Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 992
2016-09-17 
Между двумя неподвижными горизонтальными плоскостями, верхняя из которых расположена на высоте $H$ над нижней, движется маленький шарик массой $m$, упруго отскакивая от них. Скорость шарика после отражения от нижней плоскости равна у о и направлена вертикально вверх. Найдите средние силы, действующие на каждую из плоскостей со стороны шарика.
Решение:
Из условия понятно, что процесс циклический. Найдём время между двумя последовательными отскоками шарика от нижней плоскости. Для начала проверим, долетает ли шарик до верхней плоскости.
1) Если $v_{0} \leq \sqrt{2gH}$, то шарик не ударяется о верхнюю плоскость, и средняя сила, действующая на эту плоскость со стороны шарика, равна нулю: $F_{в1} = 0$. Время полёта шарика легко вычислить из соотношения: $0 = v_{0}T — (gT^{2}/2)$. Отсюда $T = 2v_{0}/g$ (понятно, что решение $T = 0$ не подходит). Поскольку средняя сила $F_{сред} = \Delta p / \Delta t$, то в данном случае для нижней плоскости она равна $F_{н1} = 2mv_{0}/T = mg$.
2) Если $v_{0} > \sqrt{2gH}$, то шарик долетает до верхней плоскости с ненулевой скоростью. Найдём время $\tau$, которое затрачивает шарик на полёт от нижней плоскости до верхней: $H = v_{0} \tau — (g \tau^{2} /2)$. Отсюда $\tau_{1} = \frac{v_{0} - \sqrt{ v_{0}^{2} - 2gH}}{g}$ и $\tau_{2} = \frac{v_{0} + \sqrt{v_{0}^{2} - 2gH}}{g}$. Понятно, что нас интересует время $\tau_{1}$, поскольку $\tau_{2}$ — это время, которое шарик затратил бы на то, чтобы вначале подняться до максимальной высоты без соударения с верхней плоскостью, а затем опуститься обратно до высоты $H$. Поскольку при достижении высоты $H$ скорость шарика равна $v_{н} = \sqrt{v_{0}^{2} - 2gH}$, а время, которое он затрачивает на один цикл «нижняя плоскость — верхняя плоскость — нижняя плоскость», равно $2 \tau_{1}$, то теперь можно вычислить средние силы, действующие на плоскости:
$F_{н2} = \frac{2mv_{0}}{2 \tau_{1}} = mg \frac{v_{0}}{v_{0} - \sqrt{v_{0}^{2} - 2gH}}$,
$F_{в2} = \frac{2mv_{н}}{2 \tau_{1}} = mg \frac{\sqrt{v_{0}^{2} - 2gH}}{v_{0} - \sqrt{v_{0}^{2} - 2gH}}$.
Видно, что разность этих средних сил, как и в первом случае, равна $mg$.
Между двумя неподвижными горизонтальными плоскостями, верхняя из которых расположена на высоте $H$ над нижней, движется маленький шарик массой $m$, упруго отскакивая от них. Скорость шарика после отражения от нижней плоскости равна у о и направлена вертикально вверх. Найдите средние силы, действующие на каждую из плоскостей со стороны шарика.
Решение:
Из условия понятно, что процесс циклический. Найдём время между двумя последовательными отскоками шарика от нижней плоскости. Для начала проверим, долетает ли шарик до верхней плоскости.
1) Если $v_{0} \leq \sqrt{2gH}$, то шарик не ударяется о верхнюю плоскость, и средняя сила, действующая на эту плоскость со стороны шарика, равна нулю: $F_{в1} = 0$. Время полёта шарика легко вычислить из соотношения: $0 = v_{0}T — (gT^{2}/2)$. Отсюда $T = 2v_{0}/g$ (понятно, что решение $T = 0$ не подходит). Поскольку средняя сила $F_{сред} = \Delta p / \Delta t$, то в данном случае для нижней плоскости она равна $F_{н1} = 2mv_{0}/T = mg$.
2) Если $v_{0} > \sqrt{2gH}$, то шарик долетает до верхней плоскости с ненулевой скоростью. Найдём время $\tau$, которое затрачивает шарик на полёт от нижней плоскости до верхней: $H = v_{0} \tau — (g \tau^{2} /2)$. Отсюда $\tau_{1} = \frac{v_{0} - \sqrt{ v_{0}^{2} - 2gH}}{g}$ и $\tau_{2} = \frac{v_{0} + \sqrt{v_{0}^{2} - 2gH}}{g}$. Понятно, что нас интересует время $\tau_{1}$, поскольку $\tau_{2}$ — это время, которое шарик затратил бы на то, чтобы вначале подняться до максимальной высоты без соударения с верхней плоскостью, а затем опуститься обратно до высоты $H$. Поскольку при достижении высоты $H$ скорость шарика равна $v_{н} = \sqrt{v_{0}^{2} - 2gH}$, а время, которое он затрачивает на один цикл «нижняя плоскость — верхняя плоскость — нижняя плоскость», равно $2 \tau_{1}$, то теперь можно вычислить средние силы, действующие на плоскости:
$F_{н2} = \frac{2mv_{0}}{2 \tau_{1}} = mg \frac{v_{0}}{v_{0} - \sqrt{v_{0}^{2} - 2gH}}$,
$F_{в2} = \frac{2mv_{н}}{2 \tau_{1}} = mg \frac{\sqrt{v_{0}^{2} - 2gH}}{v_{0} - \sqrt{v_{0}^{2} - 2gH}}$.
Видно, что разность этих средних сил, как и в первом случае, равна $mg$.
