Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9933
2018-11-09 
На прозрачную среду с коэффициентом преломления, зависящим от у, под малым углом к нормали падает луч света в точке $y = 0$ (рис.). Каким должен быть вид функции $n(y)$, чтобы внутри рассматриваемой среды траектория луча представляла собой параболу?
Решение:
Рассмотрим луч света, проходящий через несколько плоскопараллельных пластинок с различными коэффициентами преломления (рис.). Закон Снелла
$\frac{ \sin \beta_{2}}{ \sin \beta_{1} } = \frac{n_{1} }{n_{2} }$
можно записать в виде
$n_{2} \sin \beta_{2} = n_{1} \sin \beta_{1}$.
Аналогичным образом получаем
$n_{3} \sin \beta_{3} = n_{2} \sin \beta_{2}$ и т. д.
Следовательно,
$n_{1} \sin \beta_{1} = const$.
Это соотношение не зависит от числа и толщины отдельных слоев. Следовательно, им можно воспользоваться и при плавном изменении коэффициента преломления в каком-то одном направлении — в нашем случае это направление у:
$n(y) \sin \beta (y) = const$,
где $\beta (y)$ - угол между направлением луча и осью у (рис.).
Отметим, что в точке х = 0 парабола должна касаться оси х. Уравнение параболы в данной системе координат запишется в виде
$y = ax^{2}$,
где $a$ - постоянная, характеризующая крутизну параболы.
Используя установленную выше зависимость, можем записать (для точек А и В)
$n(y) \sin \beta(y) = n(0) \sin \beta (0)$,
но
$\sin \beta(0) = \sin 90^{ \circ} = 1$, а $n(0) = n_{0}$.
Следовательно,
$\sin \beta (y) = \frac{n_{0} }{n(y) }$.
Тангенс угла наклона касательной в точке В равен производной функции $y = ax^{2}$.
$tg \alpha (y) = 2ax = 2a \sqrt{y/a} = 2 \sqrt{ay}$.
Зная $tg \alpha(y)$ или $ctg \beta(y)$, можно записать $\sin \beta (y)$ иначе, чем прежде, а именно
$\sin \beta (y) = \frac{1}{ \sqrt{1 + ctg^{2} \beta (y) } } = \frac{1}{ \sqrt{1 + 4ay} }$.
Кроме того,
$\frac{n_{0} }{n(y)} = \frac{1}{ \sqrt{1 + 4ay} }$,
т. е. окончательно получаем
$n(y) = n_{0} \sqrt{1 + 4ay}$.
Рассмотренная задача может показаться читателю несколько парадоксальной. Казалось бы, луч, падающий на границу прозрачной среды, должен идти вдоль оси х, а не по искривленной траектории. В связи с этим следует добавить несколько слов.
Говоря о луче света, мы, как правило, имеем в виду узкий пучок света, который с некоторым приближением можно считать участком фронта плоской волны (принцип Гюйгенса). Пусть такая волна падает на центр оптической неоднородности, как показано на рис. Вторичная волна в различных средах движется с различными скоростями: тем быстрее, чем меньше $n$, и наоборот. Как видим, фронт преломленной волны, будучи фронтом вторичных волн, должен быть искривлен.
Лучи, рассматриваемые в геометрической оптике, — это идеализация. В реальной природе «лучей» не существует. Поэтому, если задачу нельзя решить с точки зрения геометрической оптики, следует представить луч как перпендикуляр к участку фронта плоской волны, ширина которого значительно больше, чем длина волны, и рассмотреть данное явление с точки зрения волновой оптики.
На прозрачную среду с коэффициентом преломления, зависящим от у, под малым углом к нормали падает луч света в точке $y = 0$ (рис.). Каким должен быть вид функции $n(y)$, чтобы внутри рассматриваемой среды траектория луча представляла собой параболу?
Решение:
Рассмотрим луч света, проходящий через несколько плоскопараллельных пластинок с различными коэффициентами преломления (рис.). Закон Снелла
$\frac{ \sin \beta_{2}}{ \sin \beta_{1} } = \frac{n_{1} }{n_{2} }$
можно записать в виде
$n_{2} \sin \beta_{2} = n_{1} \sin \beta_{1}$.
Аналогичным образом получаем
$n_{3} \sin \beta_{3} = n_{2} \sin \beta_{2}$ и т. д.
Следовательно,
$n_{1} \sin \beta_{1} = const$.
Это соотношение не зависит от числа и толщины отдельных слоев. Следовательно, им можно воспользоваться и при плавном изменении коэффициента преломления в каком-то одном направлении — в нашем случае это направление у:
$n(y) \sin \beta (y) = const$,
где $\beta (y)$ - угол между направлением луча и осью у (рис.).
Отметим, что в точке х = 0 парабола должна касаться оси х. Уравнение параболы в данной системе координат запишется в виде
$y = ax^{2}$,
где $a$ - постоянная, характеризующая крутизну параболы.
Используя установленную выше зависимость, можем записать (для точек А и В)
$n(y) \sin \beta(y) = n(0) \sin \beta (0)$,
но
$\sin \beta(0) = \sin 90^{ \circ} = 1$, а $n(0) = n_{0}$.
Следовательно,
$\sin \beta (y) = \frac{n_{0} }{n(y) }$.
Тангенс угла наклона касательной в точке В равен производной функции $y = ax^{2}$.
$tg \alpha (y) = 2ax = 2a \sqrt{y/a} = 2 \sqrt{ay}$.
Зная $tg \alpha(y)$ или $ctg \beta(y)$, можно записать $\sin \beta (y)$ иначе, чем прежде, а именно
$\sin \beta (y) = \frac{1}{ \sqrt{1 + ctg^{2} \beta (y) } } = \frac{1}{ \sqrt{1 + 4ay} }$.
Кроме того,
$\frac{n_{0} }{n(y)} = \frac{1}{ \sqrt{1 + 4ay} }$,
т. е. окончательно получаем
$n(y) = n_{0} \sqrt{1 + 4ay}$.
Рассмотренная задача может показаться читателю несколько парадоксальной. Казалось бы, луч, падающий на границу прозрачной среды, должен идти вдоль оси х, а не по искривленной траектории. В связи с этим следует добавить несколько слов.
Говоря о луче света, мы, как правило, имеем в виду узкий пучок света, который с некоторым приближением можно считать участком фронта плоской волны (принцип Гюйгенса). Пусть такая волна падает на центр оптической неоднородности, как показано на рис. Вторичная волна в различных средах движется с различными скоростями: тем быстрее, чем меньше $n$, и наоборот. Как видим, фронт преломленной волны, будучи фронтом вторичных волн, должен быть искривлен.
Лучи, рассматриваемые в геометрической оптике, — это идеализация. В реальной природе «лучей» не существует. Поэтому, если задачу нельзя решить с точки зрения геометрической оптики, следует представить луч как перпендикуляр к участку фронта плоской волны, ширина которого значительно больше, чем длина волны, и рассмотреть данное явление с точки зрения волновой оптики.
