Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9917
2018-11-09 
На тонкой легкой нити подвешен грузик, под тяжестью которого нить удлинилась на $\Delta x_{0} = 10 см$. Определить период малых вертикальных колебаний этого грузика после вывода его из положения равновесия, если известно, что сила, с которой нить действует на грузик, выражается формулой
$F = - k_{1} \Delta x - k_{2} ( \Delta x)^{3}$,
где $\Delta x$ - приращение длины нити, а коэффициенты $k_{1}$ и $k_{2}$ имеют значения: $k_{1} = 294 Н/м, k_{2} = 9800 Н/м^{3}$. Как изменится период колебаний, если изменить массу грузика?
Решение:
Введем величину $\xi$, характеризующую отклонение грузика от положения равновесия:
$\Delta x = \Delta x_{0} + \xi$.
На грузик действуют сила тяжести и сила упругости. Равнодействующая этих сил равна
$F = mg - k_{1} ( \Delta x_{0} + \xi) - k_{2} ( \Delta x_{0} + \xi)^{3} = mg - k_{1} \Delta x_{0} - k_{2} ( \Delta x_{0} )^{3} - [k_{1} + 2k_{2} ( \Delta x_{0} )^{2} ] \xi - 3k_{2} \Delta x_{0} \xi^{2} - k_{2} \xi^{3}$.
Согласно условию задачи, нас интересует весьма малое отклонение $\xi$. Поэтому членами, содержащими $\xi^{2}$ и $\xi^{3}$, можно пренебречь. Для состояния равновесия имеем
$mg = k_{1} \Delta x_{0} + k_{2} ( \Delta x_{0})^{3}$,
значит, силу $F$ можем записать в виде
$F = - [k_{1} + 3k_{2} ( \Delta x_{0})^{2}] \xi$.
Движение, совершаемое под действием такой силы, является гармоническим. Частота гармонических колебаний удовлетворяет условию $\omega^{2} = - (F/m)$, период равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k_{1} + 3k_{2} ( \Delta x_{0} )^{2} } }$,
где $m$ - масса тела, которая явно не задана, но ее нетрудно определить из условия равновесия, рассмотренного выше. Имеем
$m = \frac{k_{1} \Delta x_{0} + k_{2} ( \Delta x_{0} )^{2} }{g}$.
Окончательно выражение для периода принимает вид
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{k_{1} \Delta x_{0} + k_{2}( \Delta x_{0} )^{3} }{g[k_{1} + 3k_{2} ( \Delta x_{0} )^{2} ] } }$.
Подставив в это выражение численные значения величин, получаем $T = 0,52 с$.
Определим зависимость периода от массы грузика. Прежде всего отметим, что с увеличением массы $\Delta x_{0}$ возрастает (в состоянии равновесия).
Теперь найдем, каким образом период $T$ зависит от $\Delta x_{0}$. После несложных вычислений получим
$\frac{dT}{d( \Delta x_{0} )} = \frac{ \pi}{gT} \frac{k_{1}^{2} + 3k_{2}^{2} ( \Delta x_{0} )^{4} }{ [k_{1} + 3k_{2} ( \Delta x_{0} )^{2} ]^{2} } > 0$.
Это означает, что $T$ также возрастает с увеличением $\Delta x_{0}$. А поскольку $\Delta x_{0}$ является возрастающей функцией массы, то и период также возрастает с увеличением массы.
В заключение рассмотрим величины $k_{1}$ и $k_{2}$. Численное значение $k_{1}$ значительно меньше численного значения $k_{2}$. Казалось бы, что в выражении для силы член, содержащий $k_{1}$ можно опустить. Однако это не так. Читатель может легко убедиться, что если это сделать, то численное значение периода $T$ будет существенно отличаться от полученного ранее. Величины $k_{1}$ и $k_{2}$ нельзя просто сравнивать, ибо они несопоставимы. Если перейти к другим единицам измерения, то численное значение $k_{1}$ может быть значительно большим численного значения $k_{2}$.
Согласно условию задачи, требуется найти период малых колебаний грузика. Проанализируем, что это значит, воспользовавшись полным выражением для силы. Отбросим в нем члены $- 3k_{2} \Delta x_{0}^{2}$ и $- k_{2} \xi^{2}$, которые имеют ту же размерность, что и первый член, или $ - [k_{1} + 3k_{2}( \Delta x_{0})^{2}] \xi$. Указанные члены отброшены не потому, что $k_{2}$ мало, а потому, что они содержат очень малые величины $\xi^{2}$ и $\xi^{3}$, следовательно, они достаточно малы по сравнению с оставшимися членами и их влияние на конечный результат несущественно.
На тонкой легкой нити подвешен грузик, под тяжестью которого нить удлинилась на $\Delta x_{0} = 10 см$. Определить период малых вертикальных колебаний этого грузика после вывода его из положения равновесия, если известно, что сила, с которой нить действует на грузик, выражается формулой
$F = - k_{1} \Delta x - k_{2} ( \Delta x)^{3}$,
где $\Delta x$ - приращение длины нити, а коэффициенты $k_{1}$ и $k_{2}$ имеют значения: $k_{1} = 294 Н/м, k_{2} = 9800 Н/м^{3}$. Как изменится период колебаний, если изменить массу грузика?
Решение:
Введем величину $\xi$, характеризующую отклонение грузика от положения равновесия:
$\Delta x = \Delta x_{0} + \xi$.
На грузик действуют сила тяжести и сила упругости. Равнодействующая этих сил равна
$F = mg - k_{1} ( \Delta x_{0} + \xi) - k_{2} ( \Delta x_{0} + \xi)^{3} = mg - k_{1} \Delta x_{0} - k_{2} ( \Delta x_{0} )^{3} - [k_{1} + 2k_{2} ( \Delta x_{0} )^{2} ] \xi - 3k_{2} \Delta x_{0} \xi^{2} - k_{2} \xi^{3}$.
Согласно условию задачи, нас интересует весьма малое отклонение $\xi$. Поэтому членами, содержащими $\xi^{2}$ и $\xi^{3}$, можно пренебречь. Для состояния равновесия имеем
$mg = k_{1} \Delta x_{0} + k_{2} ( \Delta x_{0})^{3}$,
значит, силу $F$ можем записать в виде
$F = - [k_{1} + 3k_{2} ( \Delta x_{0})^{2}] \xi$.
Движение, совершаемое под действием такой силы, является гармоническим. Частота гармонических колебаний удовлетворяет условию $\omega^{2} = - (F/m)$, период равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k_{1} + 3k_{2} ( \Delta x_{0} )^{2} } }$,
где $m$ - масса тела, которая явно не задана, но ее нетрудно определить из условия равновесия, рассмотренного выше. Имеем
$m = \frac{k_{1} \Delta x_{0} + k_{2} ( \Delta x_{0} )^{2} }{g}$.
Окончательно выражение для периода принимает вид
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{k_{1} \Delta x_{0} + k_{2}( \Delta x_{0} )^{3} }{g[k_{1} + 3k_{2} ( \Delta x_{0} )^{2} ] } }$.
Подставив в это выражение численные значения величин, получаем $T = 0,52 с$.
Определим зависимость периода от массы грузика. Прежде всего отметим, что с увеличением массы $\Delta x_{0}$ возрастает (в состоянии равновесия).
Теперь найдем, каким образом период $T$ зависит от $\Delta x_{0}$. После несложных вычислений получим
$\frac{dT}{d( \Delta x_{0} )} = \frac{ \pi}{gT} \frac{k_{1}^{2} + 3k_{2}^{2} ( \Delta x_{0} )^{4} }{ [k_{1} + 3k_{2} ( \Delta x_{0} )^{2} ]^{2} } > 0$.
Это означает, что $T$ также возрастает с увеличением $\Delta x_{0}$. А поскольку $\Delta x_{0}$ является возрастающей функцией массы, то и период также возрастает с увеличением массы.
В заключение рассмотрим величины $k_{1}$ и $k_{2}$. Численное значение $k_{1}$ значительно меньше численного значения $k_{2}$. Казалось бы, что в выражении для силы член, содержащий $k_{1}$ можно опустить. Однако это не так. Читатель может легко убедиться, что если это сделать, то численное значение периода $T$ будет существенно отличаться от полученного ранее. Величины $k_{1}$ и $k_{2}$ нельзя просто сравнивать, ибо они несопоставимы. Если перейти к другим единицам измерения, то численное значение $k_{1}$ может быть значительно большим численного значения $k_{2}$.
Согласно условию задачи, требуется найти период малых колебаний грузика. Проанализируем, что это значит, воспользовавшись полным выражением для силы. Отбросим в нем члены $- 3k_{2} \Delta x_{0}^{2}$ и $- k_{2} \xi^{2}$, которые имеют ту же размерность, что и первый член, или $ - [k_{1} + 3k_{2}( \Delta x_{0})^{2}] \xi$. Указанные члены отброшены не потому, что $k_{2}$ мало, а потому, что они содержат очень малые величины $\xi^{2}$ и $\xi^{3}$, следовательно, они достаточно малы по сравнению с оставшимися членами и их влияние на конечный результат несущественно.
