Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9918
2018-11-09 
Ньютон доказал, что на тела, расположенные внутри однородной сферы, последняя не оказывает гравитационного воздействия. Однако такая сфера воздействует на тела, расположенные вне ее, причем так, как если бы вся масса сферы была сосредоточена в ее геометрическом центре.
Представьте себе шахту, проходящую сквозь земной шар вдоль оси его вращения. Считаем, что Земля — однородный шар и что при решении можно пренебречь трением, сопротивлением воздуха и т. п.
а. Как будет двигаться тело, свободно брошенное в шахту с поверхности Земли? Вывод подтвердить расчетом.
б. С какой начальной скоростью следует бросить тело из центра Земли, чтобы оно достигло ее поверхности?
в. Предположим, что вблизи поверхности Земли вдоль меридиана проходит орбита спутника. Тело свободно брошено в шахту в момент, когда спутник пролетал над шахтой. Что раньше достигнет противоположного отверстия шахты: спутник или брошенное тело?
г. Существенно ли то, что шахта проходит вдоль оси вращения Земли?
Решение:
Согласно данным задачи, на тело, находящееся в точке A, отстоящей на расстоянии $r$ от центра шара О, действует гравитационная сила только со стороны части шара $M_{1}$ (рис.). Незаштрихованная часть шара не оказывает воздействия на тело.
Обозначим массу тела через $m$. Однородный шар массой $M_{1}$ воздействует на тело, находящееся вне его, так, как если бы он был материальной точкой с массой $M_{1}$, помещенной в геометрический центр шара. То есть на тело, находящееся в точке A, действует сила
$\vec{F} = - G \frac{mM_{1} }{r^{2} } \frac{ \vec{r} }{r}$,
где $G$ - гравитационная постоянная. Знак минус означает, что сила $\vec{F}$ направлена противоположно вектору $\vec{r}$. Так как в нашем случае мы рассматриваем Землю как однородный материальный шар, имеющий массу $M$ и радиус $R$, то можем записать
$\frac{M_{1} }{M} = \frac{r^{3} }{R^{3} }$.
Это равенство выражает тот факт, что массы $M_{1}$ и $M$ пропорциональны соответственно объему заштрихованной на рисунке части шара и объему Земли, которые, в свою очередь, пропорциональны кубам радиусов $r$ и $R$. Отсюда получаем
$M_{1} = \frac{M}{R^{3} } r^{3}$.
Подставим это выражение в уравнение силы, тогда
$\vec{F} = - \frac{GmM}{R^{3} } \vec{r}$.
Как видим, сила, действующая на тело в шахте, направлена к центру Земли и пропорциональна расстоянию от тела до центра Земли. Следовательно, тело будет совершать гармонические колебания относительно центра Земли. Определим период этих колебаний. Поскольку $\vec{F}$ и $\vec{r}$ направлены вдоль шахты, можно записать
$F = - \frac{GmM}{R^{3} } r$.
Тогда ускорение тела $a = F/m$ равно
$a = - \frac{GM}{R^{3} } r$,
но при гармоническом движении выполняется зависимость
$a = - \omega^{2}r = - \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2} r$,
где $T$ — период колебаний. Значит,
$\left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2} = \frac{GM}{R^{3} }$
и
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{R^{3} }{GM} }$
Сравним этот период с периодом обращения вокруг Земли спутника, движущегося вблизи ее поверхности. Центростремительная сила, определяющая траекторию спутника, — это сила гравитационного воздействия Земли. Следовательно, выполняется зависимость
$\frac{mv^{2} }{R} = G \frac{mM}{R^{2} }$,
где $m$ - масса спутника, $R$ - радиус Земли и вместе с тем радиус орбиты спутника, $v$ - скорость спутника, равная $2 \pi R/T$, $T$ - период обращения спутника вокруг Земли. После коротких преобразований получаем
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{R^{3} }{GM} }$.
Видим, что период обращения спутника и период колебаний тела в шахте одинаковы. Случаен ли этот результат или это следствие каких-то фундаментальных физических законов?
Да, полученный выше результат не случаен. К нему можно было бы прийти на основании закона независимости движения. Закон этот утверждает, что движение в данном направлении совершается только под действием той составляющей силы, которая направлена таким же образом, независимо от того, каковы остальные ее составляющие. Этот закон обусловлен векторным характером таких параметров, как сила, положение, ускорение, входящих во второй закон механики, тогда как масса является скалярной величиной.
Рассмотрим спутник, движущийся вблизи поверхности Земли (рис.). Сила гравитационного притяжения, действующая на спутник, равна
$\vec{F}_{гр} = - \frac{GmM}{R^{2} } \frac{ \vec{R}}{R}$.
Будем считать, что эта сила имеет две составляющие: параллельную и перпендикулярную к шахте — и рассмотрим ее параллельную составляющую
$F_{ \parallel} = - \frac{GmM}{R^{2} } \cos \alpha = - \frac{GmM}{R^{2} } \frac{r}{R}$.
Движение спутника в направлении, параллельном шахте, совершается только под действием этой силы. Ускорение этого движения, или проекция ускорения спутника на «ось» шахты, равно
$a_{ \parallel} = - \frac{GM}{R^{3} } r$.
Видим, что проекция ускорения спутника на направление шахты и ускорение тела в шахте $a$ выражаются одинаковыми формулами. Обе эти формулы можно записать одним и тем же дифференциальным уравнением
$\frac{d^{2} r }{dt^{2} } = - \frac{GM}{R^{3} } r$,
поскольку
$a = \frac{d^{2} r }{dt^{2} }$ и $a_{ \parallel} = \frac{d^{2} r }{dt^{2} }$.
Это уравнение описывает как движение тела в шахте, так и проекцию движения спутника на ось шахты. Мы употребили здесь слово «описывает», а не «определяет», поскольку это уравнение не позволяет еще однозначно определить положение тела в любой момент времени $r(t)$, или, что то же самое, однозначно определить движение. Чтобы движение, т. е. функция $r(t)$, было определено, кроме самого уравнения необходимо знать еще и начальные условия, например положение и скорость тела в момент $t = 0$.
Согласно сказанному выше, если в начальный момент положение проекции спутника и положение тела в шахте будут одинаковыми и если одинаковыми будут скорость тела в шахте и проекция скорости спутника на направление шахты, то из условия одинаковых уравнений движения зависимость $r(t)$ для обоих объектов будет одинакова.
Следовательно, если в начальный момент спутник будет пролетать над входом шахты, в которую в этот момент будет брошено тело с нулевой начальной скоростью, то положение тела и проекция спутника будут определяться одинаковыми функциями времени. Оба эти объекта будут двигаться одинаково и одновременно достигнут противоположного отверстия шахты. Очевидно, что период обоих движений будет одинаков. Отсюда явствует, что в момент, когда тело проходит через центр шахты, его скорость равна скорости спутника. Значит, чтобы тело достигло поверхности Земли, его скорость в центре шахты должна равняться первой космической скорости, или скорости спутника, летящего вблизи поверхности Земли. Эта скорость примерно равна 7,9 км/с.
Таким образом, практически без расчетов мы получили ответы на вопросы (б) и (в), поставленные в условии задачи. Ответ на вопрос (а) был получен ранее. Теперь попытаемся ответить на вопрос (г). Если бы направление шахты не совпадало с направлением оси вращения Земли, то на тело в шахте помимо гравитационной силы действовала бы еще сила инерции: центробежная сила и сила Кориолиса. Влияние центробежной силы читатель без труда может определить сам. Сила Кориолиса не изучается в школьной программе, поэтому мы не будем ее рассматривать.
До сих пор мы рассматривали шахту, проходящую через центр Земли. Теперь представим себе, что в неподвижной (чтобы не принимать во внимание силы инерции) однородной Земле пробита шахта так, как показано на рис. Допустим, что движение тела в шахте происходит без трения. Интересно, что периоды движения тела в такой шахте и в шахте, проходящей через центр Земли, одинаковы. Доказательство этого факта не должно вызвать у читателя никаких затруднений. Итак, если бы мы построили туннель, соединяющий два пункта на поверхности Земли и пустили бы вагонетки, которые могли бы перемещаться в этом туннеле свободно и без трения, то время перемещения вагонетки из одного пункта в другой было бы равно половине периода обращения спутника (около 45 мин). Интересный факт! Жаль, что нет технической возможности построить подобный туннель.
Покажем теперь, что сферическая однородная оболочка не притягивает тело, помещенное внутри нее.
На рис. изображена такая сферическая материальная оболочка. Обозначенные здесь телесные углы с общими вершинами в точке Р составляют $\Delta \Omega$ каждый. Расстояние точки Р от поверхности, измеренное вдоль оси телесных углов, равно $r_{1}$ и $r_{2}$. Имеем
$\Delta S_{1} = \frac{ \Delta \Omega }{ \cos \alpha_{1} } r_{1}^{2}$
и
$\Delta S_{2} = \frac{ \Delta \Omega }{ \cos \alpha_{2} } r_{2}^{2}$
Массы элементарных поверхностей $\Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2}$ равны
$\Delta m_{1} = \sigma \Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2} = \sigma \Delta S_{2}$,
где $\sigma$ - масса, приходящаяся на единицу поверхности. Если в точке Р поместить точечную массу $m$, то массы $\Delta m_{1}$ и $\Delta m_{2}$ будут воздействовать на массу $m$ с силами
$\Delta F_{1} = \frac{Gm \sigma \Delta S_{1} }{r_{1}^{2} }$
и
$\Delta F_{2} = \frac{Gm \sigma \Delta S_{2} }{r_{2}^{2} }$
где $G$ - гравитационная постоянная.
Эти силы противоположно направлены, но равны по абсолютной величине: $\Delta S_{1}/r_{1}^{2} = \Delta S_{2}/ r_{2}^{2}$, так как $\alpha_{1} = \alpha_{2}$.
Равнодействующая сил $\Delta \vec{F}_{1}$ и $\Delta \vec{F}_{2}$ равна нулю. Такое же рассуждение можно провести для каждой пары одинаковых малых телесных углов с общими вершинами в точке Р. Отсюда следует, что полная сила, действующая на тело массой $m$, помещенное в точке Pf равна нулю. Это относится, очевидно, и к любой точке внутри рассматриваемой шаровой поверхности. Следовательно, внутри однородной материальной шаровой поверхности гравитационное поле отсутствует.
Рассмотрим теперь точку $Q$, находящуюся на расстоянии $r$ от центра однородного материального шара радиуса $R(r < R)$ и массой $M$ (рис.). Согласно сказанному выше, гравитационное поле от заштрихованной части шара равно нулю, поскольку эту часть можно считать системой концентрических материальных оболочек, а гравитационное воздействие каждой из таких оболочек равно нулю. Следовательно, на материальную точку, находящуюся в точке Q, действует гравитационная сила только со стороны незаштрихованной части шара. Таким образом, доказано предположение, сделанное в условии задачи. Нетрудно заметить, что наше доказательство имеет общий характер, и его можно применить не только в случае гравитационного взаимодействия, но и для других взаимодействий, убывающих пропорционально квадрату расстояния, например для электростатических взаимодействий. В случае электростатического взаимодействия это означает, что внутри равномерно заряженной шаровой поверхности нет электрического поля.
Ньютон доказал, что на тела, расположенные внутри однородной сферы, последняя не оказывает гравитационного воздействия. Однако такая сфера воздействует на тела, расположенные вне ее, причем так, как если бы вся масса сферы была сосредоточена в ее геометрическом центре.
Представьте себе шахту, проходящую сквозь земной шар вдоль оси его вращения. Считаем, что Земля — однородный шар и что при решении можно пренебречь трением, сопротивлением воздуха и т. п.
а. Как будет двигаться тело, свободно брошенное в шахту с поверхности Земли? Вывод подтвердить расчетом.
б. С какой начальной скоростью следует бросить тело из центра Земли, чтобы оно достигло ее поверхности?
в. Предположим, что вблизи поверхности Земли вдоль меридиана проходит орбита спутника. Тело свободно брошено в шахту в момент, когда спутник пролетал над шахтой. Что раньше достигнет противоположного отверстия шахты: спутник или брошенное тело?
г. Существенно ли то, что шахта проходит вдоль оси вращения Земли?
Решение:
Согласно данным задачи, на тело, находящееся в точке A, отстоящей на расстоянии $r$ от центра шара О, действует гравитационная сила только со стороны части шара $M_{1}$ (рис.). Незаштрихованная часть шара не оказывает воздействия на тело.
Обозначим массу тела через $m$. Однородный шар массой $M_{1}$ воздействует на тело, находящееся вне его, так, как если бы он был материальной точкой с массой $M_{1}$, помещенной в геометрический центр шара. То есть на тело, находящееся в точке A, действует сила
$\vec{F} = - G \frac{mM_{1} }{r^{2} } \frac{ \vec{r} }{r}$,
где $G$ - гравитационная постоянная. Знак минус означает, что сила $\vec{F}$ направлена противоположно вектору $\vec{r}$. Так как в нашем случае мы рассматриваем Землю как однородный материальный шар, имеющий массу $M$ и радиус $R$, то можем записать
$\frac{M_{1} }{M} = \frac{r^{3} }{R^{3} }$.
Это равенство выражает тот факт, что массы $M_{1}$ и $M$ пропорциональны соответственно объему заштрихованной на рисунке части шара и объему Земли, которые, в свою очередь, пропорциональны кубам радиусов $r$ и $R$. Отсюда получаем
$M_{1} = \frac{M}{R^{3} } r^{3}$.
Подставим это выражение в уравнение силы, тогда
$\vec{F} = - \frac{GmM}{R^{3} } \vec{r}$.
Как видим, сила, действующая на тело в шахте, направлена к центру Земли и пропорциональна расстоянию от тела до центра Земли. Следовательно, тело будет совершать гармонические колебания относительно центра Земли. Определим период этих колебаний. Поскольку $\vec{F}$ и $\vec{r}$ направлены вдоль шахты, можно записать
$F = - \frac{GmM}{R^{3} } r$.
Тогда ускорение тела $a = F/m$ равно
$a = - \frac{GM}{R^{3} } r$,
но при гармоническом движении выполняется зависимость
$a = - \omega^{2}r = - \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2} r$,
где $T$ — период колебаний. Значит,
$\left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2} = \frac{GM}{R^{3} }$
и
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{R^{3} }{GM} }$
Сравним этот период с периодом обращения вокруг Земли спутника, движущегося вблизи ее поверхности. Центростремительная сила, определяющая траекторию спутника, — это сила гравитационного воздействия Земли. Следовательно, выполняется зависимость
$\frac{mv^{2} }{R} = G \frac{mM}{R^{2} }$,
где $m$ - масса спутника, $R$ - радиус Земли и вместе с тем радиус орбиты спутника, $v$ - скорость спутника, равная $2 \pi R/T$, $T$ - период обращения спутника вокруг Земли. После коротких преобразований получаем
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{R^{3} }{GM} }$.
Видим, что период обращения спутника и период колебаний тела в шахте одинаковы. Случаен ли этот результат или это следствие каких-то фундаментальных физических законов?
Да, полученный выше результат не случаен. К нему можно было бы прийти на основании закона независимости движения. Закон этот утверждает, что движение в данном направлении совершается только под действием той составляющей силы, которая направлена таким же образом, независимо от того, каковы остальные ее составляющие. Этот закон обусловлен векторным характером таких параметров, как сила, положение, ускорение, входящих во второй закон механики, тогда как масса является скалярной величиной.
Рассмотрим спутник, движущийся вблизи поверхности Земли (рис.). Сила гравитационного притяжения, действующая на спутник, равна
$\vec{F}_{гр} = - \frac{GmM}{R^{2} } \frac{ \vec{R}}{R}$.
Будем считать, что эта сила имеет две составляющие: параллельную и перпендикулярную к шахте — и рассмотрим ее параллельную составляющую
$F_{ \parallel} = - \frac{GmM}{R^{2} } \cos \alpha = - \frac{GmM}{R^{2} } \frac{r}{R}$.
Движение спутника в направлении, параллельном шахте, совершается только под действием этой силы. Ускорение этого движения, или проекция ускорения спутника на «ось» шахты, равно
$a_{ \parallel} = - \frac{GM}{R^{3} } r$.
Видим, что проекция ускорения спутника на направление шахты и ускорение тела в шахте $a$ выражаются одинаковыми формулами. Обе эти формулы можно записать одним и тем же дифференциальным уравнением
$\frac{d^{2} r }{dt^{2} } = - \frac{GM}{R^{3} } r$,
поскольку
$a = \frac{d^{2} r }{dt^{2} }$ и $a_{ \parallel} = \frac{d^{2} r }{dt^{2} }$.
Это уравнение описывает как движение тела в шахте, так и проекцию движения спутника на ось шахты. Мы употребили здесь слово «описывает», а не «определяет», поскольку это уравнение не позволяет еще однозначно определить положение тела в любой момент времени $r(t)$, или, что то же самое, однозначно определить движение. Чтобы движение, т. е. функция $r(t)$, было определено, кроме самого уравнения необходимо знать еще и начальные условия, например положение и скорость тела в момент $t = 0$.
Согласно сказанному выше, если в начальный момент положение проекции спутника и положение тела в шахте будут одинаковыми и если одинаковыми будут скорость тела в шахте и проекция скорости спутника на направление шахты, то из условия одинаковых уравнений движения зависимость $r(t)$ для обоих объектов будет одинакова.
Следовательно, если в начальный момент спутник будет пролетать над входом шахты, в которую в этот момент будет брошено тело с нулевой начальной скоростью, то положение тела и проекция спутника будут определяться одинаковыми функциями времени. Оба эти объекта будут двигаться одинаково и одновременно достигнут противоположного отверстия шахты. Очевидно, что период обоих движений будет одинаков. Отсюда явствует, что в момент, когда тело проходит через центр шахты, его скорость равна скорости спутника. Значит, чтобы тело достигло поверхности Земли, его скорость в центре шахты должна равняться первой космической скорости, или скорости спутника, летящего вблизи поверхности Земли. Эта скорость примерно равна 7,9 км/с.
Таким образом, практически без расчетов мы получили ответы на вопросы (б) и (в), поставленные в условии задачи. Ответ на вопрос (а) был получен ранее. Теперь попытаемся ответить на вопрос (г). Если бы направление шахты не совпадало с направлением оси вращения Земли, то на тело в шахте помимо гравитационной силы действовала бы еще сила инерции: центробежная сила и сила Кориолиса. Влияние центробежной силы читатель без труда может определить сам. Сила Кориолиса не изучается в школьной программе, поэтому мы не будем ее рассматривать.
До сих пор мы рассматривали шахту, проходящую через центр Земли. Теперь представим себе, что в неподвижной (чтобы не принимать во внимание силы инерции) однородной Земле пробита шахта так, как показано на рис. Допустим, что движение тела в шахте происходит без трения. Интересно, что периоды движения тела в такой шахте и в шахте, проходящей через центр Земли, одинаковы. Доказательство этого факта не должно вызвать у читателя никаких затруднений. Итак, если бы мы построили туннель, соединяющий два пункта на поверхности Земли и пустили бы вагонетки, которые могли бы перемещаться в этом туннеле свободно и без трения, то время перемещения вагонетки из одного пункта в другой было бы равно половине периода обращения спутника (около 45 мин). Интересный факт! Жаль, что нет технической возможности построить подобный туннель.
Покажем теперь, что сферическая однородная оболочка не притягивает тело, помещенное внутри нее.
На рис. изображена такая сферическая материальная оболочка. Обозначенные здесь телесные углы с общими вершинами в точке Р составляют $\Delta \Omega$ каждый. Расстояние точки Р от поверхности, измеренное вдоль оси телесных углов, равно $r_{1}$ и $r_{2}$. Имеем
$\Delta S_{1} = \frac{ \Delta \Omega }{ \cos \alpha_{1} } r_{1}^{2}$
и
$\Delta S_{2} = \frac{ \Delta \Omega }{ \cos \alpha_{2} } r_{2}^{2}$
Массы элементарных поверхностей $\Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2}$ равны
$\Delta m_{1} = \sigma \Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2} = \sigma \Delta S_{2}$,
где $\sigma$ - масса, приходящаяся на единицу поверхности. Если в точке Р поместить точечную массу $m$, то массы $\Delta m_{1}$ и $\Delta m_{2}$ будут воздействовать на массу $m$ с силами
$\Delta F_{1} = \frac{Gm \sigma \Delta S_{1} }{r_{1}^{2} }$
и
$\Delta F_{2} = \frac{Gm \sigma \Delta S_{2} }{r_{2}^{2} }$
где $G$ - гравитационная постоянная.
Эти силы противоположно направлены, но равны по абсолютной величине: $\Delta S_{1}/r_{1}^{2} = \Delta S_{2}/ r_{2}^{2}$, так как $\alpha_{1} = \alpha_{2}$.
Равнодействующая сил $\Delta \vec{F}_{1}$ и $\Delta \vec{F}_{2}$ равна нулю. Такое же рассуждение можно провести для каждой пары одинаковых малых телесных углов с общими вершинами в точке Р. Отсюда следует, что полная сила, действующая на тело массой $m$, помещенное в точке Pf равна нулю. Это относится, очевидно, и к любой точке внутри рассматриваемой шаровой поверхности. Следовательно, внутри однородной материальной шаровой поверхности гравитационное поле отсутствует.
Рассмотрим теперь точку $Q$, находящуюся на расстоянии $r$ от центра однородного материального шара радиуса $R(r < R)$ и массой $M$ (рис.). Согласно сказанному выше, гравитационное поле от заштрихованной части шара равно нулю, поскольку эту часть можно считать системой концентрических материальных оболочек, а гравитационное воздействие каждой из таких оболочек равно нулю. Следовательно, на материальную точку, находящуюся в точке Q, действует гравитационная сила только со стороны незаштрихованной части шара. Таким образом, доказано предположение, сделанное в условии задачи. Нетрудно заметить, что наше доказательство имеет общий характер, и его можно применить не только в случае гравитационного взаимодействия, но и для других взаимодействий, убывающих пропорционально квадрату расстояния, например для электростатических взаимодействий. В случае электростатического взаимодействия это означает, что внутри равномерно заряженной шаровой поверхности нет электрического поля.
