Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9921
2018-11-09 
Однородная тонкая квадратная пластина массой $M$ со стороной $a$ свободно подвешена за одну из вершин и колеблется в собственной плоскости в поле силы тяжести. В каком месте диагонали, проходящей через точку подвеса пластины (кроме, конечно, самой точки подвеса), к пластине можно приклеить точечную массу $m$ так, чтобы движение пластины не изменилось? Момент инерции квадратной пластины массой $M$ со стороной $a$ относительно оси, перпендикулярной к пластине и проходящей через ее центр О, равен $I_{0} = 1/6 Ma^{2}$.
Решение:
Прежде всего следует определить момент инерции пластины относительно фактической оси вращения. Это можно сделать, воспользовавшись теоремой Штейнера, а также следующим образом. Представим себе пластину (рис.) массой $4M$ со стороной $2a$.
Согласно условию, момент инерции $I^{ \prime}$ этой пластины относительно точки О равняется
$I^{ \prime} = \frac{1}{6} 4M (2a)^{2}$.
С другой стороны, момент инерции системы тел относительно заданной оси равен сумме моментов инерции этих тел относительно той же оси (аддитивность момента инерции). Следовательно,
$I^{ \prime} = 4I$,
где $I$ - момент инерции пластины, имеющей массу $M$ и сторону $a$, относительно оси, перпендикулярной к плоскости пластины и проходящей через вершину квадрата. Используя сказанное выше, определим $I$:
$I = \frac{1}{4} \frac{1}{6} 4M (2a)^{2} = \frac{2}{3} Ma^{2}$.
Запишем теперь уравнение движения нашего физического маятника. Угол отклонения диагонали, проходящей через ось вращения, от вертикали обозначим через $\alpha$ (рис). Угловое ускорение пластины - через $\epsilon$. Согласно второму закону механики, для вращательного движения справедливо соотношение
$I \epsilon = - Mg \frac{a}{ \sqrt{2} } \sin \alpha$.
Подставив в это соотношение значение $I$ и учитывая, что $\epsilon =d^{2} \alpha /dt^{2}$, получим уравнение, описывающее движение нашего маятника (т. е. зависимость $\alpha$ от $t$):
$\frac{d^{2} \alpha}{dt^{2} } = - \frac{g}{ \frac{2 \sqrt{2} a }{3} } \sin \alpha$. (1)
Рассмотрим теперь математический маятник длиной $l$. Если не ограничиваться малыми колебаниями, то для математического маятника получим следующее уравнение движения:
$\frac{d^{2} \alpha}{dt^{2} } = - \frac{g}{l} \sin \alpha$. (2)
Уравнения (1) и (2) будут идентичными, если положить $l = (2 \sqrt{2}/3)a$. Идентичность уравнений означает, что при одинаковых начальных условиях (т. е. при одинаковых начальных отклонениях и скоростях) движение обоих маятников будет одинаковым.
Представим теперь пластину (физический маятник) и математический маятник длиной $l = (2 \sqrt{2}/3)$ колеблющиеся вместе в одной плоскости относительно одной и той же оси. Если пластину и математический маятник отклонить от положения равновесия на один и тот же угол и отпустить, то зависимость $\alpha(t)$ для обоих маятников будет одинаковой. Конкретный вид функции $\alpha(t)$ не имеет для нас значения. Важно то, что конец математического маятника все время будет находиться возле одной и той же точки пластины. Если так, то можем его «приклеить» к пластине и движение при этом не изменится. Следовательно, прикрепление точечной массы т на диагонали на расстоянии, равном 2/3 длины диагонали от оси вращения, не влияет на движение пластины; очевидно, что добавленная масса имеет нулевую скорость относительно пластины.
Особенностью приведенного решения является то, что оно в равной мере справедливо как для малых, так и для больших амплитуд колебаний.
Однородная тонкая квадратная пластина массой $M$ со стороной $a$ свободно подвешена за одну из вершин и колеблется в собственной плоскости в поле силы тяжести. В каком месте диагонали, проходящей через точку подвеса пластины (кроме, конечно, самой точки подвеса), к пластине можно приклеить точечную массу $m$ так, чтобы движение пластины не изменилось? Момент инерции квадратной пластины массой $M$ со стороной $a$ относительно оси, перпендикулярной к пластине и проходящей через ее центр О, равен $I_{0} = 1/6 Ma^{2}$.
Решение:
Прежде всего следует определить момент инерции пластины относительно фактической оси вращения. Это можно сделать, воспользовавшись теоремой Штейнера, а также следующим образом. Представим себе пластину (рис.) массой $4M$ со стороной $2a$.
Согласно условию, момент инерции $I^{ \prime}$ этой пластины относительно точки О равняется
$I^{ \prime} = \frac{1}{6} 4M (2a)^{2}$.
С другой стороны, момент инерции системы тел относительно заданной оси равен сумме моментов инерции этих тел относительно той же оси (аддитивность момента инерции). Следовательно,
$I^{ \prime} = 4I$,
где $I$ - момент инерции пластины, имеющей массу $M$ и сторону $a$, относительно оси, перпендикулярной к плоскости пластины и проходящей через вершину квадрата. Используя сказанное выше, определим $I$:
$I = \frac{1}{4} \frac{1}{6} 4M (2a)^{2} = \frac{2}{3} Ma^{2}$.
Запишем теперь уравнение движения нашего физического маятника. Угол отклонения диагонали, проходящей через ось вращения, от вертикали обозначим через $\alpha$ (рис). Угловое ускорение пластины - через $\epsilon$. Согласно второму закону механики, для вращательного движения справедливо соотношение
$I \epsilon = - Mg \frac{a}{ \sqrt{2} } \sin \alpha$.
Подставив в это соотношение значение $I$ и учитывая, что $\epsilon =d^{2} \alpha /dt^{2}$, получим уравнение, описывающее движение нашего маятника (т. е. зависимость $\alpha$ от $t$):
$\frac{d^{2} \alpha}{dt^{2} } = - \frac{g}{ \frac{2 \sqrt{2} a }{3} } \sin \alpha$. (1)
Рассмотрим теперь математический маятник длиной $l$. Если не ограничиваться малыми колебаниями, то для математического маятника получим следующее уравнение движения:
$\frac{d^{2} \alpha}{dt^{2} } = - \frac{g}{l} \sin \alpha$. (2)
Уравнения (1) и (2) будут идентичными, если положить $l = (2 \sqrt{2}/3)a$. Идентичность уравнений означает, что при одинаковых начальных условиях (т. е. при одинаковых начальных отклонениях и скоростях) движение обоих маятников будет одинаковым.
Представим теперь пластину (физический маятник) и математический маятник длиной $l = (2 \sqrt{2}/3)$ колеблющиеся вместе в одной плоскости относительно одной и той же оси. Если пластину и математический маятник отклонить от положения равновесия на один и тот же угол и отпустить, то зависимость $\alpha(t)$ для обоих маятников будет одинаковой. Конкретный вид функции $\alpha(t)$ не имеет для нас значения. Важно то, что конец математического маятника все время будет находиться возле одной и той же точки пластины. Если так, то можем его «приклеить» к пластине и движение при этом не изменится. Следовательно, прикрепление точечной массы т на диагонали на расстоянии, равном 2/3 длины диагонали от оси вращения, не влияет на движение пластины; очевидно, что добавленная масса имеет нулевую скорость относительно пластины.
Особенностью приведенного решения является то, что оно в равной мере справедливо как для малых, так и для больших амплитуд колебаний.
