Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9920
2018-11-09 
Математический маятник совершает гармонические колебания с малой амплитудой. Период колебания не зависит от амплитуды (колебания изохронны). Если амплитуда колебания математического маятника не слишком мала, период зависит от амплитуды. Доказать, что в общем случае период колебания меняется монотонно в зависимости от амплитуды и что минимальный период соответствует амплитуде, близкой к нулю.
Примечание. При не столь малых колебаниях уравнение движения математического маятника не имеет решения в элементарных функциях. Поэтому попытки решить задачу аналитическим путем в этом случае обречены на неудачу. Следует найти другой способ решения. Целесообразнее соответствующим выбором единиц длины свести колебания с разными амплитудами к колебаниям, амплитуды которых выражаются одинаковыми числами.
Решение:
Согласно примечанию к условию задачи, чтобы упростить сравнение движений с различными амплитудами, можно преобразовать каждое из них в движение с амплитудой, например, равной 1, вводя для каждого движения свою единицу длины, равную амплитуде колебаний: $s$ - отклонение, $A$ - амплитуда, $x = s/A$ - отклонение в новых единицах длины $A$.
Очевидно, скорость изменения величины х равна скорости изменения отклонения $s$, деленной на $A$. Обозначим эту скорость буквой $u$, тогда имеем
$u = \frac{dx}{dt} = \frac{v}{A}$,
где
$v = \frac{ds}{dt}$.
Пусть длина маятника равна $l$ (рис.). Из закона сохранения энергии следует
$\frac{mv^{2} }{2} + mgl \left (1 - \cos \frac{s}{l} \right ) = mgl \left (1 - \cos \frac{A}{l} \right )$.
или
$v^{2} = 2gl \left ( \cos x \frac{A}{l} - \cos \frac{A}{l} \right )$.
Значит,
$u^{2} = \frac{2gl}{A^{2} } \left ( \cos x \frac{A}{l} - \cos \frac{A}{l} \right ) = 4gl \frac{ \sin \frac{A}{2l} (1 + x) }{A} \frac{ \sin \frac{A}{2l} (1 - x) }{A}$.
В результате замены переменных колебания разных амплитуд сводятся к движениям с амплитудой, численно равной 1. Сравнение периодов колебаний с разными $A$ можно осуществить, сравнивая скорости и этих движений в соответствующих точках х. Если два движения происходят по одной и той же траектории, но скорость одного из них в каждой точке траектории больше, чем скорость другого в той же точке, то время, необходимое для прохождения одного и того же пути, меньше в случае первого движения. Очевидно, это условие является достаточным, но не необходимым. Однако условие $A_{1} < A_{2}$ влечет за собой соотношение $u_{1} > u_{2}$, а, значит, $T_{1} < T_{2}$.
Чтобы доказать, что при $A_{1} < A_{2}$ при одном и том же значении х $u_{1} > u_{2}$, следует доказать монотонность функции $u(x, A)$ при возрастании $A$ при любом, но постоянном x. Величина $u^{2}$, согласно последнему уравнению, равна произведению двух функций вида $\sin Aa/A$ с различными неотрицательными величинами $a$. Следует отметить, что функция $\sin aA/A$ монотонно убывает при возрастании $A$ от нуля до максимального значения, равного $\pi /l$ (значение $A$ не превышает $\pi$). Монотонность функции $\sin aA/A$ равнозначна монотонности функции $\sin y/y$, отличающейся от первой постоянным дополнительным множителем; $\sin y/y$ также монотонно убывает при $0 < y < \pi$, ибо это есть отношение хорды к дуге.
Математический маятник совершает гармонические колебания с малой амплитудой. Период колебания не зависит от амплитуды (колебания изохронны). Если амплитуда колебания математического маятника не слишком мала, период зависит от амплитуды. Доказать, что в общем случае период колебания меняется монотонно в зависимости от амплитуды и что минимальный период соответствует амплитуде, близкой к нулю.
Примечание. При не столь малых колебаниях уравнение движения математического маятника не имеет решения в элементарных функциях. Поэтому попытки решить задачу аналитическим путем в этом случае обречены на неудачу. Следует найти другой способ решения. Целесообразнее соответствующим выбором единиц длины свести колебания с разными амплитудами к колебаниям, амплитуды которых выражаются одинаковыми числами.
Решение:
Согласно примечанию к условию задачи, чтобы упростить сравнение движений с различными амплитудами, можно преобразовать каждое из них в движение с амплитудой, например, равной 1, вводя для каждого движения свою единицу длины, равную амплитуде колебаний: $s$ - отклонение, $A$ - амплитуда, $x = s/A$ - отклонение в новых единицах длины $A$.
Очевидно, скорость изменения величины х равна скорости изменения отклонения $s$, деленной на $A$. Обозначим эту скорость буквой $u$, тогда имеем
$u = \frac{dx}{dt} = \frac{v}{A}$,
где
$v = \frac{ds}{dt}$.
Пусть длина маятника равна $l$ (рис.). Из закона сохранения энергии следует
$\frac{mv^{2} }{2} + mgl \left (1 - \cos \frac{s}{l} \right ) = mgl \left (1 - \cos \frac{A}{l} \right )$.
или
$v^{2} = 2gl \left ( \cos x \frac{A}{l} - \cos \frac{A}{l} \right )$.
Значит,
$u^{2} = \frac{2gl}{A^{2} } \left ( \cos x \frac{A}{l} - \cos \frac{A}{l} \right ) = 4gl \frac{ \sin \frac{A}{2l} (1 + x) }{A} \frac{ \sin \frac{A}{2l} (1 - x) }{A}$.
В результате замены переменных колебания разных амплитуд сводятся к движениям с амплитудой, численно равной 1. Сравнение периодов колебаний с разными $A$ можно осуществить, сравнивая скорости и этих движений в соответствующих точках х. Если два движения происходят по одной и той же траектории, но скорость одного из них в каждой точке траектории больше, чем скорость другого в той же точке, то время, необходимое для прохождения одного и того же пути, меньше в случае первого движения. Очевидно, это условие является достаточным, но не необходимым. Однако условие $A_{1} < A_{2}$ влечет за собой соотношение $u_{1} > u_{2}$, а, значит, $T_{1} < T_{2}$.
Чтобы доказать, что при $A_{1} < A_{2}$ при одном и том же значении х $u_{1} > u_{2}$, следует доказать монотонность функции $u(x, A)$ при возрастании $A$ при любом, но постоянном x. Величина $u^{2}$, согласно последнему уравнению, равна произведению двух функций вида $\sin Aa/A$ с различными неотрицательными величинами $a$. Следует отметить, что функция $\sin aA/A$ монотонно убывает при возрастании $A$ от нуля до максимального значения, равного $\pi /l$ (значение $A$ не превышает $\pi$). Монотонность функции $\sin aA/A$ равнозначна монотонности функции $\sin y/y$, отличающейся от первой постоянным дополнительным множителем; $\sin y/y$ также монотонно убывает при $0 < y < \pi$, ибо это есть отношение хорды к дуге.
