Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9913
2018-11-09 
Если сила есть функция координаты, то с математической точки зрения второй закон механики Ньютона устанавливает связь между ускорением (второй производной координаты по времени) действующей силой и массой.
Аналогичные уравнения могут возникать и в задачах немеханического типа.
Рассмотрим контур, состоящий из конденсатора емкостью $C$ (в начальный момент его заряд равен $q$) и катушки с индуктивностью $L$. Мгновенное значение тока можно определить по скорости изменения заряда $Q$ на обкладке конденсатора. В свою очередь э. д. с. самоиндукции простым образом выражается через скорость изменения тока. Если выразить напряжение на конденсаторе через заряд $Q$ и воспользоваться соответствующим законом Кирхгофа для контура, не имеющего активного сопротивления, то можно получить связь между «ускорением» заряда и самим зарядом. Пользуясь теперь механическими аналогами, ответьте на следующие вопросы:
а. По какому закону сила тока зависит от времени?
б. Чему равен период колебания контура?
в. Какова максимальная величина силы тока?
г. Можно ли провести аналогию между резистором $R$ (включенным в контур последовательно с индуктивностью $L$) и некой дополнительной силой (какой?) в соответствующей задаче механики?
д. Можно ли этим же методом определить зависимость силы тока от времени в контуре, состоящем из источника тока с постоянной э. д. с. и ничтожно малым внутренним сопротивлением, подключенного к катушке с индуктивностью $L$?
Решение:
Рассмотрим электрический контур, показанный на рис. а. Пусть $q$ и $i$ означают соответственно заряд на конденсаторе и силу тока в момент $t = 0$, a $Q$
и $I$ - заряд и ток в момент $t$. В системе нет внешнего источника тока. Как следует из второго закона Кирхгофа, сумма напряжений на конденсаторе и катушке должна равняться нулю:
$L \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} Q = 0$,
но $I = \frac{dQ}{dt}$.
Значит,
$L \frac{d^{2} Q }{dt^{2} } = - \frac{1}{C} Q$. (1)
Мы получили дифференциальное уравнение, которое при известных $L$ и $C$ можно решить и получить зависимость $Q(t)$, т. е. определить, каким образом заряд конденсатора изменяется со временем.
Мы видим, что «ускорение» заряда, или его вторая производная по времени, пропорционально самому заряду. Подобная ситуация имеет место в механике шэи описании гармонического движения. При гармонических колебаниях вторая производная отклонения тела (ускорение) от положения равновесия пропорциональна отклонению. Например, для шарика массой $m$ (рис. б), привязанного к закрепленной одним концом невесомой пружине, имеющей коэффициент упругости $k$ и лежащей на горизонтальном гладком столе, имеем
$m \vec{a} = - k \vec{x}$,
где $\vec{a}$ - ускорение шарика, $\vec{x}$ - его отклонение от положения равновесия. Знак минус в правой части уравнения означает, что ускорение и отклонение направлены в противоположные стороны. Будем считать, что колебания совершаются вдоль одной оси, например вдоль оси х. Тогда скорость шарика $v$ определяется формулой $v = dx/dt$, а ускорение $a = dv/dt$. Тогда можно записать
$m \frac{d^{2} x }{dt^{2} } = - kx$. (2)
Это дифференциальное уравнение, из которого, зная $m$ и $k$, можно определить функцию $x(t)$, иными словами, зависимость отклонения от времени.
Уравнения (1) и (2), несмотря на различия входящих в них параметров, одинаковы. Если взять решение одного из них и заменить одни параметры соответствующими параметрами, которые введены во втором уравнении, то получим решение второго уравнения. Именно так должно быть, поскольку ход решения уравнения не зависит от того, какими буквами обозначены входящие в него величины. Установим теперь соответствие между величинами, входящими в эти два уравнения. Очевидно, что массе $m$ можно сопоставить индуктивность $L$, коэффициенту упругости $k$ - величину, обратную емкости $1/C$, а отклонению $x$ - заряд $Q$. Далее посмотрим, какие еще механические величины, не входящие непосредственно в уравнение (2), можно сопоставить электрическим.
Скорость определяем как производную координаты ло времени:
$v = \frac{dx}{dt}$.
Согласно установленному соответствию, $x$ переходит в $Q$, a $t$ не изменяется. Значит,
$v = \frac{dx}{dt} \rightarrow \frac{dQ}{dt } = I$.
Электрическая величина, соответствующая скорости, — это сила тока.
Кинетическая энергия шарика равна
$E_{к} = \frac{1}{2} mv^{2}$.
Поскольку при замене механической системы ее электрическим аналогом $m \rightarrow L$, a $v \rightarrow I$, можно записать
$E_{к} = \frac{1}{2} mv^{2} \rightarrow \frac{1}{2}LI^{2} = E_{L}$.
Следовательно, кинетической энергии шарика соответствует энергия, накопленная в катушке, через которую проходит ток.
Аналогично потенциальной энергии натянутой пружины соответствует энергия, которой обладает заряженный конденсатор:
$E_{п} = \frac{1}{2} kx^{2} \rightarrow \frac{1}{2} \frac{Q^{2} }{C^{2} } = E_{C}$.
Теперь рассмотрим дифференциальное уравнение (2). Школьная программа не включает дифференциальных уравнений, но окончательное решение этого уравнения, зависимость $x(t)$ при гармоническом движении, приводится в школьном курсе:
$x(t) = x_{0} \sin \left ( \frac{2 \pi}{T} t + \phi_{0} \right )$
где $x_{0}$ — амплитуда колебаний, или величина наибольшего отклонения, $T$ - период колебаний, $\phi_{0}$ - начальная фаза, или величина аргумента функции в момент $t = 0$. Обычно, чтобы избавиться от дроби, вводится величина $\omega$, равная $2 \pi/T$. Тогда
$x (t) = x_{0} \sin ( \omega t + \phi_{0})$. (3)
Для шарика, колеблющегося на пружине,
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }, \omega = \sqrt{ \frac{k}{m} }$.
Как в таком случае изменяется скорость шарика? Как мы уже говорили, скорость $v = dx/dt$. Тогда, дифференцируя уравнение (3), получаем
$v(t) = x_{0} \omega \cos ( \omega t + \phi_{0} )$.
Скорость имеет наибольшую абсолютную величину $v_{max}$, когда $\cos = \pm 1$ (при этом $x = 0$), следовательно
$v_{max} = x_{0} \omega$.
Теперь посмотрим, чему эквивалентно последнее выражение при переходе от механической системы к электрической.
Отметим, что $Q$ изменяется по закону
$Q(t) = Q_{0} \sin ( \omega t + \phi_{0} )$,
где $\omega = 2 \pi /T$. $|Q_{0}|$ - наибольшая величина заряда на конденсаторе. Поскольку при замене механической системы электрической $m \rightarrow L$, a $k \rightarrow 1/C$, то
$\omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } \rightarrow \frac{1}{ \sqrt{LC} }$,
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } \rightarrow 2 \pi \sqrt{LC}$.
Силу тока можно определить двумя способами. Ее можно записать как производную заряда $Q(t)$ по времени или воспользоваться зависимостью $v$ от $t$ для механической системы и заменить механические величины их электрическими аналогами:
$I(t) = Q_{0} \omega \cos \left ( \frac{2 \pi}{T} t + \phi_{0} \right )$.
где
$T = 2 \pi \sqrt{LC}$.
Тогда наибольшая величина силы тока в контуре равна
$I_{max} = |Q_{0}| \omega = \frac{|Q_{0} |}{ \sqrt{LC} }$.
Итак, в контуре происходят синусоидальные колебания, причем фазы колебаний заряда $Q$ и тока $I$ сдвинуты на $\pi /2: Q \sim \sin( \omega t + \phi_{0} ), I \sim \cos ( \omega t + \phi_{0} )$.
Отметим, что независимо от величины $Q_{0}$ и $\phi_{0}$, если только $\omega = 1/ \sqrt{LC}$, то $Q(t)$ определяется уравнением (1). В принципе решением этого уравнения является не одна какая-то функция $Q(t)$ но целое семейство функций, каждая из которых соответствует определенным, конкретным значениям $Q_{0}$ и $\phi_{0}$. На первый взгляд это выглядит странным. Казалось бы, что если имеется конкретная система, то должна существовать только одна функция $Q(t)$, описывающая изменение заряда конденсатора со временем. Это неверно. В данной системе могут происходить различные колебания, например отличающиеся по амплитуде. Очевидно, что два колебания с различными амплитудами не могут описываться одинаковыми зависимостями $Q(t)$. Чтобы определить конкретную функцию $Q(t)$, т. е. установить значения $Q_{0}$ и $\phi_{0}$ для данной системы, нужно видеть за схемой нечто большее, чем просто соединенные между собой отдельные элементы. В нашем случае, например, помимо самой схемы для определения $Q_{0}$ и $\phi_{0}$, а следовательно, $Q(t)$ необходимо знать величину заряда на конденсаторе и силу тока в контуре в момент $t = 0$. Это так называемые начальные условия. По известным начальным условиям можно из семейства функций $Q(t)$ выбрать одну, описывающую конкретный случай колебания.
В рассматриваемой задаче электрическая система описывается следующими начальными условиями:
$Q(0) = q, I(0) = 0$.
Второе равенство означает, что в мюмент подключения катушки к конденсатору ($t = 0$) ток в контуре равен нулю. Итак, имеем:
$Q_{0} \sin \left ( \frac{1}{ \sqrt{LC} } \cdot 0 + \phi_{0} \right ) = q$,
$Q_{0} \frac{1}{ \sqrt{LC} } \cos \left ( \frac{1}{ \sqrt{LC} } \cdot 0 + \phi_{0} \right ) = 0$.
Произведя несложные вычисления, получаем
$Q_{0} = q, \phi_{0} = \pi /2$.
Значит, в рассматриваемой нами системе при заданных начальных условиях величины $Q$ и $I$ изменяются по следующим законам:
$Q(t) = q \sin \left ( \frac{1}{ \sqrt{LC} } t + \frac{ \pi}{2} \right )$
$I(t) = q \frac{1}{ \sqrt{LC} } \cos \left ( \frac{1}{ \sqrt{LC} } t + \frac{ \pi}{2} \right )$
или
$Q(t) = q \cos \frac{t}{ \sqrt{LC} }$.
$I(t) = - \frac{q}{ \sqrt{LC} } \sin \frac{t}{ \sqrt{LC} }$.
Наибольшие абсолютные значения $Q$ и $I$ соответственно равны $| q |$ и $| q |/LC$. Период изменения $Q$ и $I$ равен $T = 2 \pi \sqrt{LC}$.
Таким образом, мы получили ответы на первые три вопроса, поставленные в условиях задачи. Чтобы ответить на четвертый вопрос, рассмотрим контур, показанный на рис. Согласно второму закону Кирхгофа, сумма падений напряжения на отдельных элементах контура должна быть равна нулю, если контур не имеет внешнего источника э. д. с. Значит,
$L \frac{dI}{dt} + \frac{Q}{C} + RI = 0$.
или
$L \frac{d^{2}Q}{dt^{2} } = - \frac{1}{C} Q - R \frac{dQ}{dt}$.
Механической аналогией этой зависимости является
$m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } = - kx - \gamma \frac{dx}{dt}$,
или
$ma = - kx - \gamma v$.
Сравнивая эти выражения, видим, что падение напряжения на сопротивлении, равное $R \cdot dQ/dt$, соответствует тормозящей силе $\gamma v$, пропорциональной скорости. В механике сила, пропорциональная скорости, связана с движением в вязких средах. Резистор, таким образом, является аналогом вязкой среды.
Нам осталось ответить еще на один вопрос. Необходимо определить зависимость силы тока от времени в контуре, состоящем из источника с постоянной э. д. с., имеющего нулевое внутреннее сопротивление, и катушки. Такой контур показан на рис. Из второго закона Кирхгофа имеем для этого контура
$L \frac{dI}{dt} = \mathcal{E}$,
т. е. напряжение на катушке должно быть равно э. д. с, источника. Это уравнение можно записать в виде
$L \frac{d^{2} Q }{dt^{2} } = \mathcal{E} = const$. (4)
В механической системе левой части этого уравнения аналогично выражение
$m \frac{dx^{2} }{dt^{2} }$ или $ma$.
Из механики известно, что $ma = F$, где $F$ - сила, действующая на тело массой $m$ и сообщающая ему ускорение $a$. Следовательно, механическим аналогом э. д. с. является сила $F$. В механике уравнение, эквивалентное (4), записывается как
$ma = F = const$.
Это уравнение описывает движение материального тела с постоянным ускорением $a$. Как известно, скорость при равноускоренном движении изменяется со временем по закону
$v(t) = v_{0} + at = v_{0} + + \frac{F}{m} t$.
Поскольку при переходе от механической системы к электрической $v \rightarrow I, m \rightarrow L, F \rightarrow \mathcal{E}$, для рассматриваемой электрической системы можем записать
$I(t) = I_{0} + \frac{ \mathcal{E} }{L} t$.
Таким образом, мы получили ответ на последний вопрос. Как видно из этого уравнения, сила тока изменяется со временем равномерно ($I_{0}$ - величина тока в момент $t = 0$). Теперь вспомним о законе сохранения энергии. Система, изображенная на рис. а, является изолированной, поэтому ее полная энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергии, остается постоянной:
$\frac{1}{2} mv^{2} + \frac{1}{2} kx^{2} = const$.
Для электрической системы, показанной на рис. б, это означает, что величина
$\frac{1}{2} LI^{2} + \frac{Q^{2} }{2C} = const$.
Воспользуемся этим фактом при решении следующей задачи.
Уравнение (1) можно почленно умножить на произвольную постоянную величину и ввести эту постоянную под знак дифференцирования
$\beta \frac{d^{2} f(x)}{dx^{2} } = \frac{d^{2} \beta f(x) }{dx^{2} }$.
Значит, уравнение (1) можно записать в различных формах, например:
$C \frac{d^{2}Q }{dt^{2} } = - \frac{1}{L}Q$,
$C \frac{d^{2} ( \beta Q) }{dt^{2} } = - \frac{1}{L} CQ$,
В общем случае имеем
$\alpha L \frac{d^{2} ( \beta Q) }{dt^{2} } = - \frac{ \alpha }{C} \beta Q$,
где $\alpha$ и $\beta$ - некоторые постоянные, отличные от нуля.
Воспользовавшись рассмотренными здесь примерами и уравнением (2), можно было бы установить несколько «разных» электромеханических аналогов, например:
$m \leftrightarrow C$,
$x \leftrightarrow Q$,
$k \leftrightarrow \frac{1}{L} $,
Подобные аналогии можно развивать и дальше, устанавливая соответствие между другими электрическими и механическими величинами. Более того, все эти, казалось бы, внешне различные аналогии приводят к одним и тем же физическим выводам, в чем читатель может без труда убедиться сам. Именно поэтому слово «разные» взято в кавычки.
Рассмотренная задача иллюстрирует очень простой и очевидный принцип, о котором, пожалуй, слишком редко упоминают, хотя часто им пользуются. Этот принцип гласит, что одинаковые уравнения имеют одинаковые решения независимо от того, какой физический смысл имеют отдельные входящие в них величины. Этот принцип очень важен и позволяет упростить многие исследования. Между прочим, именно благодаря ему удается проанализировать на ЭВМ разнообразные физические процессы.
Если сила есть функция координаты, то с математической точки зрения второй закон механики Ньютона устанавливает связь между ускорением (второй производной координаты по времени) действующей силой и массой.
Аналогичные уравнения могут возникать и в задачах немеханического типа.
Рассмотрим контур, состоящий из конденсатора емкостью $C$ (в начальный момент его заряд равен $q$) и катушки с индуктивностью $L$. Мгновенное значение тока можно определить по скорости изменения заряда $Q$ на обкладке конденсатора. В свою очередь э. д. с. самоиндукции простым образом выражается через скорость изменения тока. Если выразить напряжение на конденсаторе через заряд $Q$ и воспользоваться соответствующим законом Кирхгофа для контура, не имеющего активного сопротивления, то можно получить связь между «ускорением» заряда и самим зарядом. Пользуясь теперь механическими аналогами, ответьте на следующие вопросы:
а. По какому закону сила тока зависит от времени?
б. Чему равен период колебания контура?
в. Какова максимальная величина силы тока?
г. Можно ли провести аналогию между резистором $R$ (включенным в контур последовательно с индуктивностью $L$) и некой дополнительной силой (какой?) в соответствующей задаче механики?
д. Можно ли этим же методом определить зависимость силы тока от времени в контуре, состоящем из источника тока с постоянной э. д. с. и ничтожно малым внутренним сопротивлением, подключенного к катушке с индуктивностью $L$?
Решение:
Рассмотрим электрический контур, показанный на рис. а. Пусть $q$ и $i$ означают соответственно заряд на конденсаторе и силу тока в момент $t = 0$, a $Q$
и $I$ - заряд и ток в момент $t$. В системе нет внешнего источника тока. Как следует из второго закона Кирхгофа, сумма напряжений на конденсаторе и катушке должна равняться нулю:
$L \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} Q = 0$,
но $I = \frac{dQ}{dt}$.
Значит,
$L \frac{d^{2} Q }{dt^{2} } = - \frac{1}{C} Q$. (1)
Мы получили дифференциальное уравнение, которое при известных $L$ и $C$ можно решить и получить зависимость $Q(t)$, т. е. определить, каким образом заряд конденсатора изменяется со временем.
Мы видим, что «ускорение» заряда, или его вторая производная по времени, пропорционально самому заряду. Подобная ситуация имеет место в механике шэи описании гармонического движения. При гармонических колебаниях вторая производная отклонения тела (ускорение) от положения равновесия пропорциональна отклонению. Например, для шарика массой $m$ (рис. б), привязанного к закрепленной одним концом невесомой пружине, имеющей коэффициент упругости $k$ и лежащей на горизонтальном гладком столе, имеем
$m \vec{a} = - k \vec{x}$,
где $\vec{a}$ - ускорение шарика, $\vec{x}$ - его отклонение от положения равновесия. Знак минус в правой части уравнения означает, что ускорение и отклонение направлены в противоположные стороны. Будем считать, что колебания совершаются вдоль одной оси, например вдоль оси х. Тогда скорость шарика $v$ определяется формулой $v = dx/dt$, а ускорение $a = dv/dt$. Тогда можно записать
$m \frac{d^{2} x }{dt^{2} } = - kx$. (2)
Это дифференциальное уравнение, из которого, зная $m$ и $k$, можно определить функцию $x(t)$, иными словами, зависимость отклонения от времени.
Уравнения (1) и (2), несмотря на различия входящих в них параметров, одинаковы. Если взять решение одного из них и заменить одни параметры соответствующими параметрами, которые введены во втором уравнении, то получим решение второго уравнения. Именно так должно быть, поскольку ход решения уравнения не зависит от того, какими буквами обозначены входящие в него величины. Установим теперь соответствие между величинами, входящими в эти два уравнения. Очевидно, что массе $m$ можно сопоставить индуктивность $L$, коэффициенту упругости $k$ - величину, обратную емкости $1/C$, а отклонению $x$ - заряд $Q$. Далее посмотрим, какие еще механические величины, не входящие непосредственно в уравнение (2), можно сопоставить электрическим.
Скорость определяем как производную координаты ло времени:
$v = \frac{dx}{dt}$.
Согласно установленному соответствию, $x$ переходит в $Q$, a $t$ не изменяется. Значит,
$v = \frac{dx}{dt} \rightarrow \frac{dQ}{dt } = I$.
Электрическая величина, соответствующая скорости, — это сила тока.
Кинетическая энергия шарика равна
$E_{к} = \frac{1}{2} mv^{2}$.
Поскольку при замене механической системы ее электрическим аналогом $m \rightarrow L$, a $v \rightarrow I$, можно записать
$E_{к} = \frac{1}{2} mv^{2} \rightarrow \frac{1}{2}LI^{2} = E_{L}$.
Следовательно, кинетической энергии шарика соответствует энергия, накопленная в катушке, через которую проходит ток.
Аналогично потенциальной энергии натянутой пружины соответствует энергия, которой обладает заряженный конденсатор:
$E_{п} = \frac{1}{2} kx^{2} \rightarrow \frac{1}{2} \frac{Q^{2} }{C^{2} } = E_{C}$.
Теперь рассмотрим дифференциальное уравнение (2). Школьная программа не включает дифференциальных уравнений, но окончательное решение этого уравнения, зависимость $x(t)$ при гармоническом движении, приводится в школьном курсе:
$x(t) = x_{0} \sin \left ( \frac{2 \pi}{T} t + \phi_{0} \right )$
где $x_{0}$ — амплитуда колебаний, или величина наибольшего отклонения, $T$ - период колебаний, $\phi_{0}$ - начальная фаза, или величина аргумента функции в момент $t = 0$. Обычно, чтобы избавиться от дроби, вводится величина $\omega$, равная $2 \pi/T$. Тогда
$x (t) = x_{0} \sin ( \omega t + \phi_{0})$. (3)
Для шарика, колеблющегося на пружине,
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }, \omega = \sqrt{ \frac{k}{m} }$.
Как в таком случае изменяется скорость шарика? Как мы уже говорили, скорость $v = dx/dt$. Тогда, дифференцируя уравнение (3), получаем
$v(t) = x_{0} \omega \cos ( \omega t + \phi_{0} )$.
Скорость имеет наибольшую абсолютную величину $v_{max}$, когда $\cos = \pm 1$ (при этом $x = 0$), следовательно
$v_{max} = x_{0} \omega$.
Теперь посмотрим, чему эквивалентно последнее выражение при переходе от механической системы к электрической.
Отметим, что $Q$ изменяется по закону
$Q(t) = Q_{0} \sin ( \omega t + \phi_{0} )$,
где $\omega = 2 \pi /T$. $|Q_{0}|$ - наибольшая величина заряда на конденсаторе. Поскольку при замене механической системы электрической $m \rightarrow L$, a $k \rightarrow 1/C$, то
$\omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } \rightarrow \frac{1}{ \sqrt{LC} }$,
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } \rightarrow 2 \pi \sqrt{LC}$.
Силу тока можно определить двумя способами. Ее можно записать как производную заряда $Q(t)$ по времени или воспользоваться зависимостью $v$ от $t$ для механической системы и заменить механические величины их электрическими аналогами:
$I(t) = Q_{0} \omega \cos \left ( \frac{2 \pi}{T} t + \phi_{0} \right )$.
где
$T = 2 \pi \sqrt{LC}$.
Тогда наибольшая величина силы тока в контуре равна
$I_{max} = |Q_{0}| \omega = \frac{|Q_{0} |}{ \sqrt{LC} }$.
Итак, в контуре происходят синусоидальные колебания, причем фазы колебаний заряда $Q$ и тока $I$ сдвинуты на $\pi /2: Q \sim \sin( \omega t + \phi_{0} ), I \sim \cos ( \omega t + \phi_{0} )$.
Отметим, что независимо от величины $Q_{0}$ и $\phi_{0}$, если только $\omega = 1/ \sqrt{LC}$, то $Q(t)$ определяется уравнением (1). В принципе решением этого уравнения является не одна какая-то функция $Q(t)$ но целое семейство функций, каждая из которых соответствует определенным, конкретным значениям $Q_{0}$ и $\phi_{0}$. На первый взгляд это выглядит странным. Казалось бы, что если имеется конкретная система, то должна существовать только одна функция $Q(t)$, описывающая изменение заряда конденсатора со временем. Это неверно. В данной системе могут происходить различные колебания, например отличающиеся по амплитуде. Очевидно, что два колебания с различными амплитудами не могут описываться одинаковыми зависимостями $Q(t)$. Чтобы определить конкретную функцию $Q(t)$, т. е. установить значения $Q_{0}$ и $\phi_{0}$ для данной системы, нужно видеть за схемой нечто большее, чем просто соединенные между собой отдельные элементы. В нашем случае, например, помимо самой схемы для определения $Q_{0}$ и $\phi_{0}$, а следовательно, $Q(t)$ необходимо знать величину заряда на конденсаторе и силу тока в контуре в момент $t = 0$. Это так называемые начальные условия. По известным начальным условиям можно из семейства функций $Q(t)$ выбрать одну, описывающую конкретный случай колебания.
В рассматриваемой задаче электрическая система описывается следующими начальными условиями:
$Q(0) = q, I(0) = 0$.
Второе равенство означает, что в мюмент подключения катушки к конденсатору ($t = 0$) ток в контуре равен нулю. Итак, имеем:
$Q_{0} \sin \left ( \frac{1}{ \sqrt{LC} } \cdot 0 + \phi_{0} \right ) = q$,
$Q_{0} \frac{1}{ \sqrt{LC} } \cos \left ( \frac{1}{ \sqrt{LC} } \cdot 0 + \phi_{0} \right ) = 0$.
Произведя несложные вычисления, получаем
$Q_{0} = q, \phi_{0} = \pi /2$.
Значит, в рассматриваемой нами системе при заданных начальных условиях величины $Q$ и $I$ изменяются по следующим законам:
$Q(t) = q \sin \left ( \frac{1}{ \sqrt{LC} } t + \frac{ \pi}{2} \right )$
$I(t) = q \frac{1}{ \sqrt{LC} } \cos \left ( \frac{1}{ \sqrt{LC} } t + \frac{ \pi}{2} \right )$
или
$Q(t) = q \cos \frac{t}{ \sqrt{LC} }$.
$I(t) = - \frac{q}{ \sqrt{LC} } \sin \frac{t}{ \sqrt{LC} }$.
Наибольшие абсолютные значения $Q$ и $I$ соответственно равны $| q |$ и $| q |/LC$. Период изменения $Q$ и $I$ равен $T = 2 \pi \sqrt{LC}$.
Таким образом, мы получили ответы на первые три вопроса, поставленные в условиях задачи. Чтобы ответить на четвертый вопрос, рассмотрим контур, показанный на рис. Согласно второму закону Кирхгофа, сумма падений напряжения на отдельных элементах контура должна быть равна нулю, если контур не имеет внешнего источника э. д. с. Значит,
$L \frac{dI}{dt} + \frac{Q}{C} + RI = 0$.
или
$L \frac{d^{2}Q}{dt^{2} } = - \frac{1}{C} Q - R \frac{dQ}{dt}$.
Механической аналогией этой зависимости является
$m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } = - kx - \gamma \frac{dx}{dt}$,
или
$ma = - kx - \gamma v$.
Сравнивая эти выражения, видим, что падение напряжения на сопротивлении, равное $R \cdot dQ/dt$, соответствует тормозящей силе $\gamma v$, пропорциональной скорости. В механике сила, пропорциональная скорости, связана с движением в вязких средах. Резистор, таким образом, является аналогом вязкой среды.
Нам осталось ответить еще на один вопрос. Необходимо определить зависимость силы тока от времени в контуре, состоящем из источника с постоянной э. д. с., имеющего нулевое внутреннее сопротивление, и катушки. Такой контур показан на рис. Из второго закона Кирхгофа имеем для этого контура
$L \frac{dI}{dt} = \mathcal{E}$,
т. е. напряжение на катушке должно быть равно э. д. с, источника. Это уравнение можно записать в виде
$L \frac{d^{2} Q }{dt^{2} } = \mathcal{E} = const$. (4)
В механической системе левой части этого уравнения аналогично выражение
$m \frac{dx^{2} }{dt^{2} }$ или $ma$.
Из механики известно, что $ma = F$, где $F$ - сила, действующая на тело массой $m$ и сообщающая ему ускорение $a$. Следовательно, механическим аналогом э. д. с. является сила $F$. В механике уравнение, эквивалентное (4), записывается как
$ma = F = const$.
Это уравнение описывает движение материального тела с постоянным ускорением $a$. Как известно, скорость при равноускоренном движении изменяется со временем по закону
$v(t) = v_{0} + at = v_{0} + + \frac{F}{m} t$.
Поскольку при переходе от механической системы к электрической $v \rightarrow I, m \rightarrow L, F \rightarrow \mathcal{E}$, для рассматриваемой электрической системы можем записать
$I(t) = I_{0} + \frac{ \mathcal{E} }{L} t$.
Таким образом, мы получили ответ на последний вопрос. Как видно из этого уравнения, сила тока изменяется со временем равномерно ($I_{0}$ - величина тока в момент $t = 0$). Теперь вспомним о законе сохранения энергии. Система, изображенная на рис. а, является изолированной, поэтому ее полная энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергии, остается постоянной:
$\frac{1}{2} mv^{2} + \frac{1}{2} kx^{2} = const$.
Для электрической системы, показанной на рис. б, это означает, что величина
$\frac{1}{2} LI^{2} + \frac{Q^{2} }{2C} = const$.
Воспользуемся этим фактом при решении следующей задачи.
Уравнение (1) можно почленно умножить на произвольную постоянную величину и ввести эту постоянную под знак дифференцирования
$\beta \frac{d^{2} f(x)}{dx^{2} } = \frac{d^{2} \beta f(x) }{dx^{2} }$.
Значит, уравнение (1) можно записать в различных формах, например:
$C \frac{d^{2}Q }{dt^{2} } = - \frac{1}{L}Q$,
$C \frac{d^{2} ( \beta Q) }{dt^{2} } = - \frac{1}{L} CQ$,
В общем случае имеем
$\alpha L \frac{d^{2} ( \beta Q) }{dt^{2} } = - \frac{ \alpha }{C} \beta Q$,
где $\alpha$ и $\beta$ - некоторые постоянные, отличные от нуля.
Воспользовавшись рассмотренными здесь примерами и уравнением (2), можно было бы установить несколько «разных» электромеханических аналогов, например:
$m \leftrightarrow C$,
$x \leftrightarrow Q$,
$k \leftrightarrow \frac{1}{L} $,
Подобные аналогии можно развивать и дальше, устанавливая соответствие между другими электрическими и механическими величинами. Более того, все эти, казалось бы, внешне различные аналогии приводят к одним и тем же физическим выводам, в чем читатель может без труда убедиться сам. Именно поэтому слово «разные» взято в кавычки.
Рассмотренная задача иллюстрирует очень простой и очевидный принцип, о котором, пожалуй, слишком редко упоминают, хотя часто им пользуются. Этот принцип гласит, что одинаковые уравнения имеют одинаковые решения независимо от того, какой физический смысл имеют отдельные входящие в них величины. Этот принцип очень важен и позволяет упростить многие исследования. Между прочим, именно благодаря ему удается проанализировать на ЭВМ разнообразные физические процессы.
