Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9916
2018-11-09 
Два небольших тела с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ соединены однородной пружиной с коэффициентом упругости $k$ и положены на горизонтальный гладкий стол. Раздвигая оба тела, пружину растягивают, после чего тела одновременно отпускают. Система начинает колебаться вдоль прямой линии. Что это за колебания и каков их период?
Решение:
Система, рассматриваемая в задаче, является изолированной. Правда, на нее действуют внешние силы — сила тяжести и сила реакции стола, — но они взаимно уравновешивают друг друга. В горизонтальном направлении на систему не действуют никакие внешние силы, так как, согласно условию задачи, трением можно пренебречь.
Как известно, центр масс изолированной системы сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Вначале, т. е. в момент освобождения натянутой пружины, центр масс покоился, следовательно, он будет покоиться до тех пор, пока какие-либо внешние силы нс выведут его из этого состояния.
Поскольку центр масс остается неподвижным, удобнее рассматривать положение обоих тел относительно этой точки, как показано на рис. Точка ЦМ на рисунке соответствует центру масс. Силы, действующие на тела, обозначены через $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$. Согласно третьему закону Ньютона, на концы пружины действуют силы $- \vec{F}_{1}$ и $- \vec{F}_{2}$ результирующая их должна равняться нулю, поскольку в противном случае бесконечно легкая пружина должна получить бесконечно большое ускорение. Следовательно, имеем
$\vec{F}_{1} = - \vec{F}_{2}$.
Важно подчеркнуть, что это равенство связано с невесомостью пружины, а не является выводом из третьего закона Ньютона. Этот закон справедлив для двух взаимодействующих тел, а в нашем случае их больше, поскольку есть еще пружина. Но так как пружина невесома, ее можно не учитывать, а силы $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ трактовать как силы взаимодействия только двух тел, зависящие определенным образом от расстояния и подчиняющиеся третьему закону Ньютона.
Центр масс делит расстояние между телами в отношении, обратном их массам:
$\frac{x_{2} }{x_{1} } = \frac{m_{1} }{m_{2} }$.
Если бы пружина не была натянута, то величины $x_{1}$ и $x_{2}$ имели бы значения $x_{10}$ и $x_{20}$, определяемые уравнениями
$\frac{x_{20}}{x_{10} } = \frac{m_{1} }{m_{2} }$,
$x_{10} + x_{20} = l_{0}$,
где $l_{0}$ - длина ненатянутой пружины. Тогда
$x_{10} = \frac{l_{0} }{1 + \frac{m_{1} }{m_{2} } }, x_{20} = \frac{l_{0} }{1 + \frac{m_{2} }{m_{1} } }$,
Обозначив отклонения тел от положения равновесия через $\Delta x_{1}$ и $\Delta x_{2}$, получаем
$\Delta x_{1} = x_{1} - x_{10} = x_{1} - \frac{l_{0} }{1 + m_{1}/m_{2} }$,
$\Delta x_{2} = x_{2} - x_{20} = x_{2} - \frac{l_{0} }{1 + m_{2}/m_{1} }$,
Силы $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ по модулю равны $k(x_{1} + x_{2} - l_{0})$, что можно записать следующим образом:
$F_{1} = k (x_{1} + x_{2} - l_{0}) = k \left [ x_{1} \left (1 + \frac{m_{1} }{m_{2} } \right ) - l_{0} \right ] = k \left ( 1 + \frac{m_{1} }{m_{2} } \right ) \Delta x_{1}$,
$F_{2} = k (x_{1} + x_{2} - l_{0}) = k \left [ x_{2} \left (1 + \frac{m_{2} }{m_{1} } \right ) - l_{0} \right ] = k \left ( 1 + \frac{m_{2} }{m_{1} } \right ) \Delta x_{2}$,
Учитывая направления сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$, можем записать уравнения второго закона динамики для каждого тела. Имеем
$m_{1}a_{1} = - k \left ( 1 + \frac{m_{1} }{m_{2} } \right ) \Delta x_{1}$,
$m_{2}a_{2} = - k \left ( 1 + \frac{m_{2} }{m_{1} } \right ) \Delta x_{2}$,
где $a_{1}$ и $a_{2}$ - ускорения масс $m_{1}$ и $m_{2}$. Два независимых уравнения
$a_{1} = - k \left ( \frac{1}{m_{1} } + \frac{1}{m_{2} } \right ) \Delta x_{1}$,
$a_{2} = - k \left ( \frac{1}{m_{1} } + \frac{1}{m_{2} } \right ) \Delta x_{2}$,
описывают гармонические колебания. При гармоническом движении ускорение тел $a$ и отклонение тел от положения равновесия $x$ связаны соотношением
$a = - \omega^{2} \Delta x$,
где $\omega = 2 \pi/T$ ($T$ - период колебаний).
Пользуясь последним уравнением, нетрудно показать, что оба тела будут колебаться с одинаковым периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{ \mu}{k} }$,
где $\mu$ удовлетворяет равенству
$\frac{1}{ \mu} = \frac{1}{m_{1} } + \frac{1}{m_{2} }$.
Отмеченное выше равенство периодов колебаний обоих тел вполне понятно — в противном случае центр масс не мог бы находиться в состоянии покоя.
Период колебаний тела массой $m$, подвешенного на пружине с коэффициентом упругости $k$, равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$.
Видим, что величина $\mu$ играет роль массы. Она называется приведенной массой системы двух тел. Каждое из рассматриваемых тел колеблется с таким же периодом, как колебалось бы тело массой $\mu$, подвешенное на той же пружине с коэффициентом упругости $k$.
Поскольку начальные скорости обоих тел были равны нулю, то величины $\Delta x_{1}$ и $\Delta x_{2}$ изменяются по закону
$\Delta x_{1} = A \cos \frac{2 \pi}{T} t$,
$\Delta x_{2} = B \cos \frac{2 \pi}{T} t$,
$\Delta x_{1}$ и $\Delta x_{2}$ должны удовлетворять равенству
$\frac{x_{10} + \Delta x_{1} }{x_{20} + \Delta x_{2} } = \frac{m_{2} }{m_{1} }$,
или $\frac{ \Delta x_{1} }{ \Delta x_{2} } = \frac{m_{2} }{m_{1} }$,
поскольку $m_{1}x_{10} = m_{2}x_{20}$. Отсюда вытекает, что постоянные коэффициенты А и В, описывающие начальное отклонение тел от положения равновесия, связаны соотношением
$\frac{A}{B} = \frac{m_{2} }{m_{1} }$.
Следовательно, можно считать, что
$A = C \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} }$,
$B = C \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} }$,
где $C$ - постоянная, зависящая от степени растяжения пружины перед началом движения.
Теперь определим зависимость $x_{1}$ и $x_{2}$ от времени:
$x_{1} = x_{10} + \Delta x_{1} = \frac{m_{2}l_{0} }{m_{1} + m_{2} } + \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } C \cos \frac{2 \pi}{T} t$,
$x_{2} = x_{20} + \Delta x_{2} = \frac{m_{1}l_{0} }{m_{1} + m_{2} } + \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} } C \cos \frac{2 \pi}{T} t$,
Расстояние между телами равно сумме ($x_{1} + x_{2}$), а, значит,
$x = l_{0} + C \cos \frac{2 \pi}{T} t$.
Если начало системы связать с телом массой $m_{2}$, то в такой неинерциальной системе полученная величина $x$ описывала бы положение тела массой $m_{1}$. Очевидно, что изменение этой координаты или движение тела массой $m_{1}$ относительно тела массой $m_{2}$ аналогично движению тела с приведенной массой $\mu$ под действием реальной силы, действующей между телами (т. е. без введения «фиктивных» сил инерции) в инерциальной системе, связанной, например, с центром масс. Введение приведенной массы упрощает решение, позволяя заменить рассмотрение двух независимых движений тел $m_{1}$ и $m_{2}$ относительно центра масс рассмотрением одного движения тела массой $\mu$, совершаемого под действием реальной силы. Это утверждение справедливо для любой пары взаимодействующих тел.
Два небольших тела с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ соединены однородной пружиной с коэффициентом упругости $k$ и положены на горизонтальный гладкий стол. Раздвигая оба тела, пружину растягивают, после чего тела одновременно отпускают. Система начинает колебаться вдоль прямой линии. Что это за колебания и каков их период?
Решение:
Система, рассматриваемая в задаче, является изолированной. Правда, на нее действуют внешние силы — сила тяжести и сила реакции стола, — но они взаимно уравновешивают друг друга. В горизонтальном направлении на систему не действуют никакие внешние силы, так как, согласно условию задачи, трением можно пренебречь.
Как известно, центр масс изолированной системы сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Вначале, т. е. в момент освобождения натянутой пружины, центр масс покоился, следовательно, он будет покоиться до тех пор, пока какие-либо внешние силы нс выведут его из этого состояния.
Поскольку центр масс остается неподвижным, удобнее рассматривать положение обоих тел относительно этой точки, как показано на рис. Точка ЦМ на рисунке соответствует центру масс. Силы, действующие на тела, обозначены через $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$. Согласно третьему закону Ньютона, на концы пружины действуют силы $- \vec{F}_{1}$ и $- \vec{F}_{2}$ результирующая их должна равняться нулю, поскольку в противном случае бесконечно легкая пружина должна получить бесконечно большое ускорение. Следовательно, имеем
$\vec{F}_{1} = - \vec{F}_{2}$.
Важно подчеркнуть, что это равенство связано с невесомостью пружины, а не является выводом из третьего закона Ньютона. Этот закон справедлив для двух взаимодействующих тел, а в нашем случае их больше, поскольку есть еще пружина. Но так как пружина невесома, ее можно не учитывать, а силы $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ трактовать как силы взаимодействия только двух тел, зависящие определенным образом от расстояния и подчиняющиеся третьему закону Ньютона.
Центр масс делит расстояние между телами в отношении, обратном их массам:
$\frac{x_{2} }{x_{1} } = \frac{m_{1} }{m_{2} }$.
Если бы пружина не была натянута, то величины $x_{1}$ и $x_{2}$ имели бы значения $x_{10}$ и $x_{20}$, определяемые уравнениями
$\frac{x_{20}}{x_{10} } = \frac{m_{1} }{m_{2} }$,
$x_{10} + x_{20} = l_{0}$,
где $l_{0}$ - длина ненатянутой пружины. Тогда
$x_{10} = \frac{l_{0} }{1 + \frac{m_{1} }{m_{2} } }, x_{20} = \frac{l_{0} }{1 + \frac{m_{2} }{m_{1} } }$,
Обозначив отклонения тел от положения равновесия через $\Delta x_{1}$ и $\Delta x_{2}$, получаем
$\Delta x_{1} = x_{1} - x_{10} = x_{1} - \frac{l_{0} }{1 + m_{1}/m_{2} }$,
$\Delta x_{2} = x_{2} - x_{20} = x_{2} - \frac{l_{0} }{1 + m_{2}/m_{1} }$,
Силы $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ по модулю равны $k(x_{1} + x_{2} - l_{0})$, что можно записать следующим образом:
$F_{1} = k (x_{1} + x_{2} - l_{0}) = k \left [ x_{1} \left (1 + \frac{m_{1} }{m_{2} } \right ) - l_{0} \right ] = k \left ( 1 + \frac{m_{1} }{m_{2} } \right ) \Delta x_{1}$,
$F_{2} = k (x_{1} + x_{2} - l_{0}) = k \left [ x_{2} \left (1 + \frac{m_{2} }{m_{1} } \right ) - l_{0} \right ] = k \left ( 1 + \frac{m_{2} }{m_{1} } \right ) \Delta x_{2}$,
Учитывая направления сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$, можем записать уравнения второго закона динамики для каждого тела. Имеем
$m_{1}a_{1} = - k \left ( 1 + \frac{m_{1} }{m_{2} } \right ) \Delta x_{1}$,
$m_{2}a_{2} = - k \left ( 1 + \frac{m_{2} }{m_{1} } \right ) \Delta x_{2}$,
где $a_{1}$ и $a_{2}$ - ускорения масс $m_{1}$ и $m_{2}$. Два независимых уравнения
$a_{1} = - k \left ( \frac{1}{m_{1} } + \frac{1}{m_{2} } \right ) \Delta x_{1}$,
$a_{2} = - k \left ( \frac{1}{m_{1} } + \frac{1}{m_{2} } \right ) \Delta x_{2}$,
описывают гармонические колебания. При гармоническом движении ускорение тел $a$ и отклонение тел от положения равновесия $x$ связаны соотношением
$a = - \omega^{2} \Delta x$,
где $\omega = 2 \pi/T$ ($T$ - период колебаний).
Пользуясь последним уравнением, нетрудно показать, что оба тела будут колебаться с одинаковым периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{ \mu}{k} }$,
где $\mu$ удовлетворяет равенству
$\frac{1}{ \mu} = \frac{1}{m_{1} } + \frac{1}{m_{2} }$.
Отмеченное выше равенство периодов колебаний обоих тел вполне понятно — в противном случае центр масс не мог бы находиться в состоянии покоя.
Период колебаний тела массой $m$, подвешенного на пружине с коэффициентом упругости $k$, равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$.
Видим, что величина $\mu$ играет роль массы. Она называется приведенной массой системы двух тел. Каждое из рассматриваемых тел колеблется с таким же периодом, как колебалось бы тело массой $\mu$, подвешенное на той же пружине с коэффициентом упругости $k$.
Поскольку начальные скорости обоих тел были равны нулю, то величины $\Delta x_{1}$ и $\Delta x_{2}$ изменяются по закону
$\Delta x_{1} = A \cos \frac{2 \pi}{T} t$,
$\Delta x_{2} = B \cos \frac{2 \pi}{T} t$,
$\Delta x_{1}$ и $\Delta x_{2}$ должны удовлетворять равенству
$\frac{x_{10} + \Delta x_{1} }{x_{20} + \Delta x_{2} } = \frac{m_{2} }{m_{1} }$,
или $\frac{ \Delta x_{1} }{ \Delta x_{2} } = \frac{m_{2} }{m_{1} }$,
поскольку $m_{1}x_{10} = m_{2}x_{20}$. Отсюда вытекает, что постоянные коэффициенты А и В, описывающие начальное отклонение тел от положения равновесия, связаны соотношением
$\frac{A}{B} = \frac{m_{2} }{m_{1} }$.
Следовательно, можно считать, что
$A = C \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} }$,
$B = C \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} }$,
где $C$ - постоянная, зависящая от степени растяжения пружины перед началом движения.
Теперь определим зависимость $x_{1}$ и $x_{2}$ от времени:
$x_{1} = x_{10} + \Delta x_{1} = \frac{m_{2}l_{0} }{m_{1} + m_{2} } + \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } C \cos \frac{2 \pi}{T} t$,
$x_{2} = x_{20} + \Delta x_{2} = \frac{m_{1}l_{0} }{m_{1} + m_{2} } + \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} } C \cos \frac{2 \pi}{T} t$,
Расстояние между телами равно сумме ($x_{1} + x_{2}$), а, значит,
$x = l_{0} + C \cos \frac{2 \pi}{T} t$.
Если начало системы связать с телом массой $m_{2}$, то в такой неинерциальной системе полученная величина $x$ описывала бы положение тела массой $m_{1}$. Очевидно, что изменение этой координаты или движение тела массой $m_{1}$ относительно тела массой $m_{2}$ аналогично движению тела с приведенной массой $\mu$ под действием реальной силы, действующей между телами (т. е. без введения «фиктивных» сил инерции) в инерциальной системе, связанной, например, с центром масс. Введение приведенной массы упрощает решение, позволяя заменить рассмотрение двух независимых движений тел $m_{1}$ и $m_{2}$ относительно центра масс рассмотрением одного движения тела массой $\mu$, совершаемого под действием реальной силы. Это утверждение справедливо для любой пары взаимодействующих тел.
