Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9915
2018-11-09 
Два параллельных одинаковых валика вращаются с равными скоростями в направлениях, показанных на рис. На валики горизонтально положена доска весом $P$, центр которой несколько смещен относительно середины расстояния между валиками. Расстояние между осями валиков равно $2l$. Коэффициент трения между валиками и доской равен $f$. Как движется доска? Вывод обосновать вычислениями.
Решение:
Сначала рассмотрим случай, когда доска положена так, что ее центр тяжести находится в плоскости $\sigma$ (рис.), равноудаленной от валиков. В этом случае давление на оба валика одинаково, а силы трения в точках соприкосновения равны по величине, но противоположно направлены, следовательно горизонтальная результирующая Сил, действующих на доску, равна нулю, т. е. рассматриваемое положение является положением равновесия доски,
Предположим теперь, что центр тяжести доски смещен относительно плоскости $\sigma$ на некоторое расстояние $x$. Определим вертикальные силы, действующие на валики со стороны доски:
$P_{1} + P_{2} = mg$ (сумма сил $P_{1}$ и $P_{2}$ должна быть равна весу доски),
$P_{1}(l - x) - P_{2}(l + x) = 0$ (сумма моментов сил $P_{1}$ и $P_{2}$ должна быть равна нулю; для удобства мы рассматриваем моменты относительно центра тяжести доски).
Решая полученную систему уравнений, находим
$P_{1} = mg \frac{l + x}{2l}$,
$P_{2} = mg \frac{l - x}{2l}$.
Доска все время скользит по валикам. Значит, силы $T_{1}$ и $T_{2}$, действующие на доску, есть силы трения скольжения. Они равны произведению коэффициента трения $f$ на давление валиков на доску, которые численно равны $P_{1}$ и $P_{2}$ (по третьему закону Ньютона), давление валиков на доску равно соответственно $- P_{1}$ и $- P_{2}$. Следовательно, имеем:
$T_{1} = fP_{1} = fmg \frac{l + x}{2l}$,
$T_{2} = fP_{2} = fmg \frac{l - x}{2l}$.
В горизонтальном направлении на доску действует сила
$F = T_{2} - T_{1} = - \frac{fmg}{l} x$.
Эта сила направлена к плоскости $\sigma$ и пропорциональна отклонению доски от положения равновесия, следовательно, доска будет совершать гармонические колебания. Ускорение доски в горизонтальном направлении равно
$a = \frac{F}{M} = - \frac{fg}{l}x$.
При гармоническом движении выполняется равенство
$a = - \omega^{2} x$,
где $\omega = 2 \pi /T$. Значит
$\frac{fg}{l} = \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2}$
Период колебаний доски равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{fg} }$.
Важно отметить, что период не зависит от веса доски и угловых скоростей валиков. Угловые скорости валиков могут быть разными и даже меняться во времени. Важно лишь, чтобы направление вращения валиков было таким, как показано на рисунке, в противном случае не выполнялось бы условие изменения знака сил трения, как это имеет место в рассматриваемой задаче.
Два параллельных одинаковых валика вращаются с равными скоростями в направлениях, показанных на рис. На валики горизонтально положена доска весом $P$, центр которой несколько смещен относительно середины расстояния между валиками. Расстояние между осями валиков равно $2l$. Коэффициент трения между валиками и доской равен $f$. Как движется доска? Вывод обосновать вычислениями.
Решение:
Сначала рассмотрим случай, когда доска положена так, что ее центр тяжести находится в плоскости $\sigma$ (рис.), равноудаленной от валиков. В этом случае давление на оба валика одинаково, а силы трения в точках соприкосновения равны по величине, но противоположно направлены, следовательно горизонтальная результирующая Сил, действующих на доску, равна нулю, т. е. рассматриваемое положение является положением равновесия доски,
Предположим теперь, что центр тяжести доски смещен относительно плоскости $\sigma$ на некоторое расстояние $x$. Определим вертикальные силы, действующие на валики со стороны доски:
$P_{1} + P_{2} = mg$ (сумма сил $P_{1}$ и $P_{2}$ должна быть равна весу доски),
$P_{1}(l - x) - P_{2}(l + x) = 0$ (сумма моментов сил $P_{1}$ и $P_{2}$ должна быть равна нулю; для удобства мы рассматриваем моменты относительно центра тяжести доски).
Решая полученную систему уравнений, находим
$P_{1} = mg \frac{l + x}{2l}$,
$P_{2} = mg \frac{l - x}{2l}$.
Доска все время скользит по валикам. Значит, силы $T_{1}$ и $T_{2}$, действующие на доску, есть силы трения скольжения. Они равны произведению коэффициента трения $f$ на давление валиков на доску, которые численно равны $P_{1}$ и $P_{2}$ (по третьему закону Ньютона), давление валиков на доску равно соответственно $- P_{1}$ и $- P_{2}$. Следовательно, имеем:
$T_{1} = fP_{1} = fmg \frac{l + x}{2l}$,
$T_{2} = fP_{2} = fmg \frac{l - x}{2l}$.
В горизонтальном направлении на доску действует сила
$F = T_{2} - T_{1} = - \frac{fmg}{l} x$.
Эта сила направлена к плоскости $\sigma$ и пропорциональна отклонению доски от положения равновесия, следовательно, доска будет совершать гармонические колебания. Ускорение доски в горизонтальном направлении равно
$a = \frac{F}{M} = - \frac{fg}{l}x$.
При гармоническом движении выполняется равенство
$a = - \omega^{2} x$,
где $\omega = 2 \pi /T$. Значит
$\frac{fg}{l} = \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2}$
Период колебаний доски равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{fg} }$.
Важно отметить, что период не зависит от веса доски и угловых скоростей валиков. Угловые скорости валиков могут быть разными и даже меняться во времени. Важно лишь, чтобы направление вращения валиков было таким, как показано на рисунке, в противном случае не выполнялось бы условие изменения знака сил трения, как это имеет место в рассматриваемой задаче.
