Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9927
2018-11-09 
Определить форму поверхности плоско-выпуклой линзы, которая фокусирует параллельный пучок лучей, не создавая сферической аберрации. Свет падает перпендикулярно к плоской поверхности линзы. Определить максимальную толщину линзы в центре при следующих параметрах: радиус линзы $r = 5 см$, расстояние от фокуса до плоской поверхности линзы $f = 12 см$, коэффициент преломления стекла $n$ равен 1,5.
Указание. Эту задачу проще решать с точки зрения волновой теории.
Решение:
Если линза может собирать плоский фронт волны без аберрации, то фронт волны за линзой должен иметь форму сферической поверхности с общим центром в фокусе F (рис.). Фронт падающей волны параллелен плоской поверхности линзы. Внутри линзы фронт волны также параллелен плоскости линзы. Поскольку длина волны в стекле короче, чем в воздухе, расстояние между максимумами волн в стекле равно $\lambda/n$, где $\lambda$ - длина волны в вакууме. Как видно из рисунка (и это следует из самой сущности волнового процесса), число максимумов волн, помещающихся между фокусом и плоской стороной линзы, постоянно и не зависит от направления, в котором мы их считаем. Определим число максимумов вдоль трех направлений: OF, MNF и KF - и сравним полученные результаты. Обозначим координаты точки N через х и у, как показано на рисунке:
а) число максимумов вдоль пути OF
$\frac{d}{ \lambda / n} + \frac{f - d}{ \lambda}$;
б) число максимумов вдоль MNF
$\frac{y}{ \lambda /n} + \frac{ \sqrt{x^{2} + (f - y)^{2} } }{ \lambda}$;
в) число максимумов волн вдоль пути KF
$\frac{ \sqrt{r^{2} + f^{2} } }{ \lambda}$.
Поскольку полученные значения должны быть равны между собой, то, приравняв, например, первое и третье из них, находим
$\frac{nd}{ \lambda} + \frac{f - d}{ \lambda} = \frac{ \sqrt{r^{2} + f^{2} } }{ \lambda}$.
Следовательно, независимо от длины волны $\lambda$
$d = \frac{ \sqrt{r^{2} + f^{2} } - f }{ n - 1} = 2 см$.
Чтобы найти уравнение, описывающее форму линзы, приравняем второе и третье из полученных выше значений числа максимумов:
$ny + \sqrt{x^{2} + (f - y)^{2} } = \sqrt{r^{2} + f^{2} }$. (1)
Это уравнение можно преобразовать к следующему виду:
$(n^{2} - 1 ) \left ( y - \frac{n \sqrt{r^{2} - f^{2} } - f }{n^{2} - 1 } \right )^{2} - x^{2} = \frac{(n^{2} + 1 )f^{2} + r^{2} - 2nf \sqrt{r^{2} + f^{2} } }{n^{2} - 1 }$. (2)
Мы получили уравнение гиперболы. Это уравнение описывает две ветви гиперболы, тогда как уравнение (1) описывает только одну из них. Очевидно, это связано с необратимостью перехода от уравнения (1) к уравнению (2). Из двух ветвей гиперболы, описываемой уравнением (2), рассматриваемой ситуации соответствует та, которая пересекает прямую $y = 0$. Следовательно, линза имеет вид одной из частей двухполостного гиперболоида вращения.
Очевидно, сравнивать числа максимумов волн вдоль всех трех направлений было излишне. Можно было ограничиться путями MNF и KF, чтобы определить уравнение, описывающее линзу; из него же в свою очередь легко определить у как координату точки, для которой $x = 0$. Однако выбранный нами путь позволил определить $d$, не находя предварительно уравнения формы линзы.
Теперь решим эту задачу иным путем, воспользовавшись законом преломления Снелла. Введя обозначения, показанные на рис., из закона Снелла для треугольника ABF имеем
$\frac{ \sqrt{x^{2} + (f - y)^{2} } }{ \sin \alpha} = \frac{f - y + ctg \alpha }{ \sin (180^{ \circ} - \beta ) }$.
Тангенс угла наклона касательной к изображенной кривой равен производной функции, описывающей кривую, в точке касания. Поскольку угол наклона касательной к оптической оси равен $(90^{ \circ} + \alpha)$,
$tg (90^{ \circ} + \alpha) = \frac{dx}{dy} = - ctg \alpha$.
Учитывая эту зависимость, предыдущее уравнение можно записать в виде
$\frac{x \frac{dx}{dy} - (f - y) }{ \sqrt{x^{2} + (f - y)^{2} } } = - \frac{ \sin \beta}{ \sin \alpha}$,
но $\sin \beta / \sin \alpha = n$, следовательно,
$\frac{x \frac{dx}{dy} - (f - y) }{ \sqrt{x^{2} + (f - y)^{2} } } = - n$.
Это дифференциальное уравнение выражает тот факт, что каждый луч из параллельного пучка после преломления на кривой поверхности линзы пройдет через одну и ту же точку F. Попробуем из этого уравнения найти зависимость $x(y)$. Заметим, что левая часть уравнения является производной по у выражения
$\sqrt{(x(y))^{2} + (f - y)^{2} }$.
Отсюда можем записать
$\frac{d}{dy} \sqrt{ (x(y))^{2} - (f - y)^{2} } = - n$,
Следовательно,
$\sqrt{ x^{2} - (f - y)^{2} } = - ny + C$,
где $C$ - постоянная. Эту постоянную определим из условия, что кривая, описывающая форму линзы, проходит через точки $x = r$ и $y = 0$:
$C = \sqrt{ r^{2} + f^{2}}$.
Тогда предыдущее уравнение можно записать как
$\sqrt{ x^{2} + (f - y)^{2}} = - ny + \sqrt{r^{2} + f^{2}}$.
Это уравнение идентично уравнению (1). Как видим, последний способ решения с использованием закона Снелла оказался труднее, чем способ, основанный на волновой теории.
Определить форму поверхности плоско-выпуклой линзы, которая фокусирует параллельный пучок лучей, не создавая сферической аберрации. Свет падает перпендикулярно к плоской поверхности линзы. Определить максимальную толщину линзы в центре при следующих параметрах: радиус линзы $r = 5 см$, расстояние от фокуса до плоской поверхности линзы $f = 12 см$, коэффициент преломления стекла $n$ равен 1,5.
Указание. Эту задачу проще решать с точки зрения волновой теории.
Решение:
Если линза может собирать плоский фронт волны без аберрации, то фронт волны за линзой должен иметь форму сферической поверхности с общим центром в фокусе F (рис.). Фронт падающей волны параллелен плоской поверхности линзы. Внутри линзы фронт волны также параллелен плоскости линзы. Поскольку длина волны в стекле короче, чем в воздухе, расстояние между максимумами волн в стекле равно $\lambda/n$, где $\lambda$ - длина волны в вакууме. Как видно из рисунка (и это следует из самой сущности волнового процесса), число максимумов волн, помещающихся между фокусом и плоской стороной линзы, постоянно и не зависит от направления, в котором мы их считаем. Определим число максимумов вдоль трех направлений: OF, MNF и KF - и сравним полученные результаты. Обозначим координаты точки N через х и у, как показано на рисунке:
а) число максимумов вдоль пути OF
$\frac{d}{ \lambda / n} + \frac{f - d}{ \lambda}$;
б) число максимумов вдоль MNF
$\frac{y}{ \lambda /n} + \frac{ \sqrt{x^{2} + (f - y)^{2} } }{ \lambda}$;
в) число максимумов волн вдоль пути KF
$\frac{ \sqrt{r^{2} + f^{2} } }{ \lambda}$.
Поскольку полученные значения должны быть равны между собой, то, приравняв, например, первое и третье из них, находим
$\frac{nd}{ \lambda} + \frac{f - d}{ \lambda} = \frac{ \sqrt{r^{2} + f^{2} } }{ \lambda}$.
Следовательно, независимо от длины волны $\lambda$
$d = \frac{ \sqrt{r^{2} + f^{2} } - f }{ n - 1} = 2 см$.
Чтобы найти уравнение, описывающее форму линзы, приравняем второе и третье из полученных выше значений числа максимумов:
$ny + \sqrt{x^{2} + (f - y)^{2} } = \sqrt{r^{2} + f^{2} }$. (1)
Это уравнение можно преобразовать к следующему виду:
$(n^{2} - 1 ) \left ( y - \frac{n \sqrt{r^{2} - f^{2} } - f }{n^{2} - 1 } \right )^{2} - x^{2} = \frac{(n^{2} + 1 )f^{2} + r^{2} - 2nf \sqrt{r^{2} + f^{2} } }{n^{2} - 1 }$. (2)
Мы получили уравнение гиперболы. Это уравнение описывает две ветви гиперболы, тогда как уравнение (1) описывает только одну из них. Очевидно, это связано с необратимостью перехода от уравнения (1) к уравнению (2). Из двух ветвей гиперболы, описываемой уравнением (2), рассматриваемой ситуации соответствует та, которая пересекает прямую $y = 0$. Следовательно, линза имеет вид одной из частей двухполостного гиперболоида вращения.
Очевидно, сравнивать числа максимумов волн вдоль всех трех направлений было излишне. Можно было ограничиться путями MNF и KF, чтобы определить уравнение, описывающее линзу; из него же в свою очередь легко определить у как координату точки, для которой $x = 0$. Однако выбранный нами путь позволил определить $d$, не находя предварительно уравнения формы линзы.
Теперь решим эту задачу иным путем, воспользовавшись законом преломления Снелла. Введя обозначения, показанные на рис., из закона Снелла для треугольника ABF имеем
$\frac{ \sqrt{x^{2} + (f - y)^{2} } }{ \sin \alpha} = \frac{f - y + ctg \alpha }{ \sin (180^{ \circ} - \beta ) }$.
Тангенс угла наклона касательной к изображенной кривой равен производной функции, описывающей кривую, в точке касания. Поскольку угол наклона касательной к оптической оси равен $(90^{ \circ} + \alpha)$,
$tg (90^{ \circ} + \alpha) = \frac{dx}{dy} = - ctg \alpha$.
Учитывая эту зависимость, предыдущее уравнение можно записать в виде
$\frac{x \frac{dx}{dy} - (f - y) }{ \sqrt{x^{2} + (f - y)^{2} } } = - \frac{ \sin \beta}{ \sin \alpha}$,
но $\sin \beta / \sin \alpha = n$, следовательно,
$\frac{x \frac{dx}{dy} - (f - y) }{ \sqrt{x^{2} + (f - y)^{2} } } = - n$.
Это дифференциальное уравнение выражает тот факт, что каждый луч из параллельного пучка после преломления на кривой поверхности линзы пройдет через одну и ту же точку F. Попробуем из этого уравнения найти зависимость $x(y)$. Заметим, что левая часть уравнения является производной по у выражения
$\sqrt{(x(y))^{2} + (f - y)^{2} }$.
Отсюда можем записать
$\frac{d}{dy} \sqrt{ (x(y))^{2} - (f - y)^{2} } = - n$,
Следовательно,
$\sqrt{ x^{2} - (f - y)^{2} } = - ny + C$,
где $C$ - постоянная. Эту постоянную определим из условия, что кривая, описывающая форму линзы, проходит через точки $x = r$ и $y = 0$:
$C = \sqrt{ r^{2} + f^{2}}$.
Тогда предыдущее уравнение можно записать как
$\sqrt{ x^{2} + (f - y)^{2}} = - ny + \sqrt{r^{2} + f^{2}}$.
Это уравнение идентично уравнению (1). Как видим, последний способ решения с использованием закона Снелла оказался труднее, чем способ, основанный на волновой теории.
