Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9902
2018-11-09 
Собрана схема, показанная на рис.
а) Какие процессы происходят в контуре сразу после замыкания ключа К и через значительное время после его замыкания, если э. д. с. постоянна и равна $\mathcal{E}$.
б) Доказать, что если $R^{2} = L/C$, то независимо от характера изменения э. д. с. $\mathcal{E}$ со временем часть контура между точками А я В при замыкании ключа К ведет себя как омическое сопротивление. Определить величину этого сопротивления.
Решение:
а. Сразу же после замыкания ключа К катушка не будет пропускать ток, конденсатор же будет вести себя как нулевое сопротивление. В связи с этим ток проходит через левый резистор $R$ и конденсатор $C$. Эффективное сопротивление участка АВ будет равно $R$. Через достаточно долгое время после замыкания ключа конденсатор перестает пропускать ток, а катушка начнет пропускать ток; сопротивление ее будет равно нулю. Теперь ток проходит через катушку $L$ и правый резистор $R$. Эффективное сопротивление участка АВ будет равно $R$.
б. Эту часть задачи можно решить разными методами, некоторые из них изучаются в школе, другие выходят за рамки школьной программы. Приведем один, хотя и не единственный, способ решения, основанный на школьной программе.
На основании первого закона Кирхгофа распределение токов в контуре можем представить так, как показано на рис.
Согласно второму закону Кирхгофа, имеем
1) $\mathcal{E} = RI_{1} + R(I - I_{2})$ для участка ARDRBEA,
2) $RI_{1} = L \frac{d}{dt} (I - I_{1})$ напряжение на катушке должно быть равно напряжению на левом резисторе $R$,
3) $\frac{Q}{C} = R(I - I_{2})$ напряжение на конденсаторе должно быть равно напряжению на левом резисторе $R$.
$Q$ - заряд, накопленный конденсатором. Кроме приведенных трех уравнений можно записать уравнение, выражающее зависимость между $Q$ и $I_{2}$:
4) $I_{2} = \frac{dQ}{dt}$.
Уравнение (2) можно представить в виде
$I_{1} = \frac{L}{R} \frac{d}{dt} (I - I_{1} )$.
Продифференцировав обе части уравнения (3) и воспользовавшись уравнением (4), получаем
$I_{2} = RC \frac{d}{dt} (I - I_{2})$.
Вычтем второе из вновь полученных уравнений из первого и, учитывая, что $RC = L/R$, получим
$(I_{1} - I_{2}) = - RC \frac{d}{dt} (I_{1} - I_{2})$.
Последнее уравнение описывает зависимость $I_{1} - I_{2}$ от времени. Дальнейшие преобразования этого уравнения выходят за рамки школьной программы, но и на основании его можно сделать некоторые выводы. Отметим, что уравнение не содержит э. д. с. $\mathcal{E}$. Следовательно, независимо от того, как изменяется со временем величина $\mathcal{E}$, разность токов $I_{1} - I_{2}$ изменяется со временем в соответствии с выведенным уравнением. Очевидно, что решением этого уравнения является $I_{1} - I_{2} = 0$. А поскольку в начальный момент при замыкании ключа $I_{1} = I_{2}$, то и во все последующие моменты времени
$I_{1} \equiv I_{2}$.
Подставив это соотношение в уравнение (1), получим
$\mathcal{E} \equiv RI$.
Очевидно, что часть контура между точками А и В ведет себя как омическое сопротивление $R$.
Задачу можно решить, применив для цепи переменного тока с $\mathcal{E} = \mathcal{E}_{0} \cos \omega t$ понятие импеданса. Этот способ заключается в следующем.
Катушке о индуктивностью $L$ соответствует импеданс $L \omega i$, конденсатору с емкостью $C$ - импеданс $1/C \omega i$, а резистору $R$ - импеданс $R$. $i$ - мнимая единица ($i^{2} = - 1$), $\omega$ - частота тока, $\omega = 2 \pi/T$ ($T$ - период колебания). Полученное выше соотношение для токов распространяется и на токи, изменяющиеся по гармоническому закону. Импеданс схемы (вообще говоря, это величина комплексная) определяется в соответствии с теми же правилами, что и эквивалентное сопротивление. Например, импеданс резистора $R$ и катушки $L$, соединенных последовательно, равен $R + L \omega i$. Абсолютная величина импеданса называется полным сопротивлением. Для катушки $L$ и резистора $R$ полное сопротивление равно $\sqrt{R^{2} + L^{2} \omega^{2}}$. Аргумент комплексного числа, каковым является импеданс, определяет сдвиг фаз между током и напряжением. Полное сопротивление контура будет действительной величиной в том и только том случае, когда для данной величины $\omega$ контура ведет себя как омическое сопротивление (т. е. не изменяет фазы).
Простой расчет показывает, что для рассматриваемого в данной задаче контура импеданс участка АВ является действительной величиной, равной $R$, и не зависит от величины $\omega$. Так как любую э. д. с., изменяющуюся со временем, можно представить в виде конечного или бесконечного числа налагающихся э. д. с., изменяющихся по гармоническому закону с различными (но постоянными во времени) частотами $\omega$, то в нашем случае это означает, что часть контура между точками А и В ведет себя как омическое сопротивление, численно равное $R$, независимо от характера изменения $\mathcal{E}$ со временем.
Данная задача интересна также тем, что указывает на возможность составления системы омический сопротивлений при использовании реактивных элементов, к которым относятся катушки и конденсаторы (изменяющие фазу).
Следует обратить внимание на то, что полные сопротивления, или импедансы, нельзя вычислять по тем же правилам, что и обычные омические сопротивления.
С рассмотренной задачей связана еще одна интересная проблема: оказывается, невозможно сконструировать такую систему, которая для любой частоты $\omega$ не давала бы сдвига фаз между током и напряжением и полное сопротивление которой было бы функцией от $\omega$, не равной тождественно постоянной величине. Доказательство этого положения достаточно сложно.
Собрана схема, показанная на рис.
а) Какие процессы происходят в контуре сразу после замыкания ключа К и через значительное время после его замыкания, если э. д. с. постоянна и равна $\mathcal{E}$.
б) Доказать, что если $R^{2} = L/C$, то независимо от характера изменения э. д. с. $\mathcal{E}$ со временем часть контура между точками А я В при замыкании ключа К ведет себя как омическое сопротивление. Определить величину этого сопротивления.
Решение:
а. Сразу же после замыкания ключа К катушка не будет пропускать ток, конденсатор же будет вести себя как нулевое сопротивление. В связи с этим ток проходит через левый резистор $R$ и конденсатор $C$. Эффективное сопротивление участка АВ будет равно $R$. Через достаточно долгое время после замыкания ключа конденсатор перестает пропускать ток, а катушка начнет пропускать ток; сопротивление ее будет равно нулю. Теперь ток проходит через катушку $L$ и правый резистор $R$. Эффективное сопротивление участка АВ будет равно $R$.
б. Эту часть задачи можно решить разными методами, некоторые из них изучаются в школе, другие выходят за рамки школьной программы. Приведем один, хотя и не единственный, способ решения, основанный на школьной программе.
На основании первого закона Кирхгофа распределение токов в контуре можем представить так, как показано на рис.
Согласно второму закону Кирхгофа, имеем
1) $\mathcal{E} = RI_{1} + R(I - I_{2})$ для участка ARDRBEA,
2) $RI_{1} = L \frac{d}{dt} (I - I_{1})$ напряжение на катушке должно быть равно напряжению на левом резисторе $R$,
3) $\frac{Q}{C} = R(I - I_{2})$ напряжение на конденсаторе должно быть равно напряжению на левом резисторе $R$.
$Q$ - заряд, накопленный конденсатором. Кроме приведенных трех уравнений можно записать уравнение, выражающее зависимость между $Q$ и $I_{2}$:
4) $I_{2} = \frac{dQ}{dt}$.
Уравнение (2) можно представить в виде
$I_{1} = \frac{L}{R} \frac{d}{dt} (I - I_{1} )$.
Продифференцировав обе части уравнения (3) и воспользовавшись уравнением (4), получаем
$I_{2} = RC \frac{d}{dt} (I - I_{2})$.
Вычтем второе из вновь полученных уравнений из первого и, учитывая, что $RC = L/R$, получим
$(I_{1} - I_{2}) = - RC \frac{d}{dt} (I_{1} - I_{2})$.
Последнее уравнение описывает зависимость $I_{1} - I_{2}$ от времени. Дальнейшие преобразования этого уравнения выходят за рамки школьной программы, но и на основании его можно сделать некоторые выводы. Отметим, что уравнение не содержит э. д. с. $\mathcal{E}$. Следовательно, независимо от того, как изменяется со временем величина $\mathcal{E}$, разность токов $I_{1} - I_{2}$ изменяется со временем в соответствии с выведенным уравнением. Очевидно, что решением этого уравнения является $I_{1} - I_{2} = 0$. А поскольку в начальный момент при замыкании ключа $I_{1} = I_{2}$, то и во все последующие моменты времени
$I_{1} \equiv I_{2}$.
Подставив это соотношение в уравнение (1), получим
$\mathcal{E} \equiv RI$.
Очевидно, что часть контура между точками А и В ведет себя как омическое сопротивление $R$.
Задачу можно решить, применив для цепи переменного тока с $\mathcal{E} = \mathcal{E}_{0} \cos \omega t$ понятие импеданса. Этот способ заключается в следующем.
Катушке о индуктивностью $L$ соответствует импеданс $L \omega i$, конденсатору с емкостью $C$ - импеданс $1/C \omega i$, а резистору $R$ - импеданс $R$. $i$ - мнимая единица ($i^{2} = - 1$), $\omega$ - частота тока, $\omega = 2 \pi/T$ ($T$ - период колебания). Полученное выше соотношение для токов распространяется и на токи, изменяющиеся по гармоническому закону. Импеданс схемы (вообще говоря, это величина комплексная) определяется в соответствии с теми же правилами, что и эквивалентное сопротивление. Например, импеданс резистора $R$ и катушки $L$, соединенных последовательно, равен $R + L \omega i$. Абсолютная величина импеданса называется полным сопротивлением. Для катушки $L$ и резистора $R$ полное сопротивление равно $\sqrt{R^{2} + L^{2} \omega^{2}}$. Аргумент комплексного числа, каковым является импеданс, определяет сдвиг фаз между током и напряжением. Полное сопротивление контура будет действительной величиной в том и только том случае, когда для данной величины $\omega$ контура ведет себя как омическое сопротивление (т. е. не изменяет фазы).
Простой расчет показывает, что для рассматриваемого в данной задаче контура импеданс участка АВ является действительной величиной, равной $R$, и не зависит от величины $\omega$. Так как любую э. д. с., изменяющуюся со временем, можно представить в виде конечного или бесконечного числа налагающихся э. д. с., изменяющихся по гармоническому закону с различными (но постоянными во времени) частотами $\omega$, то в нашем случае это означает, что часть контура между точками А и В ведет себя как омическое сопротивление, численно равное $R$, независимо от характера изменения $\mathcal{E}$ со временем.
Данная задача интересна также тем, что указывает на возможность составления системы омический сопротивлений при использовании реактивных элементов, к которым относятся катушки и конденсаторы (изменяющие фазу).
Следует обратить внимание на то, что полные сопротивления, или импедансы, нельзя вычислять по тем же правилам, что и обычные омические сопротивления.
С рассмотренной задачей связана еще одна интересная проблема: оказывается, невозможно сконструировать такую систему, которая для любой частоты $\omega$ не давала бы сдвига фаз между током и напряжением и полное сопротивление которой было бы функцией от $\omega$, не равной тождественно постоянной величине. Доказательство этого положения достаточно сложно.
