Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9932
2018-11-09 
В среде с коэффициентом преломления, равным 1, находится оптически однородный прозрачный шар с коэффициентом преломления $n > 1$. Радиус шара равен $R$. На шар падают два параллельных луча симметрично относительно его центра, отстоящие один от другого на $d < 2R$.
1. Какому условию должны удовлетворять $d$ и $n$, чтобы лучи пересеклись внутри шара?
2. При каком условии лучи могут пересечься вне шара (если $d < 2R$)?
3. Какое соотношение должно выполняться, чтобы лучи при любом $d$ не могли пересечься вне шара?
Решение:
Из рис. видно, что лучи 1 и 2 пересекаются вне шара, справа от точки В в том и только том случае, когда угол преломления $\beta$ больше $\alpha /2$. При $\beta = \alpha /2$ пересечение лучей происходит в точке В, а при $\beta < \alpha /2$ лучи пересекаются внутри шара.
Из рисунка следует
$\sin \alpha = \frac{d/2}{R} = \frac{d}{2R}$.
Условием пересечения лучей вне шара является, как было отмечено, $\beta > \alpha /2$. Учитывая, что углы $\alpha$ и $\beta$ меньше $90{ \circ}$, можем это условие записать в виде
$\sin \beta > \sin \frac{ \alpha}{2}$,
но
$\sin \beta = \frac{1}{n} \sin \alpha$,
значит,
$\frac{1}{n} \sin \alpha > \sin \frac{ \alpha}{2}$,
Следовательно,
$n < 2 \cos \frac{ \alpha}{2}$.
Выразив $\cos \frac{ \alpha}{2}$ через $\sin \alpha$, находим
$n < 2 \sqrt{ \frac{1 + \sqrt{1 - \sin^{2} \alpha } }{2} }$.
Подставляя $d/2R$ вместо $\sin \alpha$, получаем ответ на первый вопрос:
$n < \sqrt{ 2 + \sqrt{4 - \frac{d^{2} }{R^{2} }}}$.
Выражение справа является монотонно убывающей функцией $d$, которое может, согласно условию задачи, принимать значения от 0 до $2R$. Наименьшее значение этой функции (при $d = 2R$) равно $\sqrt{2}$. Значит, для $n < \sqrt{2}$ лучи пересекаются вне шара независимо от величины $d$. Чтобы лучи пересекались внутри шара, должно выполняться противоположное условие:
$n > \sqrt{2 + \sqrt{4 - \frac{d^{2} }{R^{2} } } }$.
Выражение, стоящее в правой части, имеет наибольшее значение при $d = 0$ и равно 2. Следовательно, при $n > 2$ лучи будут пересекаться внутри шара независимо от величины $d$. В пределах $\sqrt{2} < n < 2$ лучи могут пересекаться как внутри, так и вне шара, в зависимости от того, больше или меньше величина $n$ по сравнению с $\sqrt{ 2 + \sqrt{ 4 - \frac{d^{2} }{R^{2} }}}$. Из этого следует, что линза в форме шара дает сферическую аберрацию.
В среде с коэффициентом преломления, равным 1, находится оптически однородный прозрачный шар с коэффициентом преломления $n > 1$. Радиус шара равен $R$. На шар падают два параллельных луча симметрично относительно его центра, отстоящие один от другого на $d < 2R$.
1. Какому условию должны удовлетворять $d$ и $n$, чтобы лучи пересеклись внутри шара?
2. При каком условии лучи могут пересечься вне шара (если $d < 2R$)?
3. Какое соотношение должно выполняться, чтобы лучи при любом $d$ не могли пересечься вне шара?
Решение:
Из рис. видно, что лучи 1 и 2 пересекаются вне шара, справа от точки В в том и только том случае, когда угол преломления $\beta$ больше $\alpha /2$. При $\beta = \alpha /2$ пересечение лучей происходит в точке В, а при $\beta < \alpha /2$ лучи пересекаются внутри шара.
Из рисунка следует
$\sin \alpha = \frac{d/2}{R} = \frac{d}{2R}$.
Условием пересечения лучей вне шара является, как было отмечено, $\beta > \alpha /2$. Учитывая, что углы $\alpha$ и $\beta$ меньше $90{ \circ}$, можем это условие записать в виде
$\sin \beta > \sin \frac{ \alpha}{2}$,
но
$\sin \beta = \frac{1}{n} \sin \alpha$,
значит,
$\frac{1}{n} \sin \alpha > \sin \frac{ \alpha}{2}$,
Следовательно,
$n < 2 \cos \frac{ \alpha}{2}$.
Выразив $\cos \frac{ \alpha}{2}$ через $\sin \alpha$, находим
$n < 2 \sqrt{ \frac{1 + \sqrt{1 - \sin^{2} \alpha } }{2} }$.
Подставляя $d/2R$ вместо $\sin \alpha$, получаем ответ на первый вопрос:
$n < \sqrt{ 2 + \sqrt{4 - \frac{d^{2} }{R^{2} }}}$.
Выражение справа является монотонно убывающей функцией $d$, которое может, согласно условию задачи, принимать значения от 0 до $2R$. Наименьшее значение этой функции (при $d = 2R$) равно $\sqrt{2}$. Значит, для $n < \sqrt{2}$ лучи пересекаются вне шара независимо от величины $d$. Чтобы лучи пересекались внутри шара, должно выполняться противоположное условие:
$n > \sqrt{2 + \sqrt{4 - \frac{d^{2} }{R^{2} } } }$.
Выражение, стоящее в правой части, имеет наибольшее значение при $d = 0$ и равно 2. Следовательно, при $n > 2$ лучи будут пересекаться внутри шара независимо от величины $d$. В пределах $\sqrt{2} < n < 2$ лучи могут пересекаться как внутри, так и вне шара, в зависимости от того, больше или меньше величина $n$ по сравнению с $\sqrt{ 2 + \sqrt{ 4 - \frac{d^{2} }{R^{2} }}}$. Из этого следует, что линза в форме шара дает сферическую аберрацию.
