняться, поскольку в левой части его стоит нуль, а в правой — положительная величина. Дело в том, что мы не учли здесь работу двигателей, обеспечивающих перемещение ленты транспортера независимо от того, что происходит с кусочком мела. Однако именно благодаря работе двигателей мел совершает работу при скольжении по транспортеру и приобретает кинетическую энергию. Подобные затруднения не возникают, когда задача решается в системе отсчета, связанной с равномерно движущейся лентой транспортера.
