Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9908
2018-11-09 
На плоском гладком столе лежит однородный стержень длиной $2l$ и массой $M$ (рис.). По столу перпендикулярно стержню движется (не катится) маленькая шайба (материальная точка) массой $m$, которая ударяется о конец стержня. В результате стержень смещается, совершая при этом вращательное движение. Повернувшись на пол-оборота, стержень другим своим концом ударяет по шайбе. Такая ситуация может возникнуть только при определенном соотношении масс $\mu = \frac{M}{m} (m \neq 0)$. Определить это соотношение. Каковы скорости стержня и шайбы после последнего соударения? Считается, что стержень и шайба движутся по столу без трения и соударения абсолютно упруги. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину, равен $I = 1/3 Ml^{2}$.
Примечание. Считать, что линейные скорости центра масс стержня и шайбы до соударения, во время него и после него параллельны между собой.
Решение:
Из условия задачи ясно, что система шайба + стержень является изолированной. Следовательно, при описании системы можно воспользоваться законами сохранения импульса, момента импульса и энергии, причем, поскольку соударение между шайбой и стержнем упругое, полная кинетическая энергия системы до и после соударения одинакова. Под полной кинетической энергией системы следует понимать сумму кинетических энергий поступательного и вращательного движения обоих тел, т. е. шайбы и стержня. Согласно условию задачи, после первого соударения центр стержня и шайба движутся с одинаковыми скоростями— в противном случае второго соударения ровно через половину оборота стержня не произошло бы. Введем следующие обозначения:
$V$ - общая скорость центра масс стержня и шайбы (относительно поверхности стола) между соударениями,
$\omega$ - угловая скорость стержня между соударениями,
$v$ - скорость шайбы до первого соударения.
Полный импульс системы до первого соударения равен mv, тогда как после первого, но до второго соударения он равен $mV + MV = (m + M) V$. Из закона сохранения импульса следует
$mv = (m + M)V$,
т. е. $v = (1 + \mu)V$.
Полная энергия системы перед первым соударением равна кинетической энергии шайбы $mv^{2}/2$. После соударения она равна сумме кинетической энергии шайбы, кинетической энергии поступательного движения стержня и кинетической энергии вращательного движения стержня:
$\frac{1}{2} mV^{2} + \frac{1}{2}MV^{2} + \frac{1}{2}I \omega^{2}$,
или
$\frac{1}{2}(m + M)V^{2} + \frac{1}{6}MW^{2}$,
где $W$ - скорость конца стержня в системе отсчета, в которой центр масс стержня после соударения покоится.
Так как полная кинетическая энергия системы сохраняется, то
$\frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{2} (m + M) V^{2} + \frac{1}{6} MW^{2}$,
или иначе
$v^{2} = (1 + \mu) V^{2} + \frac{1}{3} \mu W^{2}$.
Закон сохранения момента импульса утверждает, что если полный момент внешних сил относительно неподвижной точки в инерциальной системе отсчета (или относительно центра масс механической системы) тождественно равен нулю, то момент импульса системы относительно этой точки (или центра масс) не изменяется во времени. В нашем случае момент импульса выгоднее рассматривать в системе, которая движется со скоростью $V$. В этой системе центр массы стержня О между соударениями покоится. В рассматриваемой системе относительная скорость шайбы перед соударением равна $v - V$. Тогда момент импульса шайбы относительно точки О равен $m(v - V)l$. Это выражение одновременно определяет и полный начальный момент импульса всей системы, поскольку перед первым соударением момент импульса стержня относительно точки О равнялся нулю. На самом деле импульс стержня перед соударением в движущейся системе отсчета отличен от нуля, но его плечо равно нулю.
Полный момент импульса после соударения равен сумме моментов импульсов стержня и шайбы. Относительно точки О шайба имеет теперь нулевую скорость, значит, и ее момент импульса в этой системе отсчета равен нулю: $I \omega + 0 = I \omega = \frac{1}{3} MWl$. Отсюда
$m(v - V)l = \frac{1}{3}MWl$,
или
$v - V = \frac{1}{3} \mu W$.
Таким образом, имеем три уравнения с тремя неизвестными $V, W$ и $\mu$
$v = (1 + \mu )V$,
$v^{2} = (1 + \mu ) V^{2} + \frac{1}{3} \mu W^{2}$,
$v - V = \frac{1}{3} \mu W$.
Подставив $v$ из первого уравнения в два остальных, получаем
$(1 + \mu)^{2}V^{2} = (1 + \mu ) V^{2} + \frac{1}{3} \mu W^{2}$,
$(1 + \mu )V - V = \frac{1}{3} \mu W$,
или
$(1 + \mu) V^{2} = \frac{1}{3} W^{2}$,
Тогда
$(1 + \mu)V^{2} = 3V^{2}$.
Но между соударениями $V \neq 0$, значит,
$\mu + 1 =3, \mu = 2$.
Таким образом, описанное явление возможно в том. и только том случае, когда $\mu = 2$. Заметим, кстати, Что мы установили также соотношение $W = 3V$. Это означает, что в системе отсчета, связанной со стержнем, скорость конца стержня в три раза больше линейной скорости центра стержня относительно стола, независимо от начальной скорости шайбы $v$.
Подставим найденное значение $\mu = 2$ в приведенные выше три уравнения; они принимают вид
$v = 3V$,
$v^{2} = 3V^{2} + \frac{2}{3} W^{2}$,
$v - V = \frac{2}{3}V$,
При заданной начальной скорости $v$ имеем только две неизвестные величины $V$ и $W$ в трех уравнениях. Однако они не противоречат друг другу: $\mu$ определено таким образом, чтобы противоречия не возникло. Решая данную систему, можно определить $V$ и $W$, а также $\omega = W/l$. Зная же эти величины, можно вычислить время, по истечении которого произойдет второе соударение, а также путь, пройденый центром стержня между соударениями. Определение этих величин предоставляем выполнить вам.
Проанализируем теперь ситуацию после второго соударения. Сразу напрашивается мысль, что второе соударение следует рассматривать по аналогии с первым, т. е. записать систему уравнений (принимая $\mu = 2$), выражающих законы сохранения импульса, момента импульса и энергии. В этих уравнениях скорость стержня (линейная и угловая), а также скорость шайбы между соударениями полагаем известными. Неизвестными, которые нужно определить, будут скорости стержня и шайбы после второго соударения. Однако мы можем избежать всех этих длинных вычислений.
Попробуем описать ситуацию после второго соударения, вообще не прибегая к вычислениям. Введем следующие обозначения:
$u$ - скорость шайбы,
$U$ - скорость центра масс стержня,
$\Omega$ - угловая скорость стержня.
Предположим, что нам известны значения импульса, момента импульса и кинетической энергии, которые соответственно равны $P_{0}, M_{0}$ и $E_{0}$. Из законов сохранения следует, что после каждого соударения импульс, момент импульса и кинетическая энергия являются функциями $u, U, \Omega$ и сохраняются:
импульс $P(u, U, \Omega ) = P_{0}$,
момент импульса $M(u, U, \Omega ) = M_{0}$,
кинетическая энергия $E(u, U,\Omega ) = E_{0}$.
Мы получили три уравнения, содержащие $u, U$ и $\Omega$. Легко видеть, что первые два из них линейны, а третье является квадратичным уравнением относительно переменных $u, U$ и $\Omega$. Тогда для всякой тройки значений $P_{0}, M_{0}$ и $E_{0}$ существует два решения $u, U$ и $\Omega$, удовлетворяющих этим уравнениям/ Одно из этих решений соответствует первоначальной ситуации:
$u = v, U = 0, \Omega = 0$.
После первого соударения система шайба + стержень приобретает скорости
$u = V, U = V, \Omega = \omega$.
При втором соударении состояние системы шайба + стержень должно измениться. Однако мы имеем-только два возможных решения $u, U$ и $\Omega$, а значит, после второго соударения скорости тел снова должны равняться их первоначальным значениям. После двух соударений скорости стержня и шайбы будут такими же, как и вначале, т. е. стержень будет покоиться относительно стола (располагаясь параллельно своему первоначальному положению), а шайба будет перемещаться с такой же скоростью, с которой она двигалась до первого соударения (с той разницей, что теперь она будет двигаться по другую сторону от стержня).
В заключение немного отойдем от конкретной задачи и рассмотрим, что бы случилось, если бы вместо одного стержня имелась целая система стержней (рис.).
Как в этом случае происходили бы столкновения? Очевидно, с каждым отдельным стержнем шайба взаимодействовала бы так, как описано выше, причем после каждых двух соударений стержень останавливался бы в положении, параллельном первоначальному и несколько смещенном относительно него. После соударения с последним стержнем этого «одномерного стержневого кристалла» скорость, импульс и кинетическая энергия шайбы будут такими же, как вначале. «Кристалл», несмотря на взаимодействия с шайбой, оказывается для нее как бы «прозрачным»! Нетрудно понять, что средняя скорость перемещения шайбы в «кристалле» $v_{сp} < v$, так как между двумя столкновениями с одним и тем же стержнем скорость шайбы равна $V < v$. Это напоминает прохождение света через прозрачный кристалл. Очевидно, при прохождении света механизм явления гораздо сложнее, однако с некоторым приближением его можно представить себе, воспользовавшись рассмотренной выше простой механической моделью.
Зная расстояние $d$ между стержнями, можно определить среднюю кинетическую энергию $E$ шайбы в «кристалле» и его средний импульс $p_{ср}$. Если бы движение шайбы в «кристалле» описывалось только средними величинами, то оказалось бы, что шайба в «кристалле» ведет себя так, как если бы она имела иную массу!
Вместо ожидаемой связи
$E_{ср} = \frac{p_{ср}^{2} }{2m}$
выполнялась бы зависимость
$E_{ср} = \frac{p_{ср}^{2} }{2m}$
где $m^{*} \neq m$, в чем можете убедиться сами. В связи с этим не должен вызывать удивления тот факт, что электроны в кристалле ведут себя так, как если бы они имели массу, отличную от их массы в вакууме. Прохождение электрона через кристалл намного сложнее, чем рассмотренная нами модель, однако результат тот же: электрон при этом имеет некоторую эффективную массу, отличную от массы свободного электрона.
На плоском гладком столе лежит однородный стержень длиной $2l$ и массой $M$ (рис.). По столу перпендикулярно стержню движется (не катится) маленькая шайба (материальная точка) массой $m$, которая ударяется о конец стержня. В результате стержень смещается, совершая при этом вращательное движение. Повернувшись на пол-оборота, стержень другим своим концом ударяет по шайбе. Такая ситуация может возникнуть только при определенном соотношении масс $\mu = \frac{M}{m} (m \neq 0)$. Определить это соотношение. Каковы скорости стержня и шайбы после последнего соударения? Считается, что стержень и шайба движутся по столу без трения и соударения абсолютно упруги. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину, равен $I = 1/3 Ml^{2}$.
Примечание. Считать, что линейные скорости центра масс стержня и шайбы до соударения, во время него и после него параллельны между собой.
Решение:
Из условия задачи ясно, что система шайба + стержень является изолированной. Следовательно, при описании системы можно воспользоваться законами сохранения импульса, момента импульса и энергии, причем, поскольку соударение между шайбой и стержнем упругое, полная кинетическая энергия системы до и после соударения одинакова. Под полной кинетической энергией системы следует понимать сумму кинетических энергий поступательного и вращательного движения обоих тел, т. е. шайбы и стержня. Согласно условию задачи, после первого соударения центр стержня и шайба движутся с одинаковыми скоростями— в противном случае второго соударения ровно через половину оборота стержня не произошло бы. Введем следующие обозначения:
$V$ - общая скорость центра масс стержня и шайбы (относительно поверхности стола) между соударениями,
$\omega$ - угловая скорость стержня между соударениями,
$v$ - скорость шайбы до первого соударения.
Полный импульс системы до первого соударения равен mv, тогда как после первого, но до второго соударения он равен $mV + MV = (m + M) V$. Из закона сохранения импульса следует
$mv = (m + M)V$,
т. е. $v = (1 + \mu)V$.
Полная энергия системы перед первым соударением равна кинетической энергии шайбы $mv^{2}/2$. После соударения она равна сумме кинетической энергии шайбы, кинетической энергии поступательного движения стержня и кинетической энергии вращательного движения стержня:
$\frac{1}{2} mV^{2} + \frac{1}{2}MV^{2} + \frac{1}{2}I \omega^{2}$,
или
$\frac{1}{2}(m + M)V^{2} + \frac{1}{6}MW^{2}$,
где $W$ - скорость конца стержня в системе отсчета, в которой центр масс стержня после соударения покоится.
Так как полная кинетическая энергия системы сохраняется, то
$\frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{2} (m + M) V^{2} + \frac{1}{6} MW^{2}$,
или иначе
$v^{2} = (1 + \mu) V^{2} + \frac{1}{3} \mu W^{2}$.
Закон сохранения момента импульса утверждает, что если полный момент внешних сил относительно неподвижной точки в инерциальной системе отсчета (или относительно центра масс механической системы) тождественно равен нулю, то момент импульса системы относительно этой точки (или центра масс) не изменяется во времени. В нашем случае момент импульса выгоднее рассматривать в системе, которая движется со скоростью $V$. В этой системе центр массы стержня О между соударениями покоится. В рассматриваемой системе относительная скорость шайбы перед соударением равна $v - V$. Тогда момент импульса шайбы относительно точки О равен $m(v - V)l$. Это выражение одновременно определяет и полный начальный момент импульса всей системы, поскольку перед первым соударением момент импульса стержня относительно точки О равнялся нулю. На самом деле импульс стержня перед соударением в движущейся системе отсчета отличен от нуля, но его плечо равно нулю.
Полный момент импульса после соударения равен сумме моментов импульсов стержня и шайбы. Относительно точки О шайба имеет теперь нулевую скорость, значит, и ее момент импульса в этой системе отсчета равен нулю: $I \omega + 0 = I \omega = \frac{1}{3} MWl$. Отсюда
$m(v - V)l = \frac{1}{3}MWl$,
или
$v - V = \frac{1}{3} \mu W$.
Таким образом, имеем три уравнения с тремя неизвестными $V, W$ и $\mu$
$v = (1 + \mu )V$,
$v^{2} = (1 + \mu ) V^{2} + \frac{1}{3} \mu W^{2}$,
$v - V = \frac{1}{3} \mu W$.
Подставив $v$ из первого уравнения в два остальных, получаем
$(1 + \mu)^{2}V^{2} = (1 + \mu ) V^{2} + \frac{1}{3} \mu W^{2}$,
$(1 + \mu )V - V = \frac{1}{3} \mu W$,
или
$(1 + \mu) V^{2} = \frac{1}{3} W^{2}$,
Тогда
$(1 + \mu)V^{2} = 3V^{2}$.
Но между соударениями $V \neq 0$, значит,
$\mu + 1 =3, \mu = 2$.
Таким образом, описанное явление возможно в том. и только том случае, когда $\mu = 2$. Заметим, кстати, Что мы установили также соотношение $W = 3V$. Это означает, что в системе отсчета, связанной со стержнем, скорость конца стержня в три раза больше линейной скорости центра стержня относительно стола, независимо от начальной скорости шайбы $v$.
Подставим найденное значение $\mu = 2$ в приведенные выше три уравнения; они принимают вид
$v = 3V$,
$v^{2} = 3V^{2} + \frac{2}{3} W^{2}$,
$v - V = \frac{2}{3}V$,
При заданной начальной скорости $v$ имеем только две неизвестные величины $V$ и $W$ в трех уравнениях. Однако они не противоречат друг другу: $\mu$ определено таким образом, чтобы противоречия не возникло. Решая данную систему, можно определить $V$ и $W$, а также $\omega = W/l$. Зная же эти величины, можно вычислить время, по истечении которого произойдет второе соударение, а также путь, пройденый центром стержня между соударениями. Определение этих величин предоставляем выполнить вам.
Проанализируем теперь ситуацию после второго соударения. Сразу напрашивается мысль, что второе соударение следует рассматривать по аналогии с первым, т. е. записать систему уравнений (принимая $\mu = 2$), выражающих законы сохранения импульса, момента импульса и энергии. В этих уравнениях скорость стержня (линейная и угловая), а также скорость шайбы между соударениями полагаем известными. Неизвестными, которые нужно определить, будут скорости стержня и шайбы после второго соударения. Однако мы можем избежать всех этих длинных вычислений.
Попробуем описать ситуацию после второго соударения, вообще не прибегая к вычислениям. Введем следующие обозначения:
$u$ - скорость шайбы,
$U$ - скорость центра масс стержня,
$\Omega$ - угловая скорость стержня.
Предположим, что нам известны значения импульса, момента импульса и кинетической энергии, которые соответственно равны $P_{0}, M_{0}$ и $E_{0}$. Из законов сохранения следует, что после каждого соударения импульс, момент импульса и кинетическая энергия являются функциями $u, U, \Omega$ и сохраняются:
импульс $P(u, U, \Omega ) = P_{0}$,
момент импульса $M(u, U, \Omega ) = M_{0}$,
кинетическая энергия $E(u, U,\Omega ) = E_{0}$.
Мы получили три уравнения, содержащие $u, U$ и $\Omega$. Легко видеть, что первые два из них линейны, а третье является квадратичным уравнением относительно переменных $u, U$ и $\Omega$. Тогда для всякой тройки значений $P_{0}, M_{0}$ и $E_{0}$ существует два решения $u, U$ и $\Omega$, удовлетворяющих этим уравнениям/ Одно из этих решений соответствует первоначальной ситуации:
$u = v, U = 0, \Omega = 0$.
После первого соударения система шайба + стержень приобретает скорости
$u = V, U = V, \Omega = \omega$.
При втором соударении состояние системы шайба + стержень должно измениться. Однако мы имеем-только два возможных решения $u, U$ и $\Omega$, а значит, после второго соударения скорости тел снова должны равняться их первоначальным значениям. После двух соударений скорости стержня и шайбы будут такими же, как и вначале, т. е. стержень будет покоиться относительно стола (располагаясь параллельно своему первоначальному положению), а шайба будет перемещаться с такой же скоростью, с которой она двигалась до первого соударения (с той разницей, что теперь она будет двигаться по другую сторону от стержня).
В заключение немного отойдем от конкретной задачи и рассмотрим, что бы случилось, если бы вместо одного стержня имелась целая система стержней (рис.).
Как в этом случае происходили бы столкновения? Очевидно, с каждым отдельным стержнем шайба взаимодействовала бы так, как описано выше, причем после каждых двух соударений стержень останавливался бы в положении, параллельном первоначальному и несколько смещенном относительно него. После соударения с последним стержнем этого «одномерного стержневого кристалла» скорость, импульс и кинетическая энергия шайбы будут такими же, как вначале. «Кристалл», несмотря на взаимодействия с шайбой, оказывается для нее как бы «прозрачным»! Нетрудно понять, что средняя скорость перемещения шайбы в «кристалле» $v_{сp} < v$, так как между двумя столкновениями с одним и тем же стержнем скорость шайбы равна $V < v$. Это напоминает прохождение света через прозрачный кристалл. Очевидно, при прохождении света механизм явления гораздо сложнее, однако с некоторым приближением его можно представить себе, воспользовавшись рассмотренной выше простой механической моделью.
Зная расстояние $d$ между стержнями, можно определить среднюю кинетическую энергию $E$ шайбы в «кристалле» и его средний импульс $p_{ср}$. Если бы движение шайбы в «кристалле» описывалось только средними величинами, то оказалось бы, что шайба в «кристалле» ведет себя так, как если бы она имела иную массу!
Вместо ожидаемой связи
$E_{ср} = \frac{p_{ср}^{2} }{2m}$
выполнялась бы зависимость
$E_{ср} = \frac{p_{ср}^{2} }{2m}$
где $m^{*} \neq m$, в чем можете убедиться сами. В связи с этим не должен вызывать удивления тот факт, что электроны в кристалле ведут себя так, как если бы они имели массу, отличную от их массы в вакууме. Прохождение электрона через кристалл намного сложнее, чем рассмотренная нами модель, однако результат тот же: электрон при этом имеет некоторую эффективную массу, отличную от массы свободного электрона.
