Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 990
2016-09-17 
Упругая шайба, движущаяся со скоростью $v_{0}$ по гладкой горизонтальной плоскости, испытывает два последовательных соударения с такими же первоначально покоившимися упругими шайбами. Найдите величины и направления скоростей шайб после ударов, если известно, что одна из них после соударений продолжает движение со скоростью $v_{0}/2$ в том направлении, в котором двигалась первая шайба до ударов.
Решение:
Как следует из решения задачи 989, после упругого нелобового соударения двух одинаковых шайб, одна из которых покоится, шайбы разлетаются под прямым углом.
Применим это правило к двум последовательным соударениям (см. рис.). Обозначим конечные скорости трёх шайб через $\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}$ и $\vec{v}_{3}$. Направим координатную ось $X$ вдоль начальной скорости первой шайбы, а ось $Y$ - перпендикулярно к ней. Будем считать, что одна из скоростей, например, $\vec{v}_{1}$, равна, как сказано в условии, $\vec{v}_{0}/2$. Тогда проекция скорости первой шайбы после первого удара $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ на ось $X$ должна быть равна $\vec{v}_{1x}^{ \prime} = v_{1} = v_{0}/2$, проекция скорости второи шаибы $\vec{v}_{2}$ на ось $X$ равна $v_{2x} = v_{0} - v_{1x}^{ \prime} = v_{0} — \frac{v_{0}}{2} = \frac{v_{0}}{2}$, а проекции скоростей $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{v}_{2}$ на ось $Y$ должны быть равны по величине и противоположны друг другу по знаку. Следовательно, угол $\alpha$ между векторами $\vec{v}_{0}$ и $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ равен $\pi/4$.
В итоге первая шайба движется со скоростью $v_{0}/2$ в том же направлении, в котором она двигалась до ударов, третья имеет скорость $\vec{v}_{3}$, равную по величине $v_{0}/2$ и направленную вверх вдоль оси $Y$, а вторая шайба имеет скорость $\vec{v}_{2}$, равную по величине $v_{0}/ \sqrt{2}$ и направленную под углом $\frac{ \pi}{2} - \alpha = \frac{ \pi}{4}$ к вектору $\vec{v}_{0}$. Заметим, что это не единственный тип решения: возможно зеркально симметричное относительно оси $X$ расположение всех векторов, когда вектор $\vec{v}_{3}$ направлен вниз вдоль оси $Y$, а $\vec{v}_{2}$ — вверх, под углом $\pi/4$ к оси $X$. Кроме того, индексы 1, 2 и 3 у конечных скоростей шайб на рис. могут располагаться произвольным образом, то есть имеется по $3! = 6$ решений каждого типа. Таким образом, если все шайбы пронумерованы, то возможны 12 решений этой задачи, и только 2 разных решения, если шайбы неразличимы.
Упругая шайба, движущаяся со скоростью $v_{0}$ по гладкой горизонтальной плоскости, испытывает два последовательных соударения с такими же первоначально покоившимися упругими шайбами. Найдите величины и направления скоростей шайб после ударов, если известно, что одна из них после соударений продолжает движение со скоростью $v_{0}/2$ в том направлении, в котором двигалась первая шайба до ударов.
Решение:
Как следует из решения задачи 989, после упругого нелобового соударения двух одинаковых шайб, одна из которых покоится, шайбы разлетаются под прямым углом.
Применим это правило к двум последовательным соударениям (см. рис.). Обозначим конечные скорости трёх шайб через $\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}$ и $\vec{v}_{3}$. Направим координатную ось $X$ вдоль начальной скорости первой шайбы, а ось $Y$ - перпендикулярно к ней. Будем считать, что одна из скоростей, например, $\vec{v}_{1}$, равна, как сказано в условии, $\vec{v}_{0}/2$. Тогда проекция скорости первой шайбы после первого удара $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ на ось $X$ должна быть равна $\vec{v}_{1x}^{ \prime} = v_{1} = v_{0}/2$, проекция скорости второи шаибы $\vec{v}_{2}$ на ось $X$ равна $v_{2x} = v_{0} - v_{1x}^{ \prime} = v_{0} — \frac{v_{0}}{2} = \frac{v_{0}}{2}$, а проекции скоростей $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{v}_{2}$ на ось $Y$ должны быть равны по величине и противоположны друг другу по знаку. Следовательно, угол $\alpha$ между векторами $\vec{v}_{0}$ и $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ равен $\pi/4$.
В итоге первая шайба движется со скоростью $v_{0}/2$ в том же направлении, в котором она двигалась до ударов, третья имеет скорость $\vec{v}_{3}$, равную по величине $v_{0}/2$ и направленную вверх вдоль оси $Y$, а вторая шайба имеет скорость $\vec{v}_{2}$, равную по величине $v_{0}/ \sqrt{2}$ и направленную под углом $\frac{ \pi}{2} - \alpha = \frac{ \pi}{4}$ к вектору $\vec{v}_{0}$. Заметим, что это не единственный тип решения: возможно зеркально симметричное относительно оси $X$ расположение всех векторов, когда вектор $\vec{v}_{3}$ направлен вниз вдоль оси $Y$, а $\vec{v}_{2}$ — вверх, под углом $\pi/4$ к оси $X$. Кроме того, индексы 1, 2 и 3 у конечных скоростей шайб на рис. могут располагаться произвольным образом, то есть имеется по $3! = 6$ решений каждого типа. Таким образом, если все шайбы пронумерованы, то возможны 12 решений этой задачи, и только 2 разных решения, если шайбы неразличимы.
