Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9904
2018-11-09 
На трех легких пружинах, имеющих коэффициенты упругости $k_{1}, k_{2}$ и $k_{3}$, висит гирька массой $m$ (рис.). Выведенная из положения равновесия гирь ка начинает колебаться вдоль вертикальной оси. Какого типа колебания совершает гирька и каков их период? Коэффициентом упругости $k$ называется коэффициент пропорциональности между силой упругости $F$ и растяжением пружинки $x; F = kx$.
Решение:
Докажем сначала, что данную систему пружинок можно заменить одной пружинкой с коэффициентом упругости $k_{эф}$. Для этого рассмотрим отдельно два случая: пружинки расположены последовательно, одна за другой, и пружинки расположены параллельно, а. Последовательное расположение (рис.).
Каждая из пружинок растягивается одной и той же силой $F$. Удлинение системы $\Delta x$ равно сумме удлинений $\Delta x_{1}$ и $\Delta x_{2}$. Отсюда получаем
$F = k_{1} \Delta x_{1}$,
$F = k_{2} \Delta x_{2}$,
$\Delta x = \Delta x_{1} + \Delta x_{2} = \frac{F}{k_{1} } + \frac{F}{k_{2} } = F \left ( \frac{1}{k_{1} } + \frac{1}{k_{2} } \right ) = \frac{F}{k}$.
Тогда эффективный коэффициент упругости $k$ двух пружинок с коэффициентами упругости $k_{1}$ и $k_{2}$, расположенных последовательно, определяется соотношением
$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_{1} } + \frac{1}{k_{2} }$.
б. Параллельное расположение (рис.).
В этом случае удлинение системы $\Delta x$ одинаково, а полная сила $F$, растягивающая систему, является суммой сил $F_{1}$ и $F_{2}$, растягивающих соответствующие пружинки. Тогда
$F_{1} = k_{1} \Delta x, F_{2} = k_{2} \Delta x$,
$F = F_{1} + F_{2} = (k_{1} + k_{2} ) \Delta x = k \Delta x$.
Значит, эффективный коэффициент упругости системы теперь определяется соотношением
$k = k_{1} + k_{2}$.
Пользуясь установленной зависимостью, определим $k_{эф}$:
$\frac{1}{k_{эф} } = \frac{1}{k_{1} } + \frac{1}{k_{2} + k_{3} }$,
$k_{эф} = \frac{k_{1}(k_{2} + k_{3} ) }{k_{1} + k_{2} + k_{3} }$.
Таким образом, задача сводится к рассмотрению колебаний грузика массой $m$, подвешенного на пружинке с коэффициентом упругости $k_{эф}$. В состоянии равновесия вес грузика уравновешивается натяжением пружинки. Теперь представим, что грузик отклонился от положения равновесия на $x$. Натяжение пружинки изменилось при этом на $k_{эф}x$. Возвращающая сила, действующая на грузик, равна тогда $F = - k_{эф}x$. Знак «минус» указывает, что эта сила направлена к положению равновесия. $F$ пропорциональна $x$. Вследствие этого грузик будет совершать гармонические колебания. Ускорение грузика равно
$a = \frac{F}{m} = - \frac{k_{эф} }{M}x$,
но при гармонических колебаниях
$a = - \omega^{2}x$,
где $\omega = 2 \pi/T$ ($T$ - период колебаний). Таким образом, искомый период колебаний равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k_{эф} } }$.
На трех легких пружинах, имеющих коэффициенты упругости $k_{1}, k_{2}$ и $k_{3}$, висит гирька массой $m$ (рис.). Выведенная из положения равновесия гирь ка начинает колебаться вдоль вертикальной оси. Какого типа колебания совершает гирька и каков их период? Коэффициентом упругости $k$ называется коэффициент пропорциональности между силой упругости $F$ и растяжением пружинки $x; F = kx$.
Решение:
Докажем сначала, что данную систему пружинок можно заменить одной пружинкой с коэффициентом упругости $k_{эф}$. Для этого рассмотрим отдельно два случая: пружинки расположены последовательно, одна за другой, и пружинки расположены параллельно, а. Последовательное расположение (рис.).
Каждая из пружинок растягивается одной и той же силой $F$. Удлинение системы $\Delta x$ равно сумме удлинений $\Delta x_{1}$ и $\Delta x_{2}$. Отсюда получаем
$F = k_{1} \Delta x_{1}$,
$F = k_{2} \Delta x_{2}$,
$\Delta x = \Delta x_{1} + \Delta x_{2} = \frac{F}{k_{1} } + \frac{F}{k_{2} } = F \left ( \frac{1}{k_{1} } + \frac{1}{k_{2} } \right ) = \frac{F}{k}$.
Тогда эффективный коэффициент упругости $k$ двух пружинок с коэффициентами упругости $k_{1}$ и $k_{2}$, расположенных последовательно, определяется соотношением
$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_{1} } + \frac{1}{k_{2} }$.
б. Параллельное расположение (рис.).
В этом случае удлинение системы $\Delta x$ одинаково, а полная сила $F$, растягивающая систему, является суммой сил $F_{1}$ и $F_{2}$, растягивающих соответствующие пружинки. Тогда
$F_{1} = k_{1} \Delta x, F_{2} = k_{2} \Delta x$,
$F = F_{1} + F_{2} = (k_{1} + k_{2} ) \Delta x = k \Delta x$.
Значит, эффективный коэффициент упругости системы теперь определяется соотношением
$k = k_{1} + k_{2}$.
Пользуясь установленной зависимостью, определим $k_{эф}$:
$\frac{1}{k_{эф} } = \frac{1}{k_{1} } + \frac{1}{k_{2} + k_{3} }$,
$k_{эф} = \frac{k_{1}(k_{2} + k_{3} ) }{k_{1} + k_{2} + k_{3} }$.
Таким образом, задача сводится к рассмотрению колебаний грузика массой $m$, подвешенного на пружинке с коэффициентом упругости $k_{эф}$. В состоянии равновесия вес грузика уравновешивается натяжением пружинки. Теперь представим, что грузик отклонился от положения равновесия на $x$. Натяжение пружинки изменилось при этом на $k_{эф}x$. Возвращающая сила, действующая на грузик, равна тогда $F = - k_{эф}x$. Знак «минус» указывает, что эта сила направлена к положению равновесия. $F$ пропорциональна $x$. Вследствие этого грузик будет совершать гармонические колебания. Ускорение грузика равно
$a = \frac{F}{m} = - \frac{k_{эф} }{M}x$,
но при гармонических колебаниях
$a = - \omega^{2}x$,
где $\omega = 2 \pi/T$ ($T$ - период колебаний). Таким образом, искомый период колебаний равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k_{эф} } }$.
