Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9905
2018-11-09 
Имеется два маленьких электрически заряженных шарика с массами $m_{1}$ и $m_{2}$. Заряд каждого из шариков равен $Q$. Когда шарики находились далеко друг от друга, первому из них сообщили скорость $\vec{v}$. направленную к другому шарику. Скорость второго шарика в этот момент равнялась 0. Найти минимальное расстояние, на которое сблизятся шарики, предполагая, что с момента $t_{0}$ единственными силами, действующими на шарики, являются силы их взаимного электрического отталкивания.
При расчетах принять:
a) $Q = 10^{-6} Кл, v = 10 м/с, m_{1} = 1 г, m_{2} = 9 г$;
б) $Q = 10^{-6} Кл, v = 10 м/с, m_{1} = 9 г, m_{2} = 1 г$.
Сравнить величины минимальных расстояний между шариками, полученные в этих двух случаях. Такой же вывод можно было бы сделать на основании общего физического принципа. О каком принципе идет речь?
Коэффициент $1/4 \pi \epsilon_{0}$, появляющийся в формуле для силы Кулона, равен $9 \cdot 10^{9} Н \cdot м^{2} /К^{2}$.
Решение:
На шарики действует сила электрического отталкивания. Эта сила тормозит шарик 1 и ускоряет шарик 2. В результате скорость шарика 1 уменьшается, а скорость шарика 2 возрастает. Расстояние между шариками уменьшается до тех пор, пока скорость первого шарика остается больше, чем у второго. Минимальное расстояние соответствует равным скоростям шариков. Таким образом, скорость $V$ можно определить, пользуясь законом сохранения импульса (систему шариков считаем изолированной):
$m_{1}v (начальный \quad импульс \quad системы) = m_{1}V (конечный \quad импульс \quad шарика \quad 1) + m_{2}V (конечный \quad импульс \quad шарика \quad 2)$
Отсюда
$V = \frac{m_{1}v }{m_{1} + m_{2} }$.
Воспользовавшись теперь законом сохранения энергии, получаем
$\frac{1}{2} m_{1}v^{2} = \frac{1}{2} m_{1}V^{2} + \frac{1}{2} m_{2}V^{2} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{d}$.
Левая часть уравнения выражает начальную энергию замкнутой системы, равную кинетической энергии шарика 1. Конечная полная энергия системы (в момент наименьшего расстояния между шариками) равна сумме кинетических энергий обоих шариков, а также потенциальной энергии их взаимного электрического отталкивания; $d$ - наименьшее расстояние между шариками. Мы можем найти его, подставив в последней уравнение значение $V$, полученное выше, тогда
$d = \frac{Q^{2} (m_{1} + m_{2})}{2 \pi \epsilon_{0}m_{1}m_{2}v^{2} }$.
Подставляя численные значения величин и учитывая, что $1/4 \pi \epsilon_{0} = 9 \cdot 10^{9} Н \cdot м^{2}/К^{2}$, в обоих случаях получаем
$d = 20 см$.
Тот факт, что в обоих случаях мы получаем одно и то же значение $d$, вытекает из принципа относительности движения. Существенна относительная скорости движения шариков, а не их скорость в какой-либо инерциальной системе отсчета.
Принцип относительности позволяет решать многие задачи в «естественной» системе отсчета, связанной с центром масс системы. Решить данную задачу в такой системе отсчета предлагаем самим читателям.
После максимального сближения шарики начинают удаляться друг от друга. Скорости шариков 1 и 2 спустя достаточно длительное время обозначим через $V_{1}$ и $V_{2}$. Как определить эти скорости? Можно воспользоваться законами сохранения. Оба шарика вместе образуют изолированную систему, в которой должны выполняться законы сохранения импульса и энергии. Соответствующие уравнения имеют вид
$m_{1}v = m_{1}V_{1} + m_{2}V_{2}$ (импульс),
$\frac{1}{2}m_{1}v^{2} = \frac{1}{2} m_{1}V_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}V_{2}^{2}$ (энергия).
Не будем решать приведенные уравнения, так как это не самое важное для нас. Интересен тот факт, что полученные уравнения имеют такой же вид, как и для шарика, упруго отскакивающего от неподвижного шарика. Дело в том, что при использовании законов сохранения мы принимаем во внимание только начальные и конечные состояния системы, не интересуясь самим процессом торможения: безразлично, вызвано ли торможение силами электрического отталкивания или силами упругости.
Имеется два маленьких электрически заряженных шарика с массами $m_{1}$ и $m_{2}$. Заряд каждого из шариков равен $Q$. Когда шарики находились далеко друг от друга, первому из них сообщили скорость $\vec{v}$. направленную к другому шарику. Скорость второго шарика в этот момент равнялась 0. Найти минимальное расстояние, на которое сблизятся шарики, предполагая, что с момента $t_{0}$ единственными силами, действующими на шарики, являются силы их взаимного электрического отталкивания.
При расчетах принять:
a) $Q = 10^{-6} Кл, v = 10 м/с, m_{1} = 1 г, m_{2} = 9 г$;
б) $Q = 10^{-6} Кл, v = 10 м/с, m_{1} = 9 г, m_{2} = 1 г$.
Сравнить величины минимальных расстояний между шариками, полученные в этих двух случаях. Такой же вывод можно было бы сделать на основании общего физического принципа. О каком принципе идет речь?
Коэффициент $1/4 \pi \epsilon_{0}$, появляющийся в формуле для силы Кулона, равен $9 \cdot 10^{9} Н \cdot м^{2} /К^{2}$.
Решение:
На шарики действует сила электрического отталкивания. Эта сила тормозит шарик 1 и ускоряет шарик 2. В результате скорость шарика 1 уменьшается, а скорость шарика 2 возрастает. Расстояние между шариками уменьшается до тех пор, пока скорость первого шарика остается больше, чем у второго. Минимальное расстояние соответствует равным скоростям шариков. Таким образом, скорость $V$ можно определить, пользуясь законом сохранения импульса (систему шариков считаем изолированной):
$m_{1}v (начальный \quad импульс \quad системы) = m_{1}V (конечный \quad импульс \quad шарика \quad 1) + m_{2}V (конечный \quad импульс \quad шарика \quad 2)$
Отсюда
$V = \frac{m_{1}v }{m_{1} + m_{2} }$.
Воспользовавшись теперь законом сохранения энергии, получаем
$\frac{1}{2} m_{1}v^{2} = \frac{1}{2} m_{1}V^{2} + \frac{1}{2} m_{2}V^{2} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{d}$.
Левая часть уравнения выражает начальную энергию замкнутой системы, равную кинетической энергии шарика 1. Конечная полная энергия системы (в момент наименьшего расстояния между шариками) равна сумме кинетических энергий обоих шариков, а также потенциальной энергии их взаимного электрического отталкивания; $d$ - наименьшее расстояние между шариками. Мы можем найти его, подставив в последней уравнение значение $V$, полученное выше, тогда
$d = \frac{Q^{2} (m_{1} + m_{2})}{2 \pi \epsilon_{0}m_{1}m_{2}v^{2} }$.
Подставляя численные значения величин и учитывая, что $1/4 \pi \epsilon_{0} = 9 \cdot 10^{9} Н \cdot м^{2}/К^{2}$, в обоих случаях получаем
$d = 20 см$.
Тот факт, что в обоих случаях мы получаем одно и то же значение $d$, вытекает из принципа относительности движения. Существенна относительная скорости движения шариков, а не их скорость в какой-либо инерциальной системе отсчета.
Принцип относительности позволяет решать многие задачи в «естественной» системе отсчета, связанной с центром масс системы. Решить данную задачу в такой системе отсчета предлагаем самим читателям.
После максимального сближения шарики начинают удаляться друг от друга. Скорости шариков 1 и 2 спустя достаточно длительное время обозначим через $V_{1}$ и $V_{2}$. Как определить эти скорости? Можно воспользоваться законами сохранения. Оба шарика вместе образуют изолированную систему, в которой должны выполняться законы сохранения импульса и энергии. Соответствующие уравнения имеют вид
$m_{1}v = m_{1}V_{1} + m_{2}V_{2}$ (импульс),
$\frac{1}{2}m_{1}v^{2} = \frac{1}{2} m_{1}V_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}V_{2}^{2}$ (энергия).
Не будем решать приведенные уравнения, так как это не самое важное для нас. Интересен тот факт, что полученные уравнения имеют такой же вид, как и для шарика, упруго отскакивающего от неподвижного шарика. Дело в том, что при использовании законов сохранения мы принимаем во внимание только начальные и конечные состояния системы, не интересуясь самим процессом торможения: безразлично, вызвано ли торможение силами электрического отталкивания или силами упругости.
