ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-11-09   
Два элемента с э. д. с. $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ и внутренними сопротивлениями $r_{1}$ и $r_{2}$ (рис. а) заменены одним элементом с э. д. с. $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ (рис. б) так, что падение напряжения на внешнем сопротивлении $R$ в обоих случаях одинаково вне зависимости от величины этого сопротивления. Как $\mathcal{E}$ и $r$ связаны с $\mathcal{E}_{1}, \mathcal{E}_{2}$ и $r_{2}$? Напишите выражение для $\mathcal{E}$ и $r$ в общем случае, когда заменяются не два, а $n$ источников с э. д. с. $\mathcal{E}_{1}, \mathcal{E}_{2}, \cdots, \mathcal{E}_{n}$ и внутренними сопротивлениями $r_{1}, r_{2}, \cdots, r_{n}$.



Решение:



Определим ток, проходящий через резистор $R$ в схемах, показанных на рис. а и б. Пользуясь законами Ома и Кирхгофа для контура (а), запишем следующие три уравнения:

$\mathcal{E}_{1} = I_{1}r_{1} + IR$,
$\mathcal{E}_{2} = I_{2}r_{2} + IR$,
$I = I_{1} + I_{2}$.

Из первых двух уравнений определяем $I_{1}$ и $I_{2}$ и, подставляя полученные значения в третье уравнение, получаем

$I = \frac{ \mathcal{E}_{1} - IR }{r_{1} } + \frac{ \mathcal{E}_{2} - IR }{r_{2} }$,

откуда

$I = \frac{ \frac{ \mathcal{E}_{1} }{r_{1} } + \frac{ \mathcal{E}_{2} }{r_{2} } }{1 + \frac{R}{r_{1} } + \frac{R}{r_{2} } }$.

Для контура (б) имеем

$I = \frac{ \mathcal{E} }{R + r}$.

Согласно условию задачи, оба выражения для $I$ должны быть одинаковы, независимо от величины $R$. Значит, можно записать следующее тождество:

$\frac{ \frac{ \mathcal{E}_{1} }{r_{1} } + \frac{ \mathcal{E}_{2} }{r_{2} } }{1 + R \left ( \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } \right ) } \equiv \frac{ \mathcal{E} }{R + r}$,

или

$R \left ( \frac{ \mathcal{E}_{1} }{r_{1} } + \frac{ \mathcal{E}_{2} }{r_{2} } \right ) + r \left ( \frac{ \mathcal{E}_{1} }{r_{1} } + \frac{ \mathcal{E}_{2} }{r_{2} } \right ) = R \mathcal{E} \left ( \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } \right ) + \mathcal{E}$.

В обеих частях имеем многочлены первой степени относительно $R$. Как известно, два многочлена тождественно равны в том и только том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны между собой. Следовательно,

$\frac{ \mathcal{E}_{1} }{r_{1} } + \frac{ \mathcal{E}_{2} }{r_{2} } = \mathcal{E} \left ( \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } \right )$,
$r \left ( \frac{ \mathcal{E}_{1} }{r_{1} } + \frac{ \mathcal{E}_{2} }{r_{2} } \right ) = \mathcal{E}$.

Тогда

$\mathcal{E} = \frac{ \frac{ \mathcal{E}_{1} }{r_{1} } + \frac{ \mathcal{E}_{2} }{r_{2} } }{ \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } }$,
$\frac{1}{r} = \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} }$.

Таким образом, два элемента, соединенных параллельно, всегда можно заменить одним элементом, э.д. с. и внутреннее сопротивление которого определяется приведенными выше выражениями. Заметим, что эти формулы несколько сложнее, чем для источников, соединенных последовательно. Если э. д. с. источников одинаковы ($\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E}_{2}$) и одинаковы их внутренние сопротивления ($r_{1} = r_{2}$), то нахождение $\mathcal{E}$ и $r$ существенно упрощается:

$\mathcal{E} + \mathcal{E}_{1}$,
$r = r_{1}/2$.

Систему из $n$ источников с э. д. с. $\mathcal{E}_{1}, \mathcal{E}_{2}, \cdots, \mathcal{E}_{n}$, имеющих внутренние сопротивления $r_{1}, r_{2}, \cdots , r_{n}$ и соединенных параллельно, можно заменить одним источником с Э.Д.С. $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$:

$\mathcal{E} = \frac{ \frac{ \mathcal{E}_{1} }{r_{1} } + \frac{ \mathcal{E}_{2} }{r_{2} } + \cdots + \frac{ \mathcal{E}_{n} }{r_{n} } }{ \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } + \cdots + \frac{1}{r_{n} } }$,
$\frac{1}{r} = \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } + \cdots + \frac{1}{r_{n} }$.

Это можно доказать, например, методом математической индукции.