Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9919
2018-11-09 
На вершине достаточно высокой башни находится лифт, к потолку которого прикреплен один конец невесомой пружины длиной $l = 1 м$. К пружине подвешен груз массой $m = 1 кг$, что вызвало ее растяжение на величину $\Delta l = 9,81 см$. Лифт начинает падать с ускорением $1/2g (g = 9,81 м/с^{2})$ и падает в в течение $t = \pi с$; затем включается тормоз, и лифт движется замедленно с ускорением $- 1/2 g$ полной остановки.
Определить движение груза на пружине относительно лифта. В частности, объяснить-, что произойдет с ним сразу после начала торможения лифта. Как изменится ответ, если время падения лифта будет иным?
Трением и сопротивлением воздуха при движении груза пренебречь.
Решение:
Обозначим коэффициент упругости пружины через $k$. Как известно,
$k = \frac{F}{ \Delta l}$,
где $F$ - сила, растягивающая пружину, а $\Delta l$ - удлинение пружины. В нашем случае
$k = \frac{mg}{ \Delta l}$.
Вначале пружина с висящим на ней грузом находилась в состоянии равновесия. Длина пружины равнялась при этом $l + \Delta l$.
Что произойдет, если лифт начнет падать с ускорением $1/2g$? Тогда в системе, связанной с лифтом, любое тело получит дополнительное ускорение, равное $1/2g$ и направленное вверх. В связи с этим вес груза $m$ в лифте будет равен не $mg$, а лишь $m(g - 1/2g) = 1/2mg$. Аналогичная ситуация будет и в случае, когда лифт замедляется с ускорением $1/2g$. При этом в системе, связанной с лифтом, каждое тело будет получать дополнительное ускорение, направленное вниз и равное $1/2g$, и эффективный вес груза массой $m$, находящегося в лифте, будет равен $m(g + 1/2g) = 3/2mg$.
Какую длину имела бы пружина в состоянии равновесия, если бы вместо силы $mg$ ее растягивала сила $1/2mg$? Легко видеть, что ее длина была бы равна
$l^{ \prime} = l + \Delta l^{ \prime}$,
где
$\Delta l^{ \prime} = \frac{1/2 mg}{k}$.
Подставив $k$, получаем
$\Delta l^{ \prime} = \frac{1}{2} \Delta l$,
а значит,
$l^{ \prime} = l + \frac{1}{2} \Delta l$.
Аналогично в состоянии равновесия длина пружины, растягиваемой силой $3/2mg$, равна
$l^{ \prime \prime} = l + \frac{3}{2} \Delta l$.
Из приведенных рассуждений следует, что длина пружины в состоянии равновесия в различных фазах движения равна:
в покоящемся лифте $l + \Delta l$,
во время падения $l + \frac{1}{2} \Delta l$,
при торможении $l + 3/2 \Delta l$,
после остановки $l + \Delta l$,
Изменение положения равновесия в зависимости от времени показано на рис.
Как видим, положение равновесия изменяется скачкообразно в начале падения, в начале торможения и при остановке.
Сначала рассмотрим момент, когда лифт начинает падать с ускорением $1/2g$. До начала падения груз находился в состоянии равновесия. Однако в первый момент падения это положение перестает быть положением равновесия — от нового положения равновесия груз теперь отдален на $1/2 \Delta l$. Как известно, груз, подвешенный на пружине и отклоненный от положения равновесия, будет совершать гармонические колебания с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$.
В рассматриваемом случае этот период равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{mg/ \Delta l} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{ \Delta l}{g} }$.
Подставив численные значения $\Delta l$ и $g$, получим
$T = \frac{1}{5} \pi$ (секунд).
В течение $\pi$ с (это время падения лифта с ускорением $1/2g$) груз совершит 5 полных колебаний и вернется в то же положение относительно лифта, что и в начале движения. Его скорость относительно лифта будет при этом равна нулю.
Теперь рассмотрим торможение. В момент включения тормоза положение равновесия груза вновь изменяется скачком. Длина пружины до начала торможения равна $l + \Delta l$. В положении равновесия при торможении длина пружины должна равняться $l + 3/2 \Delta l$. В момент начала торможения груз отклонен от нового положения равновесия на $1/2 \Delta l$. Он будет совершать колебания, аналогичные рассмотренным выше. Период колебаний зависит только от $m$ и $k$ и будет, очевидно, таким же, как прежде.
Сколько полных колебаний совершит груз? Поскольку при торможении ускорение имеет такую же абсолютную величину, что и ускорение падения, а начальная и конечная скорости лифта после всех изменений вновь становятся такими же, как вначале, следует, что время торможения также равно $\pi$ с. Читатель может убедиться в этом самостоятельно, сделав несложный расчет. Следовательно, за время торможения груз совершит 5 колебаний и в момент окончания торможения будет находиться в том же положении, в котором был до начала движения лифта. Но по окончании торможения положение равновесия вновь скачком возвращается к тому же состоянию, что и в самом начале. Это значит, что по окончании торможения груз находится в том же самом положении равновесия, что и до начала падения. Его скорость относительно лифта будет, очевидно, равна нулю.
В моменты начала падения и торможения лифта скорость груза относительно лифта равна нулю, так как груз отстоит от положения равновесия на $1/2 \Delta l$. Отсюда следует, что амплитуда колебаний груза одинакова как во время падения, так и во время торможения лифта и равна $1/2 \Delta l$.
Описанные явления можно проиллюстрировать графиком. На рис. показано, как изменяется длина пружины со временем.
А теперь посмотрим, что произойдет, если лифт будет падать с ускорением $1/2g$ в течение времени $\tau$, от личного от $\pi$. Примем $\tau < \pi$ (рис.). Очевидно, приведенный выше способ нахождения положения равновесия остается верным и для этого случая. Как и прежде, во время падения груз совершает колебания. Амплитуда этих колебаний будет равна $1/2 \Delta l$, а период $\pi /5 с$. Однако теперь груз не совершит целого числа полных колебаний. В момент торможения груз будет отклонен от положения равновесия больше, чем на $1/2 \Delta l$, и его скорость будет отлична от нуля. Поэтому во время торможения груз будет совершать колебания с амплитудой, большей $1/2 \Delta l$. Но период этих колебаний будет, как и прежде, $\pi /5 с$. Торможение длится столько же, сколько и падение, и, следовательно, теперь груз совершит несколько меньше колебаний, чем прежде. В момент прекращения торможения пружина будет иметь длину, отличную от $l + \Delta l$, скорость груза относительно лифта будет отлична от нуля, и после окончания торможения груз будет совершать колебания около первоначального положения равновесия. Вычисление амплитуды конечных колебаний в зависимости от времени т не существенно для понимания описанного явления.
На вершине достаточно высокой башни находится лифт, к потолку которого прикреплен один конец невесомой пружины длиной $l = 1 м$. К пружине подвешен груз массой $m = 1 кг$, что вызвало ее растяжение на величину $\Delta l = 9,81 см$. Лифт начинает падать с ускорением $1/2g (g = 9,81 м/с^{2})$ и падает в в течение $t = \pi с$; затем включается тормоз, и лифт движется замедленно с ускорением $- 1/2 g$ полной остановки.
Определить движение груза на пружине относительно лифта. В частности, объяснить-, что произойдет с ним сразу после начала торможения лифта. Как изменится ответ, если время падения лифта будет иным?
Трением и сопротивлением воздуха при движении груза пренебречь.
Решение:
Обозначим коэффициент упругости пружины через $k$. Как известно,
$k = \frac{F}{ \Delta l}$,
где $F$ - сила, растягивающая пружину, а $\Delta l$ - удлинение пружины. В нашем случае
$k = \frac{mg}{ \Delta l}$.
Вначале пружина с висящим на ней грузом находилась в состоянии равновесия. Длина пружины равнялась при этом $l + \Delta l$.
Что произойдет, если лифт начнет падать с ускорением $1/2g$? Тогда в системе, связанной с лифтом, любое тело получит дополнительное ускорение, равное $1/2g$ и направленное вверх. В связи с этим вес груза $m$ в лифте будет равен не $mg$, а лишь $m(g - 1/2g) = 1/2mg$. Аналогичная ситуация будет и в случае, когда лифт замедляется с ускорением $1/2g$. При этом в системе, связанной с лифтом, каждое тело будет получать дополнительное ускорение, направленное вниз и равное $1/2g$, и эффективный вес груза массой $m$, находящегося в лифте, будет равен $m(g + 1/2g) = 3/2mg$.
Какую длину имела бы пружина в состоянии равновесия, если бы вместо силы $mg$ ее растягивала сила $1/2mg$? Легко видеть, что ее длина была бы равна
$l^{ \prime} = l + \Delta l^{ \prime}$,
где
$\Delta l^{ \prime} = \frac{1/2 mg}{k}$.
Подставив $k$, получаем
$\Delta l^{ \prime} = \frac{1}{2} \Delta l$,
а значит,
$l^{ \prime} = l + \frac{1}{2} \Delta l$.
Аналогично в состоянии равновесия длина пружины, растягиваемой силой $3/2mg$, равна
$l^{ \prime \prime} = l + \frac{3}{2} \Delta l$.
Из приведенных рассуждений следует, что длина пружины в состоянии равновесия в различных фазах движения равна:
в покоящемся лифте $l + \Delta l$,
во время падения $l + \frac{1}{2} \Delta l$,
при торможении $l + 3/2 \Delta l$,
после остановки $l + \Delta l$,
Изменение положения равновесия в зависимости от времени показано на рис.
Как видим, положение равновесия изменяется скачкообразно в начале падения, в начале торможения и при остановке.
Сначала рассмотрим момент, когда лифт начинает падать с ускорением $1/2g$. До начала падения груз находился в состоянии равновесия. Однако в первый момент падения это положение перестает быть положением равновесия — от нового положения равновесия груз теперь отдален на $1/2 \Delta l$. Как известно, груз, подвешенный на пружине и отклоненный от положения равновесия, будет совершать гармонические колебания с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$.
В рассматриваемом случае этот период равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{mg/ \Delta l} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{ \Delta l}{g} }$.
Подставив численные значения $\Delta l$ и $g$, получим
$T = \frac{1}{5} \pi$ (секунд).
В течение $\pi$ с (это время падения лифта с ускорением $1/2g$) груз совершит 5 полных колебаний и вернется в то же положение относительно лифта, что и в начале движения. Его скорость относительно лифта будет при этом равна нулю.
Теперь рассмотрим торможение. В момент включения тормоза положение равновесия груза вновь изменяется скачком. Длина пружины до начала торможения равна $l + \Delta l$. В положении равновесия при торможении длина пружины должна равняться $l + 3/2 \Delta l$. В момент начала торможения груз отклонен от нового положения равновесия на $1/2 \Delta l$. Он будет совершать колебания, аналогичные рассмотренным выше. Период колебаний зависит только от $m$ и $k$ и будет, очевидно, таким же, как прежде.
Сколько полных колебаний совершит груз? Поскольку при торможении ускорение имеет такую же абсолютную величину, что и ускорение падения, а начальная и конечная скорости лифта после всех изменений вновь становятся такими же, как вначале, следует, что время торможения также равно $\pi$ с. Читатель может убедиться в этом самостоятельно, сделав несложный расчет. Следовательно, за время торможения груз совершит 5 колебаний и в момент окончания торможения будет находиться в том же положении, в котором был до начала движения лифта. Но по окончании торможения положение равновесия вновь скачком возвращается к тому же состоянию, что и в самом начале. Это значит, что по окончании торможения груз находится в том же самом положении равновесия, что и до начала падения. Его скорость относительно лифта будет, очевидно, равна нулю.
В моменты начала падения и торможения лифта скорость груза относительно лифта равна нулю, так как груз отстоит от положения равновесия на $1/2 \Delta l$. Отсюда следует, что амплитуда колебаний груза одинакова как во время падения, так и во время торможения лифта и равна $1/2 \Delta l$.
Описанные явления можно проиллюстрировать графиком. На рис. показано, как изменяется длина пружины со временем.
А теперь посмотрим, что произойдет, если лифт будет падать с ускорением $1/2g$ в течение времени $\tau$, от личного от $\pi$. Примем $\tau < \pi$ (рис.). Очевидно, приведенный выше способ нахождения положения равновесия остается верным и для этого случая. Как и прежде, во время падения груз совершает колебания. Амплитуда этих колебаний будет равна $1/2 \Delta l$, а период $\pi /5 с$. Однако теперь груз не совершит целого числа полных колебаний. В момент торможения груз будет отклонен от положения равновесия больше, чем на $1/2 \Delta l$, и его скорость будет отлична от нуля. Поэтому во время торможения груз будет совершать колебания с амплитудой, большей $1/2 \Delta l$. Но период этих колебаний будет, как и прежде, $\pi /5 с$. Торможение длится столько же, сколько и падение, и, следовательно, теперь груз совершит несколько меньше колебаний, чем прежде. В момент прекращения торможения пружина будет иметь длину, отличную от $l + \Delta l$, скорость груза относительно лифта будет отлична от нуля, и после окончания торможения груз будет совершать колебания около первоначального положения равновесия. Вычисление амплитуды конечных колебаний в зависимости от времени т не существенно для понимания описанного явления.
