Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9937
2018-11-09 
По горизонтальному столу движется клин массой $M$. На плоскость клина, образующую угол $\alpha$ с плоскостью стола, кладут шарик массой $m$. Шарик начинает катиться без трения и без проскальзывания. Коэффициент трения клина о стол равен 0. Определить ускорение, с которым движется клин.
Решение:
Эту задачу можно решать в различных системах отсчета, например в инерциальной системе, связанной со столом, или в неинерциальной системе, связанной с клином.
Рассмотрим неинерциальную систему, в которой клин покоится. Как известно, в неинерциальной системе отсчета при записи законов Ньютона необходимо учитывать силы инерции.
Введем обозначения согласно рис. В системе отсчета, связанной с клином, на шарик кроме силы тяжести, силы трения и реакции клина действует еще сила инерции, равная $- ma$. Тогда в направлении, параллельном плоскости, на шарик действует сила
$F_{ \parallel} = mg \sin \alpha + ma \cos \alpha - T$,
где $m$ - масса шарика, $T$ - сила трения. Согласно второму закону Ньютона,
$ma^{ \prime} = mg \sin \alpha + ma \cos \alpha - T$,
где $a^{ \prime}$ = ускорение центра шарика относительно клина.
Сила трения $T$ сообщает шарику угловое ускорение $\epsilon$. Второй закон Ньютона для вращательного движения запишется как
$I \epsilon = Tr$,
где $r$ - радиус шарика, $I = 2/5 mr^{2}$ - его момент инерции.
При движении без проскальзывания справедливо равенство
$a = \epsilon r$.
Следовательно, мы имеем три уравнения с тремя неизвестными $T, a^{ \prime}$ и $\epsilon$. Решив эту систему уравнений, найдем $a^{ \prime}$:
$a^{ \prime} = \frac{5}{7} (g \sin \alpha + a \cos \alpha)$.
Ускорение $a^{ \prime}$ направлено вдоль плоскости клина. Его можно разложить на две составляющие: параллельную и перпендикулярную к столу, или, иначе говоря, на вертикальную и горизонтальную. Горизонтальная составляющая ускорения $a^{ \prime}$ равна
$a_{гор}^{ \prime} = a^{ \prime} \cos \alpha = \frac{5}{7} (g \sin \alpha + a \cos \alpha) \cos \alpha$.
Это ускорение является результатом действия двух сил — силы инерции и горизонтальной составляющей силы реакции опоры $R_{гор}$. Следовательно,
$ma + R_{гор} = ma_{гор}^{ \prime}$.
Тогда
$R_{гор} = \frac{5}{7} m (g \sin \alpha + a \cos \alpha) \cos \alpha - ma$.
В рассматриваемой неинерциальной системе отсчета клин покоится. Это означает, что сумма действующих на него сил (действительных и силы инерции) равна нулю. На клин действует сила инерции (направленная вправо) и сила, направленная противоположно $R_{гор}$ (влево). Поэтому
$Ma = m \left ( \frac{5}{7} g \sin \alpha \cos \alpha + \frac{5}{7} a \cos^{2} \alpha - a \right )$.
Из этого уравнения определим ускорение клина
$a = \frac{ \frac{5}{7} mg \sin \alpha \cos \alpha }{M + m \left ( 1- \frac{5}{7} \cos^{2} \alpha \right ) }$.
Предложенное решение не единственное, а одно из возможных. Наиболее естественным, но достаточно громоздким является способ решения, заключающийся в записи уравнений законов Ньютона в инерциальной системе отсчета. В таком случае мы получили бы систему из шести уравнений с шестью неизвестными: 1) уравнение второго закона механики для клина; 2, 3) два уравнения второго закона механики для вертикальной и горизонтальной составляющих линейного ускорения центра шара; 4) уравнение, выражающее второй закон механики для вращательного движения шарика; 5) уравнение, устанавливающее условие качения без проскальзывания и 6) уравнение, выражающее тот факт, что ускорение шарика относительно клина параллельно плоскости клина. В.этих уравнениях присутствуют два типа сил реакции: давление шарика на клин (перпендикулярно к клину) и сила трения. Однако такой способ решения слишком трудоемкий.
Еще один способ решения состоит в использовании законов сохранения и того факта, что центр масс системы клип + шарик не перемещается в горизонтальном направлении.
По горизонтальному столу движется клин массой $M$. На плоскость клина, образующую угол $\alpha$ с плоскостью стола, кладут шарик массой $m$. Шарик начинает катиться без трения и без проскальзывания. Коэффициент трения клина о стол равен 0. Определить ускорение, с которым движется клин.
Решение:
Эту задачу можно решать в различных системах отсчета, например в инерциальной системе, связанной со столом, или в неинерциальной системе, связанной с клином.
Рассмотрим неинерциальную систему, в которой клин покоится. Как известно, в неинерциальной системе отсчета при записи законов Ньютона необходимо учитывать силы инерции.
Введем обозначения согласно рис. В системе отсчета, связанной с клином, на шарик кроме силы тяжести, силы трения и реакции клина действует еще сила инерции, равная $- ma$. Тогда в направлении, параллельном плоскости, на шарик действует сила
$F_{ \parallel} = mg \sin \alpha + ma \cos \alpha - T$,
где $m$ - масса шарика, $T$ - сила трения. Согласно второму закону Ньютона,
$ma^{ \prime} = mg \sin \alpha + ma \cos \alpha - T$,
где $a^{ \prime}$ = ускорение центра шарика относительно клина.
Сила трения $T$ сообщает шарику угловое ускорение $\epsilon$. Второй закон Ньютона для вращательного движения запишется как
$I \epsilon = Tr$,
где $r$ - радиус шарика, $I = 2/5 mr^{2}$ - его момент инерции.
При движении без проскальзывания справедливо равенство
$a = \epsilon r$.
Следовательно, мы имеем три уравнения с тремя неизвестными $T, a^{ \prime}$ и $\epsilon$. Решив эту систему уравнений, найдем $a^{ \prime}$:
$a^{ \prime} = \frac{5}{7} (g \sin \alpha + a \cos \alpha)$.
Ускорение $a^{ \prime}$ направлено вдоль плоскости клина. Его можно разложить на две составляющие: параллельную и перпендикулярную к столу, или, иначе говоря, на вертикальную и горизонтальную. Горизонтальная составляющая ускорения $a^{ \prime}$ равна
$a_{гор}^{ \prime} = a^{ \prime} \cos \alpha = \frac{5}{7} (g \sin \alpha + a \cos \alpha) \cos \alpha$.
Это ускорение является результатом действия двух сил — силы инерции и горизонтальной составляющей силы реакции опоры $R_{гор}$. Следовательно,
$ma + R_{гор} = ma_{гор}^{ \prime}$.
Тогда
$R_{гор} = \frac{5}{7} m (g \sin \alpha + a \cos \alpha) \cos \alpha - ma$.
В рассматриваемой неинерциальной системе отсчета клин покоится. Это означает, что сумма действующих на него сил (действительных и силы инерции) равна нулю. На клин действует сила инерции (направленная вправо) и сила, направленная противоположно $R_{гор}$ (влево). Поэтому
$Ma = m \left ( \frac{5}{7} g \sin \alpha \cos \alpha + \frac{5}{7} a \cos^{2} \alpha - a \right )$.
Из этого уравнения определим ускорение клина
$a = \frac{ \frac{5}{7} mg \sin \alpha \cos \alpha }{M + m \left ( 1- \frac{5}{7} \cos^{2} \alpha \right ) }$.
Предложенное решение не единственное, а одно из возможных. Наиболее естественным, но достаточно громоздким является способ решения, заключающийся в записи уравнений законов Ньютона в инерциальной системе отсчета. В таком случае мы получили бы систему из шести уравнений с шестью неизвестными: 1) уравнение второго закона механики для клина; 2, 3) два уравнения второго закона механики для вертикальной и горизонтальной составляющих линейного ускорения центра шара; 4) уравнение, выражающее второй закон механики для вращательного движения шарика; 5) уравнение, устанавливающее условие качения без проскальзывания и 6) уравнение, выражающее тот факт, что ускорение шарика относительно клина параллельно плоскости клина. В.этих уравнениях присутствуют два типа сил реакции: давление шарика на клин (перпендикулярно к клину) и сила трения. Однако такой способ решения слишком трудоемкий.
Еще один способ решения состоит в использовании законов сохранения и того факта, что центр масс системы клип + шарик не перемещается в горизонтальном направлении.
