Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9929
2018-11-09 
Светящийся предмет находится в воде на расстоянии $x$ от стенки аквариума, к которой снаружи приклеена плоско-выпуклая линза (в воздухе ее фокусное расстояние равно $f$). Линза и стенка сосуда очень тонкие. Коэффициент преломления воды равен 4/3, а стекла 3/2. Предмет находится на оптической оси линзы. Найдите положение изображения $y$ и коэффициент увеличения в зависимости от положения предмета в воде. В частности, найдите положение изображения и увеличение для $x = f$. Что изменится, если линзу приклеить к внутренней стороне аквариума?
Решение:
Фокусное расстояние линзы, находящейся в какой-то среде, не зависит от того, на какую из сторон линзы падает параллельный пучок лучей. Если же с разных сторон линзы находятся различные среды, то фокусные расстояния тонкой линзы для лучей, падающих с разных сторон, различны.
Введем обозначения, как показано на рис. Фокусное расстояние со стороны предмета обозначим $f_{п}$, а со стороны изображения - $f_{из}$. Высота предмета и изображения соответственно $h_{п}$ и $h_{из}$. $x$ и $y$ - расстояние предмета и изображения от линзы.
Теперь запишем уравнения линзы, связывающие $x, y, f_{п}$ и $f_{из}$. Построение изображения показано на рис. Луч из точки В, идущий параллельно оптической оси линзы, проходит через фокус $F_{из}$. Луч из В, проходящий через фокус $F_{п}$, после прохождения через линзу будет параллелен оптической оси. Оба эти луча пересекаются за линзой в точке $B^{ \prime}$. Из подобия треугольников имеем
$\frac{h_{п} }{x - f_{п} } = \frac{h_{из} }{f_{п} }, \frac{h_{п} }{f_{из} } = \frac{h_{из} }{y - f_{из} }$.
Разделив эти уравнения друг на друга, получаем
$\frac{f_{из} }{x - f_{п} } = \frac{y - f_{из} }{f_{п} }$,
Это уравнение после несложных алгебраических преобразований можно представить в виде
$\frac{f_{п}}{x} + \frac{f_{из}}{y}= 1$.
Определим теперь увеличение изображения $w$. Воспользовавшись установленной зависимостью, можно записать
$w = \frac{h_{из} }{h_{п} } = \frac{y - f_{из} }{f_{из} } = \frac{1 - \frac{f_{из} }{y} }{ \frac{f_{из} }{y} } = \frac{ \frac{f_{п} }{x} }{ \frac{f_{из} }{y} } = \frac{y}{x} \frac{f_{п} }{f_{из} }$.
Отсюда видно, что, зная фокусные расстояния линзы, можно исследовать положение изображения в зависимости от положения предмета, а также проанализировать увеличение при различных положениях предмета.
Определим фокусные расстояния линзы, приклеенной к стенке аквариума: $f_{из}$ и $f_{п}$.
Сначала рассмотрим случай, когда линза приклеена к внешней стороне стенки аквариума (рис.). Параллельный пучок лучей, идущих со стороны воды, при переходе из воды в стекло не изменяется и, пройдя линзу, собирается на расстоянии $f$. Следовательно, $f_{из} = f$.
Теперь определим $f_{п}$ для пучка, проходящего вблизи оси линзы, при условии, что линза тонкая. При этом можно ограничиться малыми значениями углов $\alpha, \beta, \gamma$ и $\delta$. Из теоремы о сумме углов треугольника имеем
$\alpha = \beta + \gamma$.
Закон преломления дает зависимости ($n$ стекла обозначим $n_{ст}$, а $n$ воды - $n_{в}$)
$n_{ст} = \frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta } \approx \frac{ \alpha}{ \beta}; \frac{n_{ст} }{n_{в} } = \frac{ \sin \delta}{ \sin \gamma} \approx \frac{ \delta}{ \gamma}$.
Кроме того, $\sin \alpha = h/R \approx \alpha$, a $tg \delta = h/f_{п} \approx \delta$, где $R$ - радиус кривизны линзы. Поскольку толщина линзы мала, т. е. $h \approx h^{ \prime}$, имеем
$f_{п} \approx \frac{h}{ \delta} \approx \frac{h}{ \gamma n_{ст} / n_{в} } = \frac{hn_{в} }{n_{ст} ( \alpha - \beta) } = \frac{R \alpha n_{в} }{n_{ст} ( \alpha - \alpha / n_{ст} ) } = n_{в} \frac{R}{n_{ст} - 1 } = n_{в}f$.
Учитывая полученные результаты, уравнение линзы можно записать в виде
$\frac{n_{в}}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}$,
а формула для увеличения принимает вид
$w = n_{в} \frac{y}{x}$.
Введя новую переменную $x^{ \prime} = x/n_{в}$, можно записать эти формулы следующим образом:
$\frac{1}{x^{ \prime} } + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}, w = \frac{y}{x^{ \prime} }$.
Формально мы получили те же формулы, что и для линзы в воздухе, лишь вместо $x$ здесь фигурирует $x^{ \prime}$. Следовательно, можно воспользоваться хорошо известными уравнениями линзы в воздухе:
а) $x^{ \prime} > 2f$ ($x > 2fn_{в} = \frac{8}{3} f$)
изображение действительное, уменьшенное, перевернутое, находится на расстоянии у, удовлетворяющем неравенству $2f > y > f$,
б) $2f > x^{ \prime} > f$ ($ \frac{8}{3} f > x > \frac{4}{3} f$ )
изображение действительное, увеличенное, перевернутое, находится на расстоянии $y > 2f$,
в) $f > x^{ \prime}$ ($\frac{4}{3} f > x$)
изображение мнимое, прямое, увеличенное, расположено по ту же сторону линзы, что и предмет. Для $x = f$ имеет место случай (в): $x^{ \prime} = f/n_{в} < f$, а, значит, изображение будет мнимым, прямым и увеличенным. Оно удалено от линзы на расстояние $y$, и увеличение $w$ определяется следующим способом:
$\frac{1}{y} = \frac{1}{f} - \frac{n_{в} }{x} = - (n_{в} - 1 ) \frac{1}{f}$,
$y = - \frac{f}{n_{в} - 1 }$,
$w = n_{в} \frac{y}{x} = - n_{в} \frac{f}{(n_{в} - 1)f} = - \frac{n_{в} }{n_{в} - 1 } = - \frac{4/3}{1/3} = - 4$.
Следовательно, полученное мнимое изображение будет увеличено в 4 раза.
Рассмотрим теперь случай, когда линза приклеена к стенке аквариума с внутренней стороны. Сначала определим фокусное расстояние $f_{п}$. Очевидно, что пучок параллельных лучей, падающих снаружи, не претерпевает изменений на стенке аквариума, независимо от того, находится внутри него вода или воздух. Фокусное расстояние в данном случае должно быть равно фокусному расстоянию тонкой стеклянной линзы, находящейся в воде, т. е. должно быть таким, как фокусное расстояние линзы с коэффициентом преломления $n = n_{ст}/n_{в}$, находящейся в воздухе. Следовательно,
$\frac{1}{f_{п} } = \left ( \frac{n_{ст} }{n_{в} } - 1 \right ) \frac{1}{R} = \left ( \frac{n_{ст} }{n_{в} } - 1 \right ) \frac{1}{n_{ст} - 1 } \frac{n_{ст} - 1 }{R} = \frac{n_{ст} / n_{в} - 1 }{n_{ст} - 1 } \frac{1}{f}$,
$f_{п} = n_{в} \frac{n_{ст} - 1 }{n_{ст} - n_{в} } f$.
Фокусное расстояние для изображения $f_{из}$ можно определить методом, использованным выше. Проделав несложные вычисления, получим
$f_{из} = \frac{n_{ст} - 1 }{n_{ст} - n_{в} } f$.
Зная $f_{п}$ и $f_{из}$, получаем соотношения
$\frac{f_{п}}{x} + \frac{f_{из}}{y} = 1, w = \frac{y}{x} \frac{f_{п} }{f_{из} }$.
Таким образом, положение и увеличение изображения можно рассматривать в зависимости от положения предмета, но рассуждения при этом остаются такими же, что и в предыдущем случае. Разница будет лишь количественной. Так, при $x = f$ получим
$y =- f$ и $w = - \frac{4}{3}$.
Как и прежде, изображение будет прямое, мнимое, но увеличенное лишь в соотношении 4 : 3.
Светящийся предмет находится в воде на расстоянии $x$ от стенки аквариума, к которой снаружи приклеена плоско-выпуклая линза (в воздухе ее фокусное расстояние равно $f$). Линза и стенка сосуда очень тонкие. Коэффициент преломления воды равен 4/3, а стекла 3/2. Предмет находится на оптической оси линзы. Найдите положение изображения $y$ и коэффициент увеличения в зависимости от положения предмета в воде. В частности, найдите положение изображения и увеличение для $x = f$. Что изменится, если линзу приклеить к внутренней стороне аквариума?
Решение:
Фокусное расстояние линзы, находящейся в какой-то среде, не зависит от того, на какую из сторон линзы падает параллельный пучок лучей. Если же с разных сторон линзы находятся различные среды, то фокусные расстояния тонкой линзы для лучей, падающих с разных сторон, различны.
Введем обозначения, как показано на рис. Фокусное расстояние со стороны предмета обозначим $f_{п}$, а со стороны изображения - $f_{из}$. Высота предмета и изображения соответственно $h_{п}$ и $h_{из}$. $x$ и $y$ - расстояние предмета и изображения от линзы.
Теперь запишем уравнения линзы, связывающие $x, y, f_{п}$ и $f_{из}$. Построение изображения показано на рис. Луч из точки В, идущий параллельно оптической оси линзы, проходит через фокус $F_{из}$. Луч из В, проходящий через фокус $F_{п}$, после прохождения через линзу будет параллелен оптической оси. Оба эти луча пересекаются за линзой в точке $B^{ \prime}$. Из подобия треугольников имеем
$\frac{h_{п} }{x - f_{п} } = \frac{h_{из} }{f_{п} }, \frac{h_{п} }{f_{из} } = \frac{h_{из} }{y - f_{из} }$.
Разделив эти уравнения друг на друга, получаем
$\frac{f_{из} }{x - f_{п} } = \frac{y - f_{из} }{f_{п} }$,
Это уравнение после несложных алгебраических преобразований можно представить в виде
$\frac{f_{п}}{x} + \frac{f_{из}}{y}= 1$.
Определим теперь увеличение изображения $w$. Воспользовавшись установленной зависимостью, можно записать
$w = \frac{h_{из} }{h_{п} } = \frac{y - f_{из} }{f_{из} } = \frac{1 - \frac{f_{из} }{y} }{ \frac{f_{из} }{y} } = \frac{ \frac{f_{п} }{x} }{ \frac{f_{из} }{y} } = \frac{y}{x} \frac{f_{п} }{f_{из} }$.
Отсюда видно, что, зная фокусные расстояния линзы, можно исследовать положение изображения в зависимости от положения предмета, а также проанализировать увеличение при различных положениях предмета.
Определим фокусные расстояния линзы, приклеенной к стенке аквариума: $f_{из}$ и $f_{п}$.
Сначала рассмотрим случай, когда линза приклеена к внешней стороне стенки аквариума (рис.). Параллельный пучок лучей, идущих со стороны воды, при переходе из воды в стекло не изменяется и, пройдя линзу, собирается на расстоянии $f$. Следовательно, $f_{из} = f$.
Теперь определим $f_{п}$ для пучка, проходящего вблизи оси линзы, при условии, что линза тонкая. При этом можно ограничиться малыми значениями углов $\alpha, \beta, \gamma$ и $\delta$. Из теоремы о сумме углов треугольника имеем
$\alpha = \beta + \gamma$.
Закон преломления дает зависимости ($n$ стекла обозначим $n_{ст}$, а $n$ воды - $n_{в}$)
$n_{ст} = \frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta } \approx \frac{ \alpha}{ \beta}; \frac{n_{ст} }{n_{в} } = \frac{ \sin \delta}{ \sin \gamma} \approx \frac{ \delta}{ \gamma}$.
Кроме того, $\sin \alpha = h/R \approx \alpha$, a $tg \delta = h/f_{п} \approx \delta$, где $R$ - радиус кривизны линзы. Поскольку толщина линзы мала, т. е. $h \approx h^{ \prime}$, имеем
$f_{п} \approx \frac{h}{ \delta} \approx \frac{h}{ \gamma n_{ст} / n_{в} } = \frac{hn_{в} }{n_{ст} ( \alpha - \beta) } = \frac{R \alpha n_{в} }{n_{ст} ( \alpha - \alpha / n_{ст} ) } = n_{в} \frac{R}{n_{ст} - 1 } = n_{в}f$.
Учитывая полученные результаты, уравнение линзы можно записать в виде
$\frac{n_{в}}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}$,
а формула для увеличения принимает вид
$w = n_{в} \frac{y}{x}$.
Введя новую переменную $x^{ \prime} = x/n_{в}$, можно записать эти формулы следующим образом:
$\frac{1}{x^{ \prime} } + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}, w = \frac{y}{x^{ \prime} }$.
Формально мы получили те же формулы, что и для линзы в воздухе, лишь вместо $x$ здесь фигурирует $x^{ \prime}$. Следовательно, можно воспользоваться хорошо известными уравнениями линзы в воздухе:
а) $x^{ \prime} > 2f$ ($x > 2fn_{в} = \frac{8}{3} f$)
изображение действительное, уменьшенное, перевернутое, находится на расстоянии у, удовлетворяющем неравенству $2f > y > f$,
б) $2f > x^{ \prime} > f$ ($ \frac{8}{3} f > x > \frac{4}{3} f$ )
изображение действительное, увеличенное, перевернутое, находится на расстоянии $y > 2f$,
в) $f > x^{ \prime}$ ($\frac{4}{3} f > x$)
изображение мнимое, прямое, увеличенное, расположено по ту же сторону линзы, что и предмет. Для $x = f$ имеет место случай (в): $x^{ \prime} = f/n_{в} < f$, а, значит, изображение будет мнимым, прямым и увеличенным. Оно удалено от линзы на расстояние $y$, и увеличение $w$ определяется следующим способом:
$\frac{1}{y} = \frac{1}{f} - \frac{n_{в} }{x} = - (n_{в} - 1 ) \frac{1}{f}$,
$y = - \frac{f}{n_{в} - 1 }$,
$w = n_{в} \frac{y}{x} = - n_{в} \frac{f}{(n_{в} - 1)f} = - \frac{n_{в} }{n_{в} - 1 } = - \frac{4/3}{1/3} = - 4$.
Следовательно, полученное мнимое изображение будет увеличено в 4 раза.
Рассмотрим теперь случай, когда линза приклеена к стенке аквариума с внутренней стороны. Сначала определим фокусное расстояние $f_{п}$. Очевидно, что пучок параллельных лучей, падающих снаружи, не претерпевает изменений на стенке аквариума, независимо от того, находится внутри него вода или воздух. Фокусное расстояние в данном случае должно быть равно фокусному расстоянию тонкой стеклянной линзы, находящейся в воде, т. е. должно быть таким, как фокусное расстояние линзы с коэффициентом преломления $n = n_{ст}/n_{в}$, находящейся в воздухе. Следовательно,
$\frac{1}{f_{п} } = \left ( \frac{n_{ст} }{n_{в} } - 1 \right ) \frac{1}{R} = \left ( \frac{n_{ст} }{n_{в} } - 1 \right ) \frac{1}{n_{ст} - 1 } \frac{n_{ст} - 1 }{R} = \frac{n_{ст} / n_{в} - 1 }{n_{ст} - 1 } \frac{1}{f}$,
$f_{п} = n_{в} \frac{n_{ст} - 1 }{n_{ст} - n_{в} } f$.
Фокусное расстояние для изображения $f_{из}$ можно определить методом, использованным выше. Проделав несложные вычисления, получим
$f_{из} = \frac{n_{ст} - 1 }{n_{ст} - n_{в} } f$.
Зная $f_{п}$ и $f_{из}$, получаем соотношения
$\frac{f_{п}}{x} + \frac{f_{из}}{y} = 1, w = \frac{y}{x} \frac{f_{п} }{f_{из} }$.
Таким образом, положение и увеличение изображения можно рассматривать в зависимости от положения предмета, но рассуждения при этом остаются такими же, что и в предыдущем случае. Разница будет лишь количественной. Так, при $x = f$ получим
$y =- f$ и $w = - \frac{4}{3}$.
Как и прежде, изображение будет прямое, мнимое, но увеличенное лишь в соотношении 4 : 3.
