Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9923
2018-11-09 
На горизонтальном плоском столе лежит плоский однородный тонкий диск (рис.), свободно вращающийся вокруг своей оси с некоторой угловой скоростью. Коэффициент трения диска о стол отличен от нуля. Доказать, что движение центра диска будет поступательным.
Решение:
Рассмотрим точки A и В, лежащие симметрично относительно прямой $\sigma$, перпендикулярной к направлению скорости $\vec{v}$ и проходящей через центр диска (рис.). Важно отметить, что скорости $\vec{u}_{A}$ и $\vec{u}_{B}$ точек А и В относительно стола имеют одинаковые горизонтальные составляющие, их вертикальные составляющие равны по величине и противоположны по направлению. Под «вертикальной» и «горизонтальной» составляющими мы понимаем здесь «параллельную» и «перпендикулярную» к прямой $\sigma$ составляющие скороста. Значения сил трения $\vec{T}_{A}$ и $\vec{T}_{B}$ в точках А и В тоже одинаковы, независимо от того, постоянен ли коэффициент трения или он зависит от скорости. Направление силы трения противоположно направлению скорости точек тела относительно стола. Отсюда следует, что результирующая сил трения $\vec{T}_{A}$ и $\vec{T}_{B}$ направлена горизонтально, вертикальная составляющая сил трения равна нулю. Такое рассуждение справедливо для любой пары точек, симметричных относительно прямой $\sigma$. Следовательно, результирующая всех сил трения перпендикулярна к $\sigma$. Это означает, что диск будет перемещаться в направлении, параллельном направлению скорости $\vec{v}$, которую диск приобрел вначале.
Следует подчеркнуть, что в каждой точке диска действует только одна сила трения, направленная противоположно скорости этой точки относительно стола. Некоторые учащиеся рассматривают в каждой точке диска две абсолютно независимые силы трения: одну, связанную с поступательным движением диска, другую - с вращательным. Очевидно, такой подход неверен. Проиллюстрируем это на примере. Пусть точка $m$ движется со скоростью $\vec{v}$ так, как показано на рис. Сила трения $\vec{T}$ действует на эту точку в направлении, противоположном направлению скорости $\vec{v}$, и численно равна $fmg$. Скорость $\vec{v}$ можно представить
в виде суммы двух скоростей $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$. Эти скорости могут иметь самые различные значения, но мы ограничимся рассмотрением случая, представленного на рисунке. Пусть скорость $\vec{v}_{1}$ велика, a $\vec{v}_{2}$ - мала. Движение тела со скоростью $\vec{v}$ можно рассматривать как результат двух движений — со скоростью $\vec{v}_{1}$ и со скоростью $\vec{v}_{2}$. Если бы в каждом из этих независимых движений действовали независимые силы трения $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$, направленные противоположно $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ соответственно и имеющие одинаковые численные значения $fmg$, то соотношение $\vec{T} = \vec{T}_{1} + \vec{T}_{2}$ не выполнилось бы. Очевидно, силу $\vec{T}$ можно разложить на составляющие $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$, параллельные соответственно $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$, но силы $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$ не независимы и не могут быть одновременно равны $fmg$, что ясно видно из рисунка.
Часто допускают и другую ошибку, рассматривая раздельно собственно поступательное движение и собственно вращательное движение диска и предполагая, что результаты будут справедливы и для диска, совершающего оба движения одновременно. Подобный подход неверен. Он справедлив для двух крайних случаев ($\omega = 0$ или $v = 0$), но не для общего случая ($\omega \neq 0, v \neq 0$). Ошибочность такого подхода можно показать на другом примере, а именно на явлении Магнуса. Оно заключается в том, что если валик, находящийся в неподвижной жидкости или газе, вращается вокруг оси симметрии со скоростью $\omega$ и одновременно движется со скоростью $\vec{v}$ в направлении, перпендикулярном оси, то действующая на него сила перпендикулярна к оси вращения и к $\vec{v}$. В частности, когда $\omega = 0$ или $v = 0$, эта сила равна нулю. Но утверждение, что сила, направленная перпендикулярно оси вращения, всегда равна нулю, ошибочно.
На горизонтальном плоском столе лежит плоский однородный тонкий диск (рис.), свободно вращающийся вокруг своей оси с некоторой угловой скоростью. Коэффициент трения диска о стол отличен от нуля. Доказать, что движение центра диска будет поступательным.
Решение:
Рассмотрим точки A и В, лежащие симметрично относительно прямой $\sigma$, перпендикулярной к направлению скорости $\vec{v}$ и проходящей через центр диска (рис.). Важно отметить, что скорости $\vec{u}_{A}$ и $\vec{u}_{B}$ точек А и В относительно стола имеют одинаковые горизонтальные составляющие, их вертикальные составляющие равны по величине и противоположны по направлению. Под «вертикальной» и «горизонтальной» составляющими мы понимаем здесь «параллельную» и «перпендикулярную» к прямой $\sigma$ составляющие скороста. Значения сил трения $\vec{T}_{A}$ и $\vec{T}_{B}$ в точках А и В тоже одинаковы, независимо от того, постоянен ли коэффициент трения или он зависит от скорости. Направление силы трения противоположно направлению скорости точек тела относительно стола. Отсюда следует, что результирующая сил трения $\vec{T}_{A}$ и $\vec{T}_{B}$ направлена горизонтально, вертикальная составляющая сил трения равна нулю. Такое рассуждение справедливо для любой пары точек, симметричных относительно прямой $\sigma$. Следовательно, результирующая всех сил трения перпендикулярна к $\sigma$. Это означает, что диск будет перемещаться в направлении, параллельном направлению скорости $\vec{v}$, которую диск приобрел вначале.
Следует подчеркнуть, что в каждой точке диска действует только одна сила трения, направленная противоположно скорости этой точки относительно стола. Некоторые учащиеся рассматривают в каждой точке диска две абсолютно независимые силы трения: одну, связанную с поступательным движением диска, другую - с вращательным. Очевидно, такой подход неверен. Проиллюстрируем это на примере. Пусть точка $m$ движется со скоростью $\vec{v}$ так, как показано на рис. Сила трения $\vec{T}$ действует на эту точку в направлении, противоположном направлению скорости $\vec{v}$, и численно равна $fmg$. Скорость $\vec{v}$ можно представить
в виде суммы двух скоростей $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$. Эти скорости могут иметь самые различные значения, но мы ограничимся рассмотрением случая, представленного на рисунке. Пусть скорость $\vec{v}_{1}$ велика, a $\vec{v}_{2}$ - мала. Движение тела со скоростью $\vec{v}$ можно рассматривать как результат двух движений — со скоростью $\vec{v}_{1}$ и со скоростью $\vec{v}_{2}$. Если бы в каждом из этих независимых движений действовали независимые силы трения $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$, направленные противоположно $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ соответственно и имеющие одинаковые численные значения $fmg$, то соотношение $\vec{T} = \vec{T}_{1} + \vec{T}_{2}$ не выполнилось бы. Очевидно, силу $\vec{T}$ можно разложить на составляющие $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$, параллельные соответственно $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$, но силы $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$ не независимы и не могут быть одновременно равны $fmg$, что ясно видно из рисунка.
Часто допускают и другую ошибку, рассматривая раздельно собственно поступательное движение и собственно вращательное движение диска и предполагая, что результаты будут справедливы и для диска, совершающего оба движения одновременно. Подобный подход неверен. Он справедлив для двух крайних случаев ($\omega = 0$ или $v = 0$), но не для общего случая ($\omega \neq 0, v \neq 0$). Ошибочность такого подхода можно показать на другом примере, а именно на явлении Магнуса. Оно заключается в том, что если валик, находящийся в неподвижной жидкости или газе, вращается вокруг оси симметрии со скоростью $\omega$ и одновременно движется со скоростью $\vec{v}$ в направлении, перпендикулярном оси, то действующая на него сила перпендикулярна к оси вращения и к $\vec{v}$. В частности, когда $\omega = 0$ или $v = 0$, эта сила равна нулю. Но утверждение, что сила, направленная перпендикулярно оси вращения, всегда равна нулю, ошибочно.
