Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9912
2018-11-09 
Шарик для настольного тенниса летит со скоростью $\vec{v}$, вращаясь вокруг горизонтальной оси (перпендикулярной направлению скорости движения) с угловой скоростью $\omega = xv/R$, где $R$ — радиус шарика (рис.). Коэффициент трения шарика о поверхность ракетки равен $f = 3/4$. Предполагается, что деформациями шарика и ракетки в момент соударения можно пренебречь и что перпендикулярная к ракетке составляющая скорости шарика после отражения не изменяется по абсолютной величине. Определить угол $\alpha$, под которым следует поставить ракетку по отношению к направлению полета шарика, чтобы скорость шарика после отражения была направлена параллельно и противоположно исходной. Ракетку считать неподвижной.
Исследовать зависимость полученного результата от параметра $x$ и построить график функции $\alpha(x)$. Сопротивлением воздуха пренебречь и считать, что сила трения между шариком и ракеткой действует только в случае проскальзывания.
Момент инерции шарика относительно оси, проходящей через его центр, равен $I = 2/3 MR^{2}$, где $M$ - масса, a $R$ - радиус шарика.
Решение:
Поскольку составляющая скорости, перпендикулярная к ракетке, до и после соударения имеет одинаковую абсолютную величину, шарик будет возвращаться назад по той же траектории в том и только том случае, когда при отскоке шарика от ракетки касательная составляющая его скорости изменит знак, не изменяя абсолютной величины.
Значит, изменения параллельной и перпендикулярной составляющей импульса должны удовлетворять уравйениям
$\Delta p_{ \perp} = 2Mv \cos \alpha$,
$\Delta p_{ \parallel } = 2Mv \sin \alpha$.
Изменение перпендикулярной составляющей импульса $\Delta p_{ \perp}$ происходит под действием силы упругости шарика и ракетки, тогда как изменение параллельной составляющей обусловлено действием силы трения. Сила трения действует вдоль прямой, проходящей на расстоянии $R$ от оси вращения шарика, поэтому она изменяет момент импульса шарика относительно оси вращения на $\Delta p_{ \parallel} R$. Изменение момента импульса шарика, связанное с силами упругости, равно 0, поскольку прямая, вдоль которой действуют эти силы, проходит через центр шарика. Тогда имеем
$I \omega - I \omega_{к} = \Delta p_{ \parallel}R$,
где $\omega_{к}$ - конечная угловая скорость шарика. Тогда
$\omega_{к} = \omega - \frac{ \Delta p_{ \parallel}R }{l}$.
Учитывая, что $I = 2/3 MR^{2}$, получаем
$\omega_{к} = \omega - \frac{ \Delta p_{ \parallel} }{ \frac{2}{3} MR }$
Конечная скорость скольжения шарика относительно ракетки, или скорость, с которой по ракетке перемещается точка соприкосновения, равна
$v_{ск} = - v \sin \alpha + R \left ( \omega - \frac{ \Delta p_{ \parallel} }{ \frac{2}{3} MR } \right )$
Подставляя значения $\Delta p_{ \parallel}$, находим
$v_{ск} = R \omega - 4v \sin \alpha$.
Трение может замедлить скольжение, однако оно не может изменить знак скорости скольжения. Иначе говоря, должно выполняться неравенство
$v_{ск} \geq 0$.
Возможны два случая.
а. В момент отскока проскальзывание уже отсутствует:
$v_{ск} = 0$.
Отсюда сразу получаем
$\sin \alpha = \frac{R \omega}{4 v}$.
Подставив в это уравнение значения $\omega$ и $v$, данные в условии задачи, получаем
$\sin \alpha = \frac{x}{4}$,
или
$\alpha = arcsin \frac{x}{4}$.
Отсутствие трения в момент отскока означает, что сила трения действует не на протяжении всего времени соударения. Тогда
$\Delta p_{ \parallel} \leq f \Delta p_{ \perp}$.
Используя полученные ранее выражения для $\Delta p_{ \parallel}$ и $\Delta p_{ \perp}$, находим
$2Mv \sin \alpha \leq f2Mv \cos \alpha$,
$tg \alpha \leq f$,
откуда
$\sin \alpha \leq \frac{f}{ \sqrt{1 + f^{2} } }$.
Подставив известное значение $f$, убедимся, что скольжение в момент отскока отсутствует при
$\sin \alpha \leq \frac{3}{5}$,
т. е. при
$x \leq \frac{12}{5}$.
б. В момент отскока происходит проскальзывание. Б этом случае сила трения действует на протяжении всего соударения. Тогда имеем
$\Delta p_{ \parallel} = f \Delta p_{ \perp}$,
$2Mv \sin \alpha = f2Mv \cos \alpha$,
$tg \alpha = f$m
$\sin \alpha = \frac{f}{ \sqrt{1 + f^{2} } }$.
При заданном значении $f = 3/4$
$\sin \alpha = \frac{3}{5}$,
или
$\alpha = arcsin \frac{3}{5}$.
Зависимость $\alpha$ от $x$ представлена на рис. Как видим, если шарик вращается быстро ($\omega \geq \frac{12v}{5R}$), то ракетку Следует подставить под углом $\alpha$, таким, чтобы $\sin \alpha = 3/5$. Если шарик вращается медленно ($\omega < \frac{12v}{5R}$), то угол $\alpha$ зависит от $x$ и $\sin \alpha = x/4$.
В приведенном решении задачи мы приняли, что единственной силой, действующей касательно к ракетке, является сила трения. На практике такое представление достаточно хорошо выполняется для шариков, используемых в настольном теннисе, и ракеток с пробковым покрытием. Если в плоскости ракетки на шарик действуют также упругие силы, то это условие не выполняется. При определенных условиях эта сила может изменить знак не только линейной скорости, но и угловой. Упругие силы, действующие в плоскости отражающей поверхности, определяют такое движение упругого шарика, что при соответствующем броске он может долго прыгать вперед-назад (рис.).
В заключение покажем, как получается приведенная в условии задачи формула для момента инерции шарика.
Будем считать, что толщина стенок шарика много меньше его радиуса. Разобьем поверхность шарика на очень маленькие кусочки массой $m_{i}$ (рис.). Совместим с центром шарика начало прямоугольной системы координат и рассмотрим одну из ее осей. С учетом симметричной формы шарика безразлично, какую ось мы выберем. Пусть это будет ось $z$. Можно записать
$I = m_{1}(x_{1}^{2} + y_{1}^{2} ) + m_{2} ( x_{2}^{2} + y_{2}^{2} ) + \cdots$,
или
$I = \sum_{i} m_{i} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2})$.
Из соображений симметрии имеем
$\sum_{i} m_{i}x_{i}^{2} = \sum_{i} m_{i}y_{i}^{2} + \sum_{i} m_{i}z_{i}^{2} = A$,
$3A = \sum_{i} m_{i} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2} + z_{i}^{2} ) = \sum_{i} m_{i}R^{2} = MR^{2}$.
Тогда
$A = \frac{1}{3}MR^{2}$
и
$I = 2A = \frac{2}{3} MR^{2}$.
Эту формулу можно получить и другим способом. Воспользовавшись формулой момента инерции шара ($2/3 MR^{2}$), можно получить момент инерции полого шара и перейти к пределу, устремив внутренний радиус к внешнему (при условии, что масса остается неизменной).
Шарик для настольного тенниса летит со скоростью $\vec{v}$, вращаясь вокруг горизонтальной оси (перпендикулярной направлению скорости движения) с угловой скоростью $\omega = xv/R$, где $R$ — радиус шарика (рис.). Коэффициент трения шарика о поверхность ракетки равен $f = 3/4$. Предполагается, что деформациями шарика и ракетки в момент соударения можно пренебречь и что перпендикулярная к ракетке составляющая скорости шарика после отражения не изменяется по абсолютной величине. Определить угол $\alpha$, под которым следует поставить ракетку по отношению к направлению полета шарика, чтобы скорость шарика после отражения была направлена параллельно и противоположно исходной. Ракетку считать неподвижной.
Исследовать зависимость полученного результата от параметра $x$ и построить график функции $\alpha(x)$. Сопротивлением воздуха пренебречь и считать, что сила трения между шариком и ракеткой действует только в случае проскальзывания.
Момент инерции шарика относительно оси, проходящей через его центр, равен $I = 2/3 MR^{2}$, где $M$ - масса, a $R$ - радиус шарика.
Решение:
Поскольку составляющая скорости, перпендикулярная к ракетке, до и после соударения имеет одинаковую абсолютную величину, шарик будет возвращаться назад по той же траектории в том и только том случае, когда при отскоке шарика от ракетки касательная составляющая его скорости изменит знак, не изменяя абсолютной величины.
Значит, изменения параллельной и перпендикулярной составляющей импульса должны удовлетворять уравйениям
$\Delta p_{ \perp} = 2Mv \cos \alpha$,
$\Delta p_{ \parallel } = 2Mv \sin \alpha$.
Изменение перпендикулярной составляющей импульса $\Delta p_{ \perp}$ происходит под действием силы упругости шарика и ракетки, тогда как изменение параллельной составляющей обусловлено действием силы трения. Сила трения действует вдоль прямой, проходящей на расстоянии $R$ от оси вращения шарика, поэтому она изменяет момент импульса шарика относительно оси вращения на $\Delta p_{ \parallel} R$. Изменение момента импульса шарика, связанное с силами упругости, равно 0, поскольку прямая, вдоль которой действуют эти силы, проходит через центр шарика. Тогда имеем
$I \omega - I \omega_{к} = \Delta p_{ \parallel}R$,
где $\omega_{к}$ - конечная угловая скорость шарика. Тогда
$\omega_{к} = \omega - \frac{ \Delta p_{ \parallel}R }{l}$.
Учитывая, что $I = 2/3 MR^{2}$, получаем
$\omega_{к} = \omega - \frac{ \Delta p_{ \parallel} }{ \frac{2}{3} MR }$
Конечная скорость скольжения шарика относительно ракетки, или скорость, с которой по ракетке перемещается точка соприкосновения, равна
$v_{ск} = - v \sin \alpha + R \left ( \omega - \frac{ \Delta p_{ \parallel} }{ \frac{2}{3} MR } \right )$
Подставляя значения $\Delta p_{ \parallel}$, находим
$v_{ск} = R \omega - 4v \sin \alpha$.
Трение может замедлить скольжение, однако оно не может изменить знак скорости скольжения. Иначе говоря, должно выполняться неравенство
$v_{ск} \geq 0$.
Возможны два случая.
а. В момент отскока проскальзывание уже отсутствует:
$v_{ск} = 0$.
Отсюда сразу получаем
$\sin \alpha = \frac{R \omega}{4 v}$.
Подставив в это уравнение значения $\omega$ и $v$, данные в условии задачи, получаем
$\sin \alpha = \frac{x}{4}$,
или
$\alpha = arcsin \frac{x}{4}$.
Отсутствие трения в момент отскока означает, что сила трения действует не на протяжении всего времени соударения. Тогда
$\Delta p_{ \parallel} \leq f \Delta p_{ \perp}$.
Используя полученные ранее выражения для $\Delta p_{ \parallel}$ и $\Delta p_{ \perp}$, находим
$2Mv \sin \alpha \leq f2Mv \cos \alpha$,
$tg \alpha \leq f$,
откуда
$\sin \alpha \leq \frac{f}{ \sqrt{1 + f^{2} } }$.
Подставив известное значение $f$, убедимся, что скольжение в момент отскока отсутствует при
$\sin \alpha \leq \frac{3}{5}$,
т. е. при
$x \leq \frac{12}{5}$.
б. В момент отскока происходит проскальзывание. Б этом случае сила трения действует на протяжении всего соударения. Тогда имеем
$\Delta p_{ \parallel} = f \Delta p_{ \perp}$,
$2Mv \sin \alpha = f2Mv \cos \alpha$,
$tg \alpha = f$m
$\sin \alpha = \frac{f}{ \sqrt{1 + f^{2} } }$.
При заданном значении $f = 3/4$
$\sin \alpha = \frac{3}{5}$,
или
$\alpha = arcsin \frac{3}{5}$.
Зависимость $\alpha$ от $x$ представлена на рис. Как видим, если шарик вращается быстро ($\omega \geq \frac{12v}{5R}$), то ракетку Следует подставить под углом $\alpha$, таким, чтобы $\sin \alpha = 3/5$. Если шарик вращается медленно ($\omega < \frac{12v}{5R}$), то угол $\alpha$ зависит от $x$ и $\sin \alpha = x/4$.
В приведенном решении задачи мы приняли, что единственной силой, действующей касательно к ракетке, является сила трения. На практике такое представление достаточно хорошо выполняется для шариков, используемых в настольном теннисе, и ракеток с пробковым покрытием. Если в плоскости ракетки на шарик действуют также упругие силы, то это условие не выполняется. При определенных условиях эта сила может изменить знак не только линейной скорости, но и угловой. Упругие силы, действующие в плоскости отражающей поверхности, определяют такое движение упругого шарика, что при соответствующем броске он может долго прыгать вперед-назад (рис.).
В заключение покажем, как получается приведенная в условии задачи формула для момента инерции шарика.
Будем считать, что толщина стенок шарика много меньше его радиуса. Разобьем поверхность шарика на очень маленькие кусочки массой $m_{i}$ (рис.). Совместим с центром шарика начало прямоугольной системы координат и рассмотрим одну из ее осей. С учетом симметричной формы шарика безразлично, какую ось мы выберем. Пусть это будет ось $z$. Можно записать
$I = m_{1}(x_{1}^{2} + y_{1}^{2} ) + m_{2} ( x_{2}^{2} + y_{2}^{2} ) + \cdots$,
или
$I = \sum_{i} m_{i} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2})$.
Из соображений симметрии имеем
$\sum_{i} m_{i}x_{i}^{2} = \sum_{i} m_{i}y_{i}^{2} + \sum_{i} m_{i}z_{i}^{2} = A$,
$3A = \sum_{i} m_{i} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2} + z_{i}^{2} ) = \sum_{i} m_{i}R^{2} = MR^{2}$.
Тогда
$A = \frac{1}{3}MR^{2}$
и
$I = 2A = \frac{2}{3} MR^{2}$.
Эту формулу можно получить и другим способом. Воспользовавшись формулой момента инерции шара ($2/3 MR^{2}$), можно получить момент инерции полого шара и перейти к пределу, устремив внутренний радиус к внешнему (при условии, что масса остается неизменной).
