Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9914
2018-11-09 
Имеется контур, составленный из конденсатора емкостью $C$ (вначале незаряженного), катушки индуктивности $L$ с активным сопротивлением $R = 0$ и батареи источников э. д. с. $\mathcal{E}$ с ничтожно малым внутренним сопротивлением, подключенной через неоновую лампу Л (рис.). Неоновая лампа ведет себя как изолятор, когда напряжение на ее зажимах меньше напряжения зажигания $U_{заж}$. При превышении напряжения зажигания через лампу очень быстро происходит разряд конденсатора, в результате напряжение на лампе падает до напряжения гашения $U_{гaш}$, и она снова перестает проводить электрический ток. Время разряда конденсатора через неоновую лампу так мало, что изменением тока в катушке за этот период можно пренебречь.
Доказать, что при значениях $\mathcal{E} = 34 В, U_{зaж} = 64 В, U_{гаш} = 22 В$ при замыкании ключа К неоновая лампа вспыхнет только один раз. Чему будет равно после этого напряжение на конденсаторе?
Указание. При решении имеет смысл воспользоваться электромеханической аналогией, приведенной в предыдущей задаче.
Решение:
При решении воспользуемся электромеханической аналогией, установленной в задаче 9913. Заметим, что, за исключением момента свечения неоновой лампочки, эта система ведет себя как груз массой $L$, закрепленный на конце пружины с коэффициентом упругости $1/C$, причем на груз действует внешняя сила $\mathcal{E}$. Далее легко заметить, что состоянию равновесия механической системы соответствует состояние, в котором заряд на конденсаторе равен $C \mathcal{E}$, а сила тока равна нулю. В начальный момент ток в контуре $I_{0} = 0$, а конденсатор не заряжен — его заряд, следовательно, отличен от заряда в состоянии равновесия. В предыдущей задаче мы установили, что в такой системе будут происходить гармонические колебания, описываемые уравнением
$(Q - C \mathcal{E}) = A \cos ( \omega t + \phi_{0})$,
где
$\omega = \frac{1}{ \sqrt{LC} }$.
Период этих колебаний равен
$T = 2 \pi \sqrt{LC}$.
Из начальных условий следует, что
$A = - C \mathcal{E}, \phi_{0} = 0$.
Отсюда
$Q = C \mathcal{E} - C \mathcal{E} \cos \omega t$.
Ток определяем как производную от $Q$ по времени:
$I = C \mathcal{E} \omega \sin \omega t$.
Напряжение на конденсаторе равно
$U = \frac{Q}{C}$,
или
$U = \mathcal{E} - \mathcal{E} \cos \omega t$.
Напряжение на конденсаторе такое же, как и на неоновой лампе.
До сих пор мы рассматривали ситуацию до зажигания лампочки. Очевидно, что напряжение на неоновой лампочке изменялось бы по синусоидальному закону, как показано на рис. Если бы лампа не загоралась, то по истечении полупериода $T/2 = \pi \sqrt{LC}$ напряжение на конденсаторе достигало бы значения $2 \mathcal{E} = 68 В$. Однако этого не происходит, потому что при достижении $U_{заж} = 64 В$ напряжение на конденсаторе скачком уменьшается до величины $U_{гаш} = 22 В$. На графике этот скачок представлен вертикальным отрезком.
После выключения неоновой лампы ситуация вновь оказывается такой же, как вначале. Напряжение на конденсаторе и сила тока в контуре будут изменяться по синусоидальному закону около положения равно* весия, но начальные условия теперь будут иными: амплитуда и фазы начальных колебаний теперь могут быть другими, чем первоначальные.
Определим силу тока $I^{ \prime}$ в контуре в момент, когда напряжение на конденсаторе достигает значения $U_{заж} = 64 В$. Используя электромеханическую аналогию, получаем, что если система совершает свободные колебания (а именно такую ситуацию мы имеем до и после зажигания неоновой лампы), то по закону сохранения энергии выражение
$\frac{1}{2}kx^{2} + \frac{1}{2}mv^{2}$,
или его аналог для электрической системы
$\frac{1}{2} \frac{1}{C}(Q - \mathcal{E}C)^{2} + \frac{1}{2} LI^{2}$,
должно иметь постоянную величину. Следовательно,
$\frac{1}{2C} (CU_{заж} - \mathcal{E}C )^{2} + \frac{1}{2} LI^{ \prime 2} = \frac{1}{2C} (Q_{0} - \mathcal{E} C )^{2} + \frac{1}{2} LI_{0}^{2}$,
где $Q_{0}$ и $I_{0}$ - соответственно заряд и сила тока в момент $t = 0$:
$Q_{0} = 0, I_{0} = 0$.
Тогда
$I^{ \prime} = \{ \frac{C}{L} [ \mathcal{E}^{2} - ( U_{заж} - \mathcal{E})^{2}] \}^{1/2}$.
Рассмотрим теперь состояние системы после вспыхивания неоновой лампы. Пусть $U_{m}$ означает напряжение на конденсаторе в момент, когда ток равен нулю. Очевидно, после погашения лампы величина
$\frac{1}{2} \frac{1}{C} (Q - \mathcal{E}C )^{2} + \frac{1}{2} LI^{2}$
снова должна быть постоянной. Следовательно,
$\frac{1}{2C} (CU_{заж} - \mathcal{E}C )^{2} + \frac{1}{2} LI^{ \prime 2} = \frac{1}{2C} (Q_{0} - \mathcal{E}C )^{2} + \frac{1}{2} LI_{0}^{2}$,
Тогда
$I^{ \prime} = \left \{ \frac{C}{L} [ (U_{m} - \mathcal{E})^{2} - ( U_{гаш} - \mathcal{E} )^{2} ] \right \}^{1/2}$.
При сравнении обоих выражений для $I^{ \prime}$ (ток в ка* тушке индуктивности не может измениться за очень малое время горения неоновой лампы) получаем
$\mathcal{E}^{2} (U_{заж} - \mathcal{E})^{2} = (U_{m} - \mathcal{E})^{2} - (U_{гаш} - \mathcal{E} )^{2}$.
Из этого уравнения определим $U_{m}$. Очевидно, что уравнение имеет два решения, поскольку, когда лампа гаснет, система совершает гармонические колебания, которым при нулевом токе соответствуют максимальное и минимальное напряжения на конденсаторе:
$U_{m} = \mathcal{E} \pm [ \mathcal{E}^{2} + ( U_{гаш} - \mathcal{E})^{2} - (U_{заж} - \mathcal{E})^{2} ]^{1/2}$.
Подставляя численные значения величин, находим
$U_{m} = (34 \pm 20) B$.
Мы видим, что, когда неоновая лампа гаснет, напряжение на конденсаторе может изменяться от 34 В - 20 В = 14 В до 34 В + 20 В = 54 В, т. е. оно ни разу не достигает значения, при котором лампа может вновь загореться. Вид функции $U(t)$ показан на рис. Функция $I(t)$ представлена на рис.
Имеется контур, составленный из конденсатора емкостью $C$ (вначале незаряженного), катушки индуктивности $L$ с активным сопротивлением $R = 0$ и батареи источников э. д. с. $\mathcal{E}$ с ничтожно малым внутренним сопротивлением, подключенной через неоновую лампу Л (рис.). Неоновая лампа ведет себя как изолятор, когда напряжение на ее зажимах меньше напряжения зажигания $U_{заж}$. При превышении напряжения зажигания через лампу очень быстро происходит разряд конденсатора, в результате напряжение на лампе падает до напряжения гашения $U_{гaш}$, и она снова перестает проводить электрический ток. Время разряда конденсатора через неоновую лампу так мало, что изменением тока в катушке за этот период можно пренебречь.
Доказать, что при значениях $\mathcal{E} = 34 В, U_{зaж} = 64 В, U_{гаш} = 22 В$ при замыкании ключа К неоновая лампа вспыхнет только один раз. Чему будет равно после этого напряжение на конденсаторе?
Указание. При решении имеет смысл воспользоваться электромеханической аналогией, приведенной в предыдущей задаче.
Решение:
При решении воспользуемся электромеханической аналогией, установленной в задаче 9913. Заметим, что, за исключением момента свечения неоновой лампочки, эта система ведет себя как груз массой $L$, закрепленный на конце пружины с коэффициентом упругости $1/C$, причем на груз действует внешняя сила $\mathcal{E}$. Далее легко заметить, что состоянию равновесия механической системы соответствует состояние, в котором заряд на конденсаторе равен $C \mathcal{E}$, а сила тока равна нулю. В начальный момент ток в контуре $I_{0} = 0$, а конденсатор не заряжен — его заряд, следовательно, отличен от заряда в состоянии равновесия. В предыдущей задаче мы установили, что в такой системе будут происходить гармонические колебания, описываемые уравнением
$(Q - C \mathcal{E}) = A \cos ( \omega t + \phi_{0})$,
где
$\omega = \frac{1}{ \sqrt{LC} }$.
Период этих колебаний равен
$T = 2 \pi \sqrt{LC}$.
Из начальных условий следует, что
$A = - C \mathcal{E}, \phi_{0} = 0$.
Отсюда
$Q = C \mathcal{E} - C \mathcal{E} \cos \omega t$.
Ток определяем как производную от $Q$ по времени:
$I = C \mathcal{E} \omega \sin \omega t$.
Напряжение на конденсаторе равно
$U = \frac{Q}{C}$,
или
$U = \mathcal{E} - \mathcal{E} \cos \omega t$.
Напряжение на конденсаторе такое же, как и на неоновой лампе.
До сих пор мы рассматривали ситуацию до зажигания лампочки. Очевидно, что напряжение на неоновой лампочке изменялось бы по синусоидальному закону, как показано на рис. Если бы лампа не загоралась, то по истечении полупериода $T/2 = \pi \sqrt{LC}$ напряжение на конденсаторе достигало бы значения $2 \mathcal{E} = 68 В$. Однако этого не происходит, потому что при достижении $U_{заж} = 64 В$ напряжение на конденсаторе скачком уменьшается до величины $U_{гаш} = 22 В$. На графике этот скачок представлен вертикальным отрезком.
После выключения неоновой лампы ситуация вновь оказывается такой же, как вначале. Напряжение на конденсаторе и сила тока в контуре будут изменяться по синусоидальному закону около положения равно* весия, но начальные условия теперь будут иными: амплитуда и фазы начальных колебаний теперь могут быть другими, чем первоначальные.
Определим силу тока $I^{ \prime}$ в контуре в момент, когда напряжение на конденсаторе достигает значения $U_{заж} = 64 В$. Используя электромеханическую аналогию, получаем, что если система совершает свободные колебания (а именно такую ситуацию мы имеем до и после зажигания неоновой лампы), то по закону сохранения энергии выражение
$\frac{1}{2}kx^{2} + \frac{1}{2}mv^{2}$,
или его аналог для электрической системы
$\frac{1}{2} \frac{1}{C}(Q - \mathcal{E}C)^{2} + \frac{1}{2} LI^{2}$,
должно иметь постоянную величину. Следовательно,
$\frac{1}{2C} (CU_{заж} - \mathcal{E}C )^{2} + \frac{1}{2} LI^{ \prime 2} = \frac{1}{2C} (Q_{0} - \mathcal{E} C )^{2} + \frac{1}{2} LI_{0}^{2}$,
где $Q_{0}$ и $I_{0}$ - соответственно заряд и сила тока в момент $t = 0$:
$Q_{0} = 0, I_{0} = 0$.
Тогда
$I^{ \prime} = \{ \frac{C}{L} [ \mathcal{E}^{2} - ( U_{заж} - \mathcal{E})^{2}] \}^{1/2}$.
Рассмотрим теперь состояние системы после вспыхивания неоновой лампы. Пусть $U_{m}$ означает напряжение на конденсаторе в момент, когда ток равен нулю. Очевидно, после погашения лампы величина
$\frac{1}{2} \frac{1}{C} (Q - \mathcal{E}C )^{2} + \frac{1}{2} LI^{2}$
снова должна быть постоянной. Следовательно,
$\frac{1}{2C} (CU_{заж} - \mathcal{E}C )^{2} + \frac{1}{2} LI^{ \prime 2} = \frac{1}{2C} (Q_{0} - \mathcal{E}C )^{2} + \frac{1}{2} LI_{0}^{2}$,
Тогда
$I^{ \prime} = \left \{ \frac{C}{L} [ (U_{m} - \mathcal{E})^{2} - ( U_{гаш} - \mathcal{E} )^{2} ] \right \}^{1/2}$.
При сравнении обоих выражений для $I^{ \prime}$ (ток в ка* тушке индуктивности не может измениться за очень малое время горения неоновой лампы) получаем
$\mathcal{E}^{2} (U_{заж} - \mathcal{E})^{2} = (U_{m} - \mathcal{E})^{2} - (U_{гаш} - \mathcal{E} )^{2}$.
Из этого уравнения определим $U_{m}$. Очевидно, что уравнение имеет два решения, поскольку, когда лампа гаснет, система совершает гармонические колебания, которым при нулевом токе соответствуют максимальное и минимальное напряжения на конденсаторе:
$U_{m} = \mathcal{E} \pm [ \mathcal{E}^{2} + ( U_{гаш} - \mathcal{E})^{2} - (U_{заж} - \mathcal{E})^{2} ]^{1/2}$.
Подставляя численные значения величин, находим
$U_{m} = (34 \pm 20) B$.
Мы видим, что, когда неоновая лампа гаснет, напряжение на конденсаторе может изменяться от 34 В - 20 В = 14 В до 34 В + 20 В = 54 В, т. е. оно ни разу не достигает значения, при котором лампа может вновь загореться. Вид функции $U(t)$ показан на рис. Функция $I(t)$ представлена на рис.
