Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9907
2018-11-09 
Пять акробатов, имеющих массы 60, 50, 40, 30 и 20 кг, выполняют цирковой номер на качелях-трамплинах, расположенных один за другим. Самый тяжелый акробат прыгает на первый трамплин с высоты 2 м (рис.). Второй, третий и четвертый акробаты по очереди подпрыгивают вверх и прыгают на следующий трамплин. Определить, на какую высоту $h_{5}$ подпрыгивает последний акробат.
Принять, что работа мышц акробатов полностью расходуется на преодоление силы трения и что массой трамплина можно пренебречь.
Решение:
Прежде всего необходимо учесть, что трамплины опираются посередине на бесконечно тяжелые подпорки (рис.). Соскок первого из акробатов связан с движением второго, так что можно считать, что про исходит «столкновение» акробатов «через» трамплин.
Считаем также, что столкновение происходит практически мгновенно. Значит, можно не учитывать влияния силы тяжести на сам процесс столкновения, так как за время столкновения $\Delta t$ изменение момента импульсов (относительно центра трамплина) каждого из акробатов, связанное с силой тяжести и пропорциональное $\Delta t$, ничтожно мало.
Во время «столкновения» точка опоры трамплина неподвижна, поэтому можно использовать закон сохранения момента импульса. Моментами импульсов самих трамплинов пренебрегаем.
Учитывая примечание к условию задачи и приведенные выше рассуждения, будем считать, что во время «столкновения» кинетическая энергия сохраняется, т. е. соударение абсолютно упругое.
Обозначим через $v_{1}^{ \prime}$ скорость первого из акробатов после соударения. Будем считать, что $v_{1}^{ \prime}$ положительна и имеет то же направление, что и скорость $v_{1}$ (рис.). На основании законов сохранения момента импульса и кинетической энергии запишем следующие уравнения:
$m_{1}v_{1}r = m_{1}v_{1}^{ \prime}r + m_{2}v_{2}r$,
$\frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} = \frac{m_{1}v_{1}^{ \prime 2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}$.
Решая эту систему уравнений относительно $v_{1}^{ \prime}$ и $v_{2}$, получаем два решения:
а) $v_{1}^{ \prime} = v_{1}, v_{2} = 0$,
б) $v_{1}^{ \prime} = v_{1} \frac{m_{1} - m_{2} }{m_{1} + m_{2} }, v_{2} = v_{1} \frac{2m_{1} }{m_{1} + m_{2} }$.
Первое решение соответствует ситуации перед соударением, второе описывает состояние системы после соударения.
Второй из акробатов падает на следующий трамплин и в момент соударения имеет скорость $v_{2}$. Очередное столкновение происходит аналогично первому. Значит, скорости, с которыми движутся следующие акробаты, равны соответственно
$v_{3} = v_{2} \frac{2m_{2} }{m_{2} + m_{3} }$,
$v_{4} = v_{3} \frac{2m_{3} }{m_{3} + m_{4} }$,
Тогда скорость, с которой движется пятый акробат, можно выразить так:
$v_{5} = 16 \frac{m_{1}m_{2}m_{3}m_{4} }{(m_{1} + m_{2} )(m_{2} + m_{3} )(m_{3} + m_{4} )(m_{4} + m_{5} ) } v_{1}$.
Искомую высоту $h_{5}$ определим, пользуясь соотношениями
$v_{1} = \sqrt{2gh_{1} }, v_{5} = \sqrt{2gh_{5} }$.
Отсюда
$h_{5} = \left ( \frac{16m_{1}m_{2}m_{3}m_{4} }{(m_{1} + m_{2} )(m_{2} + m_{3} )(m_{3} + m_{4} )(m_{4} + m_{5} ) } \right )^{2} h_{1}$.
Подставив численные значения величин, находим $h_{5} \approx 5,5 м$.
Пять акробатов, имеющих массы 60, 50, 40, 30 и 20 кг, выполняют цирковой номер на качелях-трамплинах, расположенных один за другим. Самый тяжелый акробат прыгает на первый трамплин с высоты 2 м (рис.). Второй, третий и четвертый акробаты по очереди подпрыгивают вверх и прыгают на следующий трамплин. Определить, на какую высоту $h_{5}$ подпрыгивает последний акробат.
Принять, что работа мышц акробатов полностью расходуется на преодоление силы трения и что массой трамплина можно пренебречь.
Решение:
Прежде всего необходимо учесть, что трамплины опираются посередине на бесконечно тяжелые подпорки (рис.). Соскок первого из акробатов связан с движением второго, так что можно считать, что про исходит «столкновение» акробатов «через» трамплин.
Считаем также, что столкновение происходит практически мгновенно. Значит, можно не учитывать влияния силы тяжести на сам процесс столкновения, так как за время столкновения $\Delta t$ изменение момента импульсов (относительно центра трамплина) каждого из акробатов, связанное с силой тяжести и пропорциональное $\Delta t$, ничтожно мало.
Во время «столкновения» точка опоры трамплина неподвижна, поэтому можно использовать закон сохранения момента импульса. Моментами импульсов самих трамплинов пренебрегаем.
Учитывая примечание к условию задачи и приведенные выше рассуждения, будем считать, что во время «столкновения» кинетическая энергия сохраняется, т. е. соударение абсолютно упругое.
Обозначим через $v_{1}^{ \prime}$ скорость первого из акробатов после соударения. Будем считать, что $v_{1}^{ \prime}$ положительна и имеет то же направление, что и скорость $v_{1}$ (рис.). На основании законов сохранения момента импульса и кинетической энергии запишем следующие уравнения:
$m_{1}v_{1}r = m_{1}v_{1}^{ \prime}r + m_{2}v_{2}r$,
$\frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} = \frac{m_{1}v_{1}^{ \prime 2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}$.
Решая эту систему уравнений относительно $v_{1}^{ \prime}$ и $v_{2}$, получаем два решения:
а) $v_{1}^{ \prime} = v_{1}, v_{2} = 0$,
б) $v_{1}^{ \prime} = v_{1} \frac{m_{1} - m_{2} }{m_{1} + m_{2} }, v_{2} = v_{1} \frac{2m_{1} }{m_{1} + m_{2} }$.
Первое решение соответствует ситуации перед соударением, второе описывает состояние системы после соударения.
Второй из акробатов падает на следующий трамплин и в момент соударения имеет скорость $v_{2}$. Очередное столкновение происходит аналогично первому. Значит, скорости, с которыми движутся следующие акробаты, равны соответственно
$v_{3} = v_{2} \frac{2m_{2} }{m_{2} + m_{3} }$,
$v_{4} = v_{3} \frac{2m_{3} }{m_{3} + m_{4} }$,
Тогда скорость, с которой движется пятый акробат, можно выразить так:
$v_{5} = 16 \frac{m_{1}m_{2}m_{3}m_{4} }{(m_{1} + m_{2} )(m_{2} + m_{3} )(m_{3} + m_{4} )(m_{4} + m_{5} ) } v_{1}$.
Искомую высоту $h_{5}$ определим, пользуясь соотношениями
$v_{1} = \sqrt{2gh_{1} }, v_{5} = \sqrt{2gh_{5} }$.
Отсюда
$h_{5} = \left ( \frac{16m_{1}m_{2}m_{3}m_{4} }{(m_{1} + m_{2} )(m_{2} + m_{3} )(m_{3} + m_{4} )(m_{4} + m_{5} ) } \right )^{2} h_{1}$.
Подставив численные значения величин, находим $h_{5} \approx 5,5 м$.
