Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9898
2018-11-09 
Двигатель постоянного тока мощностью $P = 150 Вт$, рассчитанный на работу при напряжении 15 В, питается от сухих элементов, каждый из которых имеет э. д. с. $\mathcal{E} = 1,5 В$ и внутреннее сопротивление $R = 0,45 Ом$. Какое наименьшее количество элементов потребуется, чтобы двигатель работал в соответствии со своими расчетными параметрами? Как следует соединить элементы в батарею?
Решение:
Прежде всего установим, какая максимальная мощность выделяется на внешнем сопротивлении $R_{внеш}$, подключенном к источнику с внутренним сопротивлением $R$ и э. д. с. $\mathcal{E}$. Рассмотрим участок цепи на рис. Ток в этой цепи равен
$I = \frac{ \mathcal{E} }{R + R_{внеш}}$,
напряжение на резисторе $R_{внеш}$ равно
$U_{внеш} = IR_{внеш}$.
Тогда мощность $P_{внеш}$, выделившаяся на резисторе $R_{внеш}$ равна
$P_{внеш} = U_{внеш}I = I^{2}R_{внеш}$,
После подстановки в это выражение $I$ и несложного преобразования получаем
$P_{внеш} = \frac{ \mathcal{E}^{2}}{4R} \left ( \frac{ \sqrt{R R_{внеш} } }{ \frac{R + R_{внеш} }{2} } \right )^{2}$.
Выражение в скобках является отношением среднего геометрического внутреннего сопротивления источника $R$ и сопротивления цепи $R_{внеш}$ к среднему арифметическому этих величин. Наибольшая величина этого отношения соответствует равенству $R = R_{внеш}$ и равна 1. Максимальная мощность $P_{max}$, которую можно получить от данного источника, равна
$P_{max} = \frac{ \mathcal{E}^{2} }{4R}$.
Такая мощность потребляется в том случае, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника.
Двигатель потребляет мощность $P$. Значит, батарея питания должна содержать не меньше
$n_{0} = \frac{P}{P_{max} } = \frac{4PR}{ \mathcal{E}^{2} }$
элементов. Иначе говоря, количество элементов $n$ должно удовлетворять условию
$n \geq n_{0}$.
В нашем случае
$n = \frac{4 \cdot 150 \cdot 0,45}{(1,5)^{2}} = 120$,
следовательно
$n \geq 120$.
Минимальное необходимое количество элементов не может быть меньше $n_{0}$. Это, однако, не значит, что $n$ должно быть равно $n_{0}$. (Например, $n_{0}$ могло бы оказаться дробным числом, а количество элементов, естественно, может быть только целым.)
Определим теперь сопротивление двигателя $R_{дв}$. Это сопротивление не следует путать с омическим сопротивлением обмоток двигателя. Величина эффективного сопротивления двигателя не является постоянной, но зависит от активной нагрузки $P$. В нашем случае это просто сопротивление резистора, эквивалентного сопротивлению двигателя, рабочие характеристики которого приведены в условии задачи. Имеем
$P = \frac{U^{2} }{R_{дв} }$.
Тогда
$R_{дв} = \frac{U^{2} }{P}$.
Подставив числовые данные, получим $R_{дв} = 1,5 Ом$.
Интуиция подсказывает наиболее простое соединение источников — «прямоугольником» (рис.).Пока, конечно, трудно судить, соответствует ли правильное решение именно такому соединению. Попробуем, однако, из соединений подобного вида выбрать такое, при котором мощность, выделившаяся на сопротивлении $R_{дв}$, будет равна $P$, а падение напряжения на $R_{дв}$ равно $U$.
Прежде всего рассмотрим предельный случай, когда $n = n_{0} = 120$ элементов. Если бы нам не удалось найти соответствующего соединения, то следовало бы взять другое $n$ и пробовать снова.
При $n = n_{0}$ каждый из элементов должен работать, вырабатывая наибольшую возможную мощность. Если вся батарея будет отдавать максимальную мощность, то внутреннее сопротивление батареи $R_{б}$ должно равняться сопротивлению двигателя $R_{дв}$. Но $R_{б} = (k/l)R$, причем $kl = 120$. Кроме того,
$\frac{k}{l}R = \frac{U^{2} }{P}$,
Подставив числовые значения $R, U$ и $P$, получим систему уравнений для $k$ и $l$, которая имеет следующие решения:
$l = 6, k = 20$.
Нетрудно проверить, что при соответствующем этому решению соединении элементов «прямоугольником» мощность, выделенная на двигателе, действительно равна $P$, а напряжение на клеммах двигателя равно $U$.
Из того факта, что 120 элементов можно соединить способом, удовлетворяющим условию задачи, следует, что наименьшее количество элементов, необходимых для работы двигателя в заданном режиме, меньше или равно 120. Но ранее было показано, что $n \geq 120$. Поэтому $n_{мин} = 120$. Таким образом, в батарею следует соединить 120 элементов, причем батарея должна состоять из 6 столбов по 20 элементов в каждом.
Заметим, что соединение «прямоугольником» в рассмотренном случае является наиболее выгодными том смысле, что каждый элемент отдает на внешнюю нагрузку максимальную мощность.
Двигатель постоянного тока мощностью $P = 150 Вт$, рассчитанный на работу при напряжении 15 В, питается от сухих элементов, каждый из которых имеет э. д. с. $\mathcal{E} = 1,5 В$ и внутреннее сопротивление $R = 0,45 Ом$. Какое наименьшее количество элементов потребуется, чтобы двигатель работал в соответствии со своими расчетными параметрами? Как следует соединить элементы в батарею?
Решение:
Прежде всего установим, какая максимальная мощность выделяется на внешнем сопротивлении $R_{внеш}$, подключенном к источнику с внутренним сопротивлением $R$ и э. д. с. $\mathcal{E}$. Рассмотрим участок цепи на рис. Ток в этой цепи равен
$I = \frac{ \mathcal{E} }{R + R_{внеш}}$,
напряжение на резисторе $R_{внеш}$ равно
$U_{внеш} = IR_{внеш}$.
Тогда мощность $P_{внеш}$, выделившаяся на резисторе $R_{внеш}$ равна
$P_{внеш} = U_{внеш}I = I^{2}R_{внеш}$,
После подстановки в это выражение $I$ и несложного преобразования получаем
$P_{внеш} = \frac{ \mathcal{E}^{2}}{4R} \left ( \frac{ \sqrt{R R_{внеш} } }{ \frac{R + R_{внеш} }{2} } \right )^{2}$.
Выражение в скобках является отношением среднего геометрического внутреннего сопротивления источника $R$ и сопротивления цепи $R_{внеш}$ к среднему арифметическому этих величин. Наибольшая величина этого отношения соответствует равенству $R = R_{внеш}$ и равна 1. Максимальная мощность $P_{max}$, которую можно получить от данного источника, равна
$P_{max} = \frac{ \mathcal{E}^{2} }{4R}$.
Такая мощность потребляется в том случае, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника.
Двигатель потребляет мощность $P$. Значит, батарея питания должна содержать не меньше
$n_{0} = \frac{P}{P_{max} } = \frac{4PR}{ \mathcal{E}^{2} }$
элементов. Иначе говоря, количество элементов $n$ должно удовлетворять условию
$n \geq n_{0}$.
В нашем случае
$n = \frac{4 \cdot 150 \cdot 0,45}{(1,5)^{2}} = 120$,
следовательно
$n \geq 120$.
Минимальное необходимое количество элементов не может быть меньше $n_{0}$. Это, однако, не значит, что $n$ должно быть равно $n_{0}$. (Например, $n_{0}$ могло бы оказаться дробным числом, а количество элементов, естественно, может быть только целым.)
Определим теперь сопротивление двигателя $R_{дв}$. Это сопротивление не следует путать с омическим сопротивлением обмоток двигателя. Величина эффективного сопротивления двигателя не является постоянной, но зависит от активной нагрузки $P$. В нашем случае это просто сопротивление резистора, эквивалентного сопротивлению двигателя, рабочие характеристики которого приведены в условии задачи. Имеем
$P = \frac{U^{2} }{R_{дв} }$.
Тогда
$R_{дв} = \frac{U^{2} }{P}$.
Подставив числовые данные, получим $R_{дв} = 1,5 Ом$.
Интуиция подсказывает наиболее простое соединение источников — «прямоугольником» (рис.).Пока, конечно, трудно судить, соответствует ли правильное решение именно такому соединению. Попробуем, однако, из соединений подобного вида выбрать такое, при котором мощность, выделившаяся на сопротивлении $R_{дв}$, будет равна $P$, а падение напряжения на $R_{дв}$ равно $U$.
Прежде всего рассмотрим предельный случай, когда $n = n_{0} = 120$ элементов. Если бы нам не удалось найти соответствующего соединения, то следовало бы взять другое $n$ и пробовать снова.
При $n = n_{0}$ каждый из элементов должен работать, вырабатывая наибольшую возможную мощность. Если вся батарея будет отдавать максимальную мощность, то внутреннее сопротивление батареи $R_{б}$ должно равняться сопротивлению двигателя $R_{дв}$. Но $R_{б} = (k/l)R$, причем $kl = 120$. Кроме того,
$\frac{k}{l}R = \frac{U^{2} }{P}$,
Подставив числовые значения $R, U$ и $P$, получим систему уравнений для $k$ и $l$, которая имеет следующие решения:
$l = 6, k = 20$.
Нетрудно проверить, что при соответствующем этому решению соединении элементов «прямоугольником» мощность, выделенная на двигателе, действительно равна $P$, а напряжение на клеммах двигателя равно $U$.
Из того факта, что 120 элементов можно соединить способом, удовлетворяющим условию задачи, следует, что наименьшее количество элементов, необходимых для работы двигателя в заданном режиме, меньше или равно 120. Но ранее было показано, что $n \geq 120$. Поэтому $n_{мин} = 120$. Таким образом, в батарею следует соединить 120 элементов, причем батарея должна состоять из 6 столбов по 20 элементов в каждом.
Заметим, что соединение «прямоугольником» в рассмотренном случае является наиболее выгодными том смысле, что каждый элемент отдает на внешнюю нагрузку максимальную мощность.
