Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9899
2018-11-09 
Можно ли соединить $n$ одинаковых резисторов $r$ в одну цепь с двумя выводами и эквивалентным сопротивлением $R$ таким образом, чтобы величина сопротивления $R$ не изменилась при подключении к цепи как целому еще двух таких же резисторов $r$?
Решение:
Исследуем все возможные соединения резистора $R$ с двумя одинаковыми резисторами $r$ и определим эквивалентное сопротивление этих систем. Для большей части возможных соединений, показанных на рис. 65, все вычисления можно без труда выполнить в уме. Эквивалентные сопротивления обозначим через $R_{а},R_{б}, \cdots$, соответственно обозначениям на рисунке. Получаем
$R_{а} = R + 2r, R_{г} = \frac{r^{2} + 2Rr }{R + r}$,
$R_{б} = R + \frac{r}{2}, R_{д} = \frac{r(R + r) }{R + 2r}$,
$R_{в} = \frac{Rr}{r + 2R}, R_{е} = \frac{2Rr }{R + 2r}$,
Теперь в соответствии с условиями задачи приравняем к $R$ каждое из найденных эквивалентных сопротивлений:
a) $R + 2r = R$, б) $R + \frac{r}{2} = R$,
в) $\frac{Rr}{r + 2R} = R$, или $r = r + 2R$.
При $r > 0$ и $R > 0$ эти три уравнения не имеют решения.
г) $\frac{r^{2} + 2Rr }{R + r} = R$, или $R^{2} - Rr - r^{2} = 0$,
тогда $R = \frac{r}{2} (1 \pm \sqrt{5})$.
д) $\frac{r(R + r)}{R + 2r} = R$, или $R^{2} + Rr - r^{2} = 0$, тогда $R = \frac{r}{2} ( - 1 \pm \sqrt{5})$.
В случаях (г) и (д), даже отбрасывая лишенные физического смысла отрицательные значения корня, получаем, что зависимость между $R$ и $r$ выражается иррациональным числом. Это, однако, невозможно, поскольку сопротивление $R$ является эквивалентным сопротивлением схемы, вставленной из одинаковых резисторов $r$. Величина этого сопротивления определяется либо по закону Ома, либо по закону Кирхгофа, при этом используются только арифметические действия (сложение, вычитание, деление, умножение), которые не могут в результате привести к иррациональной связи между $r$ и $R$:
е) $\frac{2Rr}{2r + R} = R$, или $R^{2} = 0$.
Это уравнение, подобно первым трем, имеет решение, противоречащее условию задачи. Как видим, ни в одном из шести рассмотренных случаев невозможно выполнить требования задачи. Других способов соединения не существует.
Задачи типа рассмотренной выше относятся к чисто «академическим», абстрактным. На практике все физические величины, в том числе и электрическое сопротивление, измеряются с некоторой, большей или меньшей, погрешностью.
Иррациональное число можно с некоторым достаточным приближением представить рациональным числом. Наилучшим примером этого служат десятичные дроби. Для каждого заданного иррационального числа можно подобрать десятичную дробь, отличающуюся от него на сколь угодно малую величину (последняя определяется выбором последнего десятичного знака после запятой).
Для каждого рационального $p/q > 0$ можно построить схему, состоящую из одинаковых резисторов $r$ и имеющую общее сопротивление, равное $(p/q)r$. Пример такой схемы приведен на рис. Если считать, что сопротивление можно измерить с малой, но не бесконечно малой погрешностью $\epsilon$, то, имея в распоряжении только одинаковые резисторы $r$, можно построить схему, общее сопротивление которой с точностью до $\epsilon$ будет равно $\frac{1}{2} r(1 + \sqrt{5})$.
Рассмотренная задача, несмотря на свой академический характер, полезна и потому, что она обращает внимание на основные свойства операций, которые производятся при вычислении эквивалентных сопротивлений.
Можно ли соединить $n$ одинаковых резисторов $r$ в одну цепь с двумя выводами и эквивалентным сопротивлением $R$ таким образом, чтобы величина сопротивления $R$ не изменилась при подключении к цепи как целому еще двух таких же резисторов $r$?
Решение:
Исследуем все возможные соединения резистора $R$ с двумя одинаковыми резисторами $r$ и определим эквивалентное сопротивление этих систем. Для большей части возможных соединений, показанных на рис. 65, все вычисления можно без труда выполнить в уме. Эквивалентные сопротивления обозначим через $R_{а},R_{б}, \cdots$, соответственно обозначениям на рисунке. Получаем
$R_{а} = R + 2r, R_{г} = \frac{r^{2} + 2Rr }{R + r}$,
$R_{б} = R + \frac{r}{2}, R_{д} = \frac{r(R + r) }{R + 2r}$,
$R_{в} = \frac{Rr}{r + 2R}, R_{е} = \frac{2Rr }{R + 2r}$,
Теперь в соответствии с условиями задачи приравняем к $R$ каждое из найденных эквивалентных сопротивлений:
a) $R + 2r = R$, б) $R + \frac{r}{2} = R$,
в) $\frac{Rr}{r + 2R} = R$, или $r = r + 2R$.
При $r > 0$ и $R > 0$ эти три уравнения не имеют решения.
г) $\frac{r^{2} + 2Rr }{R + r} = R$, или $R^{2} - Rr - r^{2} = 0$,
тогда $R = \frac{r}{2} (1 \pm \sqrt{5})$.
д) $\frac{r(R + r)}{R + 2r} = R$, или $R^{2} + Rr - r^{2} = 0$, тогда $R = \frac{r}{2} ( - 1 \pm \sqrt{5})$.
В случаях (г) и (д), даже отбрасывая лишенные физического смысла отрицательные значения корня, получаем, что зависимость между $R$ и $r$ выражается иррациональным числом. Это, однако, невозможно, поскольку сопротивление $R$ является эквивалентным сопротивлением схемы, вставленной из одинаковых резисторов $r$. Величина этого сопротивления определяется либо по закону Ома, либо по закону Кирхгофа, при этом используются только арифметические действия (сложение, вычитание, деление, умножение), которые не могут в результате привести к иррациональной связи между $r$ и $R$:
е) $\frac{2Rr}{2r + R} = R$, или $R^{2} = 0$.
Это уравнение, подобно первым трем, имеет решение, противоречащее условию задачи. Как видим, ни в одном из шести рассмотренных случаев невозможно выполнить требования задачи. Других способов соединения не существует.
Задачи типа рассмотренной выше относятся к чисто «академическим», абстрактным. На практике все физические величины, в том числе и электрическое сопротивление, измеряются с некоторой, большей или меньшей, погрешностью.
Иррациональное число можно с некоторым достаточным приближением представить рациональным числом. Наилучшим примером этого служат десятичные дроби. Для каждого заданного иррационального числа можно подобрать десятичную дробь, отличающуюся от него на сколь угодно малую величину (последняя определяется выбором последнего десятичного знака после запятой).
Для каждого рационального $p/q > 0$ можно построить схему, состоящую из одинаковых резисторов $r$ и имеющую общее сопротивление, равное $(p/q)r$. Пример такой схемы приведен на рис. Если считать, что сопротивление можно измерить с малой, но не бесконечно малой погрешностью $\epsilon$, то, имея в распоряжении только одинаковые резисторы $r$, можно построить схему, общее сопротивление которой с точностью до $\epsilon$ будет равно $\frac{1}{2} r(1 + \sqrt{5})$.
Рассмотренная задача, несмотря на свой академический характер, полезна и потому, что она обращает внимание на основные свойства операций, которые производятся при вычислении эквивалентных сопротивлений.
