2018-11-09
Цилиндрический сосуд с ртутью поставлен на середину горизонтального диска, вращающегося с постоянной угловой скоростью $\omega$. Через некоторое время поверхность ртути становится вогнутой. Доказать, что параллельный пучок лучей, падающий сверху вдоль оси вращения сосуда, после отражения от поверхности ртути соберется в одну точку. Определить положение этой точки. Сравнить свойства ртутного зеркала со свойствами обычного вогнутого сферического зеркала. Деформацией поверхности зеркала, вызванной силами поверхностного натяжения, пренебречь.
Решение:
Эту задачу целесообразнее решать в системе, вращающейся вместе с диском. В этой системе на каждую точку поверхности ртути действует составляющая силы тяжести и центробежной силы. Как известно, свободная поверхность ртути в состоянии равновесия перпендикулярна равнодействующей указанных сил, действующих на нее. Это означает, что равнодействующая силы тяжести и центробежной силы, действующих на данную течку поверхности ртути, должна быть перпендикулярна к плоскости, касательной к поверхности в данной точке. На рис. показано сечение системы плоскостью, проходящей через ось вращения и рассматриваемую точку на поверхности ртути. Из соображений симметрии ясно, что достаточно рассмотреть лишь одно такое сечение.
Определим вид линии, получившейся при пересечении поверхности ртути плоскостью, проходящей через ось вращения. Вместо понятия центробежной силы и силы тяжести можно воспользоваться понятиями центробежного ускорения и ускорения свободного падения. Результирующая этих ускорений $g^{ \prime}$ лежит в плоскости сечения и должна быть перпендикулярна к кривой, представляющей поверхность ртути. Рассмотрим точку Р, лежащую на поверхности ртути на расстоянии $r$ от оси вращения $h$. В этой точке действует горизонтально направленное центробежное ускорение, равное $\omega^{2}r$, а также вертикально направленное ускорение свободного падения $g$. Углы, обозначенные $\alpha$, равны между собой как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Из рисунка видно, что тангенс угла наклона касательной к кривой в точке Р равен $\omega^{2}r/g$, но в то же время тангенс угла наклона касательной равен производной функции, описывающей кривую, следовательно, имеем
$\frac{d}{dr} h(r) = \frac{ \omega^{2} }{g} r$.
Известно, что если производная какой-либо функции является линейной функцией, то сама функция должна быть многочленом второго порядка. Нетрудно доказать, что записанное уравнение является производной функции
$h(r) = \frac{ \omega^{2} }{2g} r^{2} + C$,
где $C$ - некая постоянная; она равна значению функции в точке $r = 0$. Если начало системы координат выберем так, как показано на рисунке, то при $r = 0$ $C$ будет равно нулю и функция $h(r)$ будет иметь вид
$h(r) = \frac{ \omega^{2} }{2g} r^{2}$.
Следовательно, сечение поверхности ртути плоскостью, проходящей через ось вращения, представляет собой параболу, а сама поверхность ртути является параболоидом вращения.
Перейдем теперь к оптической части задачи. Имеется парабола $h(r) = \frac{ \omega^{2} }{2g} r^{2}$; требуется определить точку, в которой соберется пучок лучей, падающих на поверхность параболоида вращения параллельно оси вращения - оси симметрии (рис.). Рассмотрим луч, падающий на параболу в точке Р, отстоящей на расстоянии $r_{0}$ от оси $h$. Пусть после отражения этот луч пересекает ось симметрии в точке F. Углы QPS и SPF равны в силу закона отражения. Углы QPS и PTV равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно, угол FPR равен $90^{ \circ} - 2 \alpha$, где $\alpha$ - угол наклона касательной в точке $r = r_{0}$, тангенс которого равен $\frac{ \omega^{2} }{g} r^{2}$. Расстояние $f$ точки F от вершины параболы О равно $h_{0} + h_{1}$. Тогда
$f = h_{0} + h_{1} = \frac{ \omega^{2} }{2g} r_{0}^{2} + r_{0} \frac{1}{tg 2 \alpha} = \frac{g}{2 \omega^{2} }$,
откуда
$f = \frac{g}{2 \omega^{2} }$,
Видим, что расстояние точки F от точки О не зависит от $r_{0}$. Это означает, что все лучи, независимо от того, на каком расстоянии от оси находились точки их падения на параболу, после отражения пересекут ось симметрии в точке F, отстоящей на $f = g/2 \omega^{2}$ от вершины параболы. Следовательно, точка F является фокусом рассматриваемого зеркала. Величину $f$ назовем фокусным расстоянием.
В рассмотренном решении нет никаких приближений. Сделанные выводы абсолютно точны. И этим, собственно, параболическое зеркало отличается от сферического, для которого фокус (в точном значении этого слова) существует лишь для лучей, падающих вблизи оптической оси. В отличие от сферического параболическое зеркало не имеет сферической аберрации.
Положение фокуса можно определить еще одним способом. Предположим, что все лучи после отражения пересекаются в одной точке F, лежащей на оптической оси (рис.). Воспользуемся законом обратимости хода лучей и поместим в точку F точечный источник света. Источник этот испускает сферические волны, которые после отражения от поверхности должны стать плоскими волнами. Фронт плоской волны, т. е. поверхность постоянной фазы, образует плоскость, перпендикулярную к направлению движения волны. Отсюда следует, что оптический путь различных лучей, приходящих в точку плоскости А после отражения, должен быть одинаковым. В противном случае разные лучи доходили бы до этой плоскости в разных фазах, т. е. после отражения не было бы плоской волны. Рассмотрим пути FOF и FPQ:
$2f = \sqrt{ r_{0}^{2} + [f - h(r_{0})]^{2}} + [f - h(r_{0} ) ]$.
После несложных преобразований получаем
$h(r_{0} ) = \frac{1}{4f} r_{0}^{2}$.
Поскольку $r_{0}$ произвольно, то
$h(r) = \frac{1}{4f} r^{2}$.
Приравнивая полученное уравнение отражающей поверхности к уравнению, найденному ранее при механическом решении задачи, убеждаемся, что
$\frac{1}{4f} = \frac{ \omega^{2} }{2g}$,
а, значит,
$f = \frac{g}{2 \omega^{2} }$.
Отсутствие сферической аберрации у параболического зеркала используется практически, например, в прожекторах и зеркальных телескопах. В проекторax источник света помещается вблизи фокуса параболического зеркала, благодаря чему свет выходит из прожектора в виде точно направленного параллельного пучка. В зеркальных телескопах с параболическим зеркалом свет, приходящий от звезд, собирается в фокусе независимо от размеров зеркала. Таким образом, увеличивая диаметр зеркала, можно повысить четкость и яркость изображения. Один из способов получения параболических зеркал для телескопов заключается в следующем: сосуд, имеющий форму параболоида, наполняется ртутью и раскручивается до определенной угловой скорости, при которой ртуть равномерно растекается по стенкам сосуда, образуя параболоид вращения и выравнивая неровности сосуда. Этот способ применяется редко, потому что полученное таким образом зеркало очень чувствительно к малейшим сотрясениям.